考点37 大题特训三教师.pdf
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1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 37立体几何大题特训 1.【2019 年高考全国卷理数】如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60, E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点 (1)证明:MN平面C1DE; (2)求二面角AMA1N的正弦值 【答案】(1)见解析;(2) 10 5 . 【解析】(1)连结B1C,ME因为M,E分别为BB1,BC的中点, 所以MEB1C,且ME= 1 2 B1C又因为N为A1D的中点,所以ND= 1 2
2、A1D 由题设知A1B1 DC,可得B1C A1D,故ME ND,因此四边形MNDE为平行四边形,MNED 又MN平面EDC1,所以MN平面C1DE (2)由已知可得DEDA 以D为坐标原点,DA 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (2,0,0)A,A1(2, 0, 4), (1, 3,2)M,(1,0,2) N, 1 (0,0, 4)A A , 1 ( 1,3, 2)A M , 1 ( 1,0, 2)A N , (0,3,0
3、)MN 设( , , )x y zm为平面A1MA的法向量,则 1 1 0 0 AM A A m m ,所以 320 40 xyz z , 可取( 3,1,0)m 设( , , )p q rn为平面A1MN的法向量,则 1 0 0 MN AN , n n 所以 30 20 q pr , 可取(2,0, 1)n 于是 2 315 cos, |525 m n m n m n , 所以二面角 1 AMAN的正弦值为 10 5 【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用 垂直关系建立空间直角坐标系,从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值,
4、属于常规题型. 2【2019 年高考全国卷理数】如图,长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE EC1 (1)证明:BE平面EB1C1; (2)若AE=A1E,求二面角BECC1的正弦值 【答案】(1)证明见解析;(2) 3 2 . 【解析】(1)由已知得, 11 BC 平面 11 ABB A,BE 平面 11 ABB A,故 11 BC BE 又 1 BEEC,所以BE 平面 11 EBC (2)由(1)知 1 90BEB由题设知RtABE 11 RtAB E,所以45AEB, 故AEAB, 1 2AAAB 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转
5、数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 以D为坐标原点,DA 的方向为x轴正方向,|DA 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则C(0, 1, 0) ,B(1, 1, 0) , 1 C(0, 1, 2) ,E(1, 0, 1) , (1,0,0)CB ,(1, 1,1)CE , 1 (0,0,2)CC 设平面EBC的法向量为n n=(x,y,x),则 0, 0, CB CE n n 即 0, 0, x xyz 所以可取n n=(0, 1, 1) .设平面 1 ECC的法向量为m m=(x,y,z),则 1 0, 0, CC C
6、E m m 即 20, 0. z xyz 所以可取m m=(1,1,0) 于是 1 cos, |2 n m n m n m 所以,二面角 1 BECC的正弦值为 3 2 【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定,考查了利用空间向 量求二角角的余弦值,以及同角的三角函数关系,考查了数学运算能力. 3 【2019 年高考全国卷理数】 图 1 是由矩形ADEB, RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形, 其中AB=1, BE=BF=2,FBC=60,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图 2. (1)证明:图 2 中的A,C,G,D四点共面,且平
7、面ABC平面BCGE; (2)求图 2 中的二面角BCGA的大小. 【答案】(1)见解析;(2)30. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】(1)由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点 共面 由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE 又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE (2)作EHBC,垂足为H因为EH平面BCGE,平面BCGE平面ABC,所以EH平面ABC 由已知,菱形BCGE的边长为2,EBC=60,可求得
8、BH=1,EH=3 以H为坐标原点,HC 的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz, 则A(1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,3),CG =(1,0,3),AC =(2,1,0) 设平面ACGD的法向量为n n=(x,y,z),则 0, 0, CG AC n n 即 30, 20. xz xy 所以可取n n=(3,6,3) 又平面BCGE的法向量可取为m m=(0,1,0),所以 3 cos, |2 n m n m n m 因此二面角BCGA的大小为30 【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题,首先是多面体折叠问题,考查考生在折叠过程中哪些量是不 变的,再者折叠后
9、的多面体不是直棱柱,最后通过建系的向量解法将求二面角转化为求二面角的平面角问 题,突出考查考生的空间想象能力. 4 【2019 年高考北京卷理数】如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ADCD,ADBC,PA=AD=CD=2, BC=3E为PD的中点,点F在PC上,且 1 3 PF PC (1)求证:CD平面PAD; (2)求二面角FAEP的余弦值; 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (3)设点G在PB上,且 2 3 PG PB 判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由 【答案】
10、(1)见解析;(2) 3 3 ;(3)见解析. 【解析】(1)因为PA平面ABCD,所以PACD又因为ADCD,所以CD平面PAD (2)过A作AD的垂线交BC于点M因为PA平面ABCD,所以PAAM,PAAD 如图建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0, 0,2)因为E为PD的中点,所以E(0,1,1) 所以(0,1,1),(2,2, 2),(0,0,2)AEPCAP 所以 12 222 2 4 , 33 333 3 3 PFPCAFAPPF . 设平面AEF的法向量为n n=(x,y,z),则 0, 0, AE AF n
11、 n 即 0, 224 0. 333 yz xyz 令z=1,则1,1yx 于是=( 1, 1,1)n 又因为平面PAD的法向量为p p=(1,0,0),所以 3 cos, |3 n p n p n p . 由题知,二面角FAEP为锐角,所以其余弦值为 3 3 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (3)直线AG在平面AEF内 因为点G在PB上,且 2 ,(2, 1, 2) 3 PG PB PB , 所以 242442 2 , 333333 3 PGPBAGAPPG . 由(2)知,平面AE
