考点19计数原理和排列组合教师版.pdf

1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 19计数原理和排列组合 玩前必备 1分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有 m2种不同的方 法，在第 n 类方案中有 mn种不同的方法，则完成这件事情，共有 Nm1m2mn种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤，完成第一步有 m1种不同的方法，完成第二步有 m2种不同的方 法，完成第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事情共有 Nm1m2mn种不

2、同的方法 3两个计数原理的区别 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数它们的区别在于：分类 加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原 理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成 4排列与排列数 (1) 排列的定义：从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列 (2) 排列数的定义：从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的排列数，用符号 A m

3、n表示 (3) 排列数公式 当 mn 时，排列称为选排列，排列数为 Amnn(n1)(n2)(nm1)； 当 mn 时，排列称为全排列，排列数为 Annn(n1)(n2)321 上式右边是自然数 1 到 n 的连乘积，把它叫做 n 的阶乘，并用 n！表示，于是 Annn！进一步规定 0！1， 于是，Amnn(n1)(n2)(nm1)n(n1)(nm1)(nm)(nm1)321 (nm)(nm1)321 n！ (nm)！，即 Amn n！ (nm)！ 5组合与组合数 (1) 组合的定义：从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的一个组合 (

4、2)组合数的定义：从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的组合数，用符号 C m n表示 (3) 组合数公式 Cmn Amn Amm n(n1)(n2)(nm1) m！ n！ m！(nm)！ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 规定：C0n1 (4) 组合数的两个性质：CmnCn m n；Cmn1Cm 1 nCmn 6排列与组合的区别 排列与组合的共同点，就是都要“从 n 个不同元素中，任取 m 个元素”，而不同点就是前者要

5、“顺序”， 而后者却是“并成一组”因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志. 玩转典例 题型题型一一计数原理计数原理 例例 1（2020浙江高三专题练习）某校高中三年级一班有优秀团员 8 人，二班有优秀团员 10 人，三班有 优秀团员 6 人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地. (1)推选 1 人为总负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选 1 人为小组长，有多少种不同的选法？ (3)从他们中选出 2 个人管理生活，要求这 2 个人不同班，有多少种不同的选法？ 解(1)分三类，第一类是从一班的 8 名优秀团员中产生，共有 8 种不同的选法；第二类是从二班的 10 名优 秀团员中

6、产生，共有 10 种不同的选法；第三类是从三班的 6 名优秀团员中产生，共 6 种不同的选法，由分 类加法计数原理可得，共有 N810624(种)不同的选法. (2)分三步，第一步从一班的 8 名优秀团员中选 1 名组长，共有 8 种不同的选法，第二步从二班的 10 名优秀 团员中选 1 名组员，共 10 种不同的选法.第三步是从三班的 6 名优秀团员中产生，共 6 种不同的选法，由分 步乘法计数原理可得：共有 N8106480(种)不同的选法. (3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选 1 人，有 810 种不同的选法；第 二类是从二班、三班的优秀团员中各选 1 人

7、，有 106 种不同的选法，第三类是从一班、三班的优秀团员 中各选 1 人，有 86 种不同的选法，因此，共有 N81010686188(种)不同的选法. 例例 2 2（2020全国高三专题练习）用 0,1,2,3,4 五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 【答案】见解析 【解析】(1)三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可以重复，每个位置都有 5 种排法，共有 55 55 3125(种) (2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除 0 外共有 4 种方法，

8、第二、三位 可以排 0，因此，共有 455100(种) (3)被 2 整除的数即偶数， 末位数字可取 0,2,4， 因此， 可以分两类， 一类是末位数字是 0， 则有 4312(种) 排法；一类是末位数字不是 0，则末位有 2 种排法，即 2 或 4，再排首位，因 0 不能在首位，所以有 3 种排 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 法，十位有 3 种排法，因此有 23318(种)排法因而有 121830(种)排法即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复数字的三位数 例例 3（2020辽

9、宁实验中学高三月考（理）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去 哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（） A16 种B18 种C37 种D48 种 【答案】C 【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有 4 种选择，共有 ? t h? 种情况，其中工厂 甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有 3 种选择，共有 ? t h? 种方 案；则符合条件的有 h? h? t ? 种，故选：C 玩转跟踪 1满足 a，b1,0,1,2，且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为() A14B13 C12D10

10、解析：选 B当 a0 时，关于 x 的方程为 2xb0，此时有序数对(0，1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要 求；当 a0 时，44ab0，ab1，此时满足要求的有序数对为(1，1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)， (1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)综上，满足要求的有序数对共有 13 个故选 B. 2在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_ 解析：按十位数字分类，十位可为 1,2,3,4,5,6,7,8，共分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 8 个， 7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个，1 个，则共有 8765

11、432136 个两位数 答案：36 3如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1a3，则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等)，那么 所有凸数的个数为_ 解析：若 a22，则百位数字只能选 1，个位数字可选 1 或 0，“凸数”为 120 与 121，共 2 个若 a23， 则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有 236(个)若 a24，满足条件的“凸数” 有 3412(个)，若 a29，满足条件的“凸数”有 8972(个)所以所有凸数有 26122030 425672240(个) 答案：240 题型题型二二排列排列和排列数和排列数 例例 4 43 名男生，

12、4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数 (1)选其中 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (3)全体站成一排，男、女各站在一起； (4)全体站成一排，男生不能站在一起； (5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾 (6)全体站成一排，甲不站排头乙不站排尾 解析(1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全排列，有 A572 520(种)排法 (2)前排 3 人，后排 4 人，相当于排成一排，共有 A775

13、040(种)排法 (3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有 A 3 3种排法；女生必须站在一起，是女生的 全排列，有 A 4 4种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A 2 2种排法，由分步乘法计数原理知，共有 N A33A44A22288(种) (4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有 A 4 4种排法，男生在 4 个女生隔成的五个空中安排共有 A 3 5种排法， 故 NA44A351 440(种) (5)先安排甲，从除去排头和排尾的 5 个位中安排甲，有 A155(种)排法；再安排其他人，有 A66720(种)排 法所以共有 A15A663 600(种)排法 玩

14、转跟踪 1.（2019上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中 甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示） 【答案】24 【解析】在五天里，连续的 2 天，一共有 4 种，剩下的 3 人排列，故有 3 3 424A 种 2.（2020全国高三专题练习）A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人， 必须坐最北面的椅子，B， C二人必须坐相邻的两把椅子， 其余三人坐剩余的三把椅子， 则不同的座次有 （） A60 种B48 种C30 种D24 种 【答案】B 【解析】首先，A是会议的

15、中心发言人，必须坐最北面的椅子， 考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换， 根据排列数的计算公式，得到，?Ah h，接下来，考虑其余三人的情况， 其余位置可以互换，可得A? ?种，最后根据分步计数原理，得到 ? Ah h A? ? t ?h 种， 故选 B. 3(四川，6)用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有() 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A144 个B120 个C96 个D72 个 解析由题意，首位数字

16、只能是 4，5，若万位是 5，则有 3A3472 个；若万位是 4，则有 2A 3 4个48 个，故 40 000 大的偶数共有 7248120 个选 B. 答案B 4(四川，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有() A192 种B216 种C240 种D288 种 解析当最左端排甲时，不同的排法共有 A 5 5种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不 同的排法共有 C14A 4 4种故不同的排法共有 A55C14A44924216 种 题型题型三三组合和组合数组合和组合数 例例 5 5男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男、女队长各

