考点34导数和导数应用教师版.pdf
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1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 34导数和导数应用 玩前必备 1. 基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)c(c为常数)f(x)0 f(x)x n(nQ*) f(x)nx n1 f(x)sinxf(x)cosx f(x)cosxf(x)sinx f(x)a x f(x)a xlna f(x)e x f(x)e x f(x)logaxf(x) 1 xlna f(x)lnxf(x)1 x 2导数的运算法则 (1) f(x)g(x)f(x)g(x); (2) f(x)g(x)f
2、(x)g(x)f(x)g(x); (3) 2 ( )( )( )( )( ) ( )( ) f xfxg xg xf x g xgx (g(x)0) 3. 函数yf(x)在xx0处的导数几何意义: 函数( )yf x在点 0 x处的导数 0 ()fx就是曲线( )yf x在点 00 (,()xf x处的切线和斜率, 即 0 ()kfx. 相应地,切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0) 4函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果 f(x)0,那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增;如果 f(x)0,右侧 f(x)0,那么 f(x0)是极大值; 如果在 x0附近的左侧 f(x)0,那么 f
3、(x0)是极小值 (2)求可导函数极值的步骤 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 求 f(x); 求方程 f(x)0 的根; 检查 f(x)在方程 f(x)0 的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负,那么 f(x)在这个根处 取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值 6函数的最值 (1)在闭区间a,b上连续的函数 f(x)在a,b上必有最大值与最小值 (2)若函数 f(x)在a,b上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f(x)在a,
4、b 上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值 (3)设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下: 求 f(x)在(a,b)内的极值; 将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值 玩转典例 题型题型一一导数的运算导数的运算 例例 1求下列函数的导数 (1)yexln x;(2)yx x21 x 1 x3;(3)y ln x x21 解析(1)y(exln x)exln xex1 xe x(ln x1 x) (2)yx311 x2,y3x 22 x3. (3)yln
5、xx 21ln xx21 x212 1 xx 212xln x x212 x 212x2ln x xx212 . 玩转跟踪求下列函数的导数 (1)y(3x24x)(2x1); (2)yx2sin x. 解析(1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x, y18x210 x4. (2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x. 题型二导数求切线方程问题 例 2(2020全国 1 卷)函数 43 ( )2f xxx的图像在点(1(1)f,处的切线方程为() A.21yx B.21yx 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(7
6、21144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 C.23yxD.21yx 【答案】B 【解析】求得函数 yf x的导数 fx ,计算出 1f和 1 f 的值,可得出所求切线的点斜式方程, 化简即可. 【详解】 43 2f xxx, 32 46fxxx, 11f , 12 f , 因此,所求切线的方程为121yx ,即21yx .故选:B. 玩转跟踪 1(新课标全国,14)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则 a_ 解析f(x)3ax21,f(1)13a,f(1)a2. (1,f(1)处的切线方程为 y(a2)(13a)
7、(x1) 将(2,7)代入切线方程,得 7(a2)(13a),解得 a1. 答案1 2(广东,11)曲线 y5ex3 在点(0,2)处的切线方程为_ 解析由 y5ex3 得, y5ex, 所以切线的斜率 ky|x05, 所以切线方程为 y25(x0), 即 5xy20. 答案5xy20 3(广东,12)若曲线 yax2ln x 在(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a_ 解析由曲线在点(1,a)处的切线平行于 x 轴得切线的斜率为 0,由 y2ax1 x及导数的几何意义得 y| x1 2a10,解得 a1 2. 答案 1 2 4.(2020全国 3 卷)若直线 l 与曲线 y= x和 x2+