12、F的法向量=( 1, 1,1)n.所以 422 0 333 AG n. 所以直线AG在平面AEF内. 【名师点睛】(1)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论; (2)建立空间直角坐标系,结合两个半平面的法向量即可求得二面角FAEP的余弦值; (3) 首先求得点G的坐标, 然后结合平面AEF的法向量和直线AG的方向向量即可判断直线是否在平面内. 5【2019 年高考天津卷理数】如图,AE 平面ABCD,,CFAEADBC, ,1,2ADABABADAEBC (1)求证:BF 平面ADE; (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值; (3)若二面角EBDF的余弦值为 1 3 ,求线段C
13、F的长 【答案】(1)见解析;(2) 4 9 ;(3) 8 7 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】依题意,可以建立以A为原点,分别以AB AD AE ,的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直 角坐标系(如图),可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)ABCD,(0,0,2)E设(0)CFhh, 则1,2,Fh (1) 依题意,(1,0,0)AB 是平面ADE的法向量, 又(0,2, )BFh , 可得0BF AB , 又因为直线BF 平面ADE,所以BF
14、 平面ADE (2)依题意,( 1,1,0),( 1,0,2),( 1, 2,2)BDBECE 设( , , )x y zn为平面BDE的法向量,则 0, 0, BD BE n n 即 0, 20, xy xz 不妨令1z , 可得(2,2,1)n因此有 4 cos, 9| CE CE CE n n n 所以,直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 4 9 (3)设( , , )x y zm为平面BDF的法向量,则 0, 0, BD BF m m 即 0, 20, xy yhz 不妨令1y ,可得 2 1,1, h m 由题意,有 2 2 4 |1 cos, |34 3 2 h h m n m
15、n mn ,解得 8 7 h 经检验,符合题意 所以,线段CF的长为 8 7 【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向 量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 6【2019 年高考江苏卷】如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC 求证:(1)A1B1平面DEC1; (2)BEC1E 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】(1)因为
16、D,E分别为BC,AC的中点,所以EDAB. 在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABA1B1,所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1,A1B1平面DEC1, 所以A1B1平面DEC1. (2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BEAC. 因为三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱,所以CC1平面ABC. 又因为BE平面ABC,所以CC1BE.因为C1C平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,C1CAC=C, 所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1,所以BEC1E. 【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想 象能力和推理论证能力. 7
17、【2019 年高考浙江卷】(本小题满分 15 分)如图,已知三棱柱 111 ABCABC,平面 11 A ACC 平面 ABC,90ABC, 11 30 ,BACA AACAC E F分别是AC,A1B1的中点. (1)证明:EFBC; (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. . 【答案】(1)见解析;(2) 3 5 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】方法一: (1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC 又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A
18、1ACC1,平面A1ACC1平面ABC=AC, 所以,A1E平面ABC,则A1EBC又因为A1FAB,ABC=90,故BCA1F 所以BC平面A1EF因此EFBC (2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形 由于A1E平面ABC,故A1EEG,所以平行四边形EGFA1为矩形 由(1)得BC平面EGFA1,则平面A1BC平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上 连接A1G交EF于O,则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角) 不妨设AC=4,则在RtA1EG中,A1E=2 3,EG=3.由于O为A1G的中点,故 1 15 22 AG EOOG ,
19、所以 222 3 cos 25 EOOGEG EOG EO OG 因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 3 5 方法二: (1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1, 平面A1ACC1平面ABC=AC,所以,A1E平面ABC 如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Exyz 不妨设AC=4,则 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A1(0,0,2 3),B(3,
20、1,0), 1( 3,3,2 3) B, 3 3 (,2 3) 22 F ,C(0,2,0) 因此, 3 3 (,2 3) 22 EF ,(3,1,0)BC 由 0EF BC 得EFBC (2)设直线EF与平面A1BC所成角为由(1)可得 1 =(3 1 0)=(0 22 3)BCAC , , 设平面A1BC的法向量为n n ()xy z, ,由 1 0 0 BC AC n n ,得 30 30 xy yz , 取n n(13 1),故 |4 sin|cos|= 5| | EF EF EF , n n n| , 因此,直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为 3 5 【名师点睛】本题主要考查空
21、间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想 象能力和运算求解能力. 8【2020 北京市通州区三模数学试题】如图,在四棱柱 1111 ABCDABC D中,侧棱 1 A AABCD 底面, ABAC,1AB , 1 2,5ACAAADCD=,点E为线段 1 AA上的点,且 1 2 AE (1)求证:BE 平面 1 ACB; (2)求二面角 11 DACB的余弦值; (3)判断棱 11 AB上是否存在点F,使得直线DF平面 1 ACB,若存在,求线段 1 AF的长;若不存在,说 明理由 【答案】(1)见解析;(2) 10 10 ;(3)见解析. 【解析】(1)因为 1 A
22、 AABCD 底面,所以 1 A AAC又因为ABAC, 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 所以AC 平面 11 ABB A,又因为BE 平面 11 ABB A,所以AC BE 因为 1 1 2 AEAB ABBB ,EAB=ABB1=90,所以 1 RtRtABEBB A 所以 1 ABEAB B 因为 11 90BABAB B,所以 1 90BABABE 所以BE 1 AB又 1 ACABA,所以BE 平面 1 ACB (2)如图,以A为原点建立空间直角坐标系, 依题意可得 111
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