17、 1 名现选派 5 人外出参加比赛，在下列情形中各 有多少种选派方法？ (1)男运动员 3 名，女运动员 2 名； (2)至少有 1 名女运动员； (3)队长中至少有 1 人参加； (4)既要有队长，又要有女运动员 解(1)分两步完成：第一步，选 3 名男运动员，有 C 3 6种选法； 第二步，选 2 名女运动员，有 C 2 4种选法由分步乘法计数原理可得，共有 C36C24120(种)选法 (2)方法一“至少有 1 名女运动员”包括以下四种情况： 1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男 由分类加法计数原理可得总选法共有 C14C46C24C36C34C26C44C16

18、246(种) 方法二“至少有 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解 从 10 人中任选 5 人有 C 5 10种选法，其中全是男运动员的选法有 C 5 6种所以“至少有 1 名女运动员”的选法 有 C510C56246(种) (3)方法一(直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为 C48； “只有女队长”的选法种数为 C48；“男、女队长都入选”的选法种数为 C38， 所以共有 2C48C38196(种)选法 方法二(间接法)从 10 人中任选 5 人有 C 5 10种选法， 其中不选队长的方法有 C 5 8种所以“至少有 1 名队长”的选法有 C510C58196(

19、种) (4)当有女队长时，其他人任意选，共有 C 4 9种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有 C 4 8种选法，其中 不含女运动员的选法有 C 4 5种，所以不选女队长时的选法共有(C48C45)种所以既要有队长又要有女运动员 的选法共有 C49C48C45191(种) 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 例例 6 6(2017全国)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安 排方式共有() A12 种B18 种C24 种D36 种 答

20、案D 解析由题意可知，其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工作，可得安排方式为 C13C24A22 36(种)，或列式为 C13C24C12343 2 236(种) 玩转跟踪 1某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取 3 种 (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 解(1)从余下的 34 种商品中，选取 2

21、 种有 C234561 种取法， 某一种假货必须在内的不同取法有 561 种 (2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C 3 34种或者 C335C234C3345 984 种取法 某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种 (3)从 20 种真货中选取 1 种，从 15 种假货中选取 2 种有 C120C2152 100 种取法 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种 (4)选取 2 种假货有 C120C 2 15种，选取 3 种假货有 C 3 15种，共有选取方式 C120C215C3152 1004552 555(种) 至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 5

22、55 种 (5)方法一(间接法)选取 3 种的总数为 C335，因此共有选取方式 C335C3156 5454556 090(种) 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 方法二(直接法) 选取 3 种真货有 C 3 20种，选取 2 种真货有 C220C 1 15种，选取 1 种真货有 C120C 2 15种， 因此共有选取方式 C320C220C115C120C2156 090(种) 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 2.2. (2020湖南三湘名校联考)“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中 China 又可以简写为 CN，从 “CN D

23、ream”中取 6 个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有() A360 种B480 种C600 种D720 种 答案C 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 解析从其他 5 个字母中任取 4 个，然后与“ea”进行全排列，共有 C45A55600 种，故选 C. 3.（2020全国 2 卷）4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少 安排 1 名同学，则不同的安排方法共有_种. 【答案】36 【解析】根据题意，有且只有

24、 2 名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原 理得解. 【详解】4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同 学先取 2 名同学看作一组，选法有： 2 4 6C 现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有： 3 3 6A 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6 636种 故答案为：36. 题型题型四四排列组合综合问题排列组合综合问题 例例 7（2020新全国 1 山东）6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆 安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排

25、方法共有（） A. 120 种B. 90 种 C. 60 种D. 30 种 【答案】C 【解析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有 1 6 C； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有 2 5 C；最后剩下的3名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有 12 65 6 1060CC种.故选：C 玩转跟踪 1（浙江高考）若从 1，2，3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共 有 A60 种B63 种C65 种D66 种 【解析】和为偶数，则 4 个数都是偶数，都是奇数或者两个奇数两个偶数，

26、则有 4422 4545 1 56066CCCC 种取法 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 2.（北京高考）将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少一张，如果分给同一人 的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 【解析】 5张参观券分成4堆， 有