8、y2= 1 5 都相切,则 l 的方程为() A. y=2x+1B. y=2x+ 1 2 C. y= 1 2 x+1D. y= 1 2 x+ 1 2 【答案】D 【解析】根据导数的几何意义设出直线l的方程,再由直线与圆相切的性质,即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线yx上的切点为 00 ,xx,则 0 0 x , 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 函数yx的导数为 1 2 y x ,则直线l的斜率 0 1 2 k x , 设直线l的方程为 00 0 1 2 yxxx x ,即 00 2
9、0 xx yx, 由于直线l与圆 22 1 5 xy相切,则 0 0 1 145 x x , 两边平方并整理得 2 00 5410 xx ,解得 0 1x , 0 1 5 x (舍), 则直线l的方程为 210 xy ,即 11 22 yx.故选:D. 题型三导数求函数单调性 例 3已知函数 f(x)ln xk ex (k 为常数,e2.718 28是自然对数的底数),曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切 线与 x 轴平行 (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间; 解(1)由 f(x)ln xk ex ,得 f(x)(ln xk)e x(ln xk)(ex) e2x 1kxxl
10、n x xex ,x(0,),由曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切 线与 x 轴平行可知 f(1)0,解得 k1. (2)由(1)知,f(x) 1 xln x1 ex ,x(0,)设 h(x)1 xln x1,则 h(x) 1 x2 1 x0, 即 h(x)在(0,)上是减函数,由 h(1)0 知,当 0 x0,从而 f(x)0, 当 x1 时,h(x)0,从而 f(x)0.综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,) 玩转跟踪 1(陕西,9)设 f(x)xsin x,则 f(x)() A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数 C是有零点的减函数D是没有零点的
11、奇函数 解析f(x)xsin x 的定义域为 R,关于原点对称,且 f(x)xsin(x) xsin xf(x), 故 f(x)为奇函数又 f(x)1sin x0 恒成立,所以 f(x)在其定义域内为增函数,故选 B. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 答案B 2(新课标全国,11)若函数 f(x)kxln x 在区间(1,)单调递增,则 k 的取值范围是() A(,2B(,1 C2,)D1,) 解析因为 f(x)kxln x,所以 f(x)k1 x.因为 f(x)在区间(1,)上单调递
12、增,所以当 x1 时,f(x) k1 x0 恒成立,即 k 1 x在区间(1,)上恒成立因为 x1,所以 0 1 x1,所以 k1.故选 D. 答案D 3(新课标全国,21)已知 f(x)ln xa(1x) (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a2 时,求 a 的取值范围 解(1)f(x)的定义域为(0,),f(x)1 xa. 若 a0,则 f(x)0,所以 f(x)在(0,)上单调递增 若 a0,则当 x 0,1 a 时,f(x)0;当 x 1 a,时,f(x)0.所以 f(x)在 0,1 a 上单调递增,在 1 a,上单调递减 (2)由(1)知,当
13、a0 时,f(x)在(0,)无最大值;当 a0 时,f(x)在 x1 a取得最大值,最大值为 f 1 a ln 1 a a 11 a ln aa1.因此 f 1 a 2a2 等价于 ln aa10. 令 g(a)ln aa1,则 g(a)在(0,)上单调递增,g(1)0. 于是,当 0a1 时,g(a)0;当 a1 时,g(a)0.因此,a 的取值范围是(0,1) 题型题型四四导数求函数的极值和最值 例 4(天津,19)已知函数 f(x)x22 3ax 3(a0),xR. (1)求 f(x)的单调区间和极值; 解(1)由已知,有 f(x)2x2ax2(a0) 令 f(x)0,解得 x0 或 x
14、1 a. 当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x(,0)0 0,1 a 1 a 1 a, 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 f(x)00 f(x)0 1 3a2 所以,f(x)的单调递增区间是 0,1 a ;单调递减区间是(,0), 1 a,. 当 x0 时,f(x)有极小值,且极小值 f(0)0;当 x1 a时,f(x)有极大值,且极大值 f 1 a 1 3a2. 玩转跟踪 1(陕西,9)设函数 f(x)2 xln x,则( ) Ax1 2为 f(x)的极大值点 Bx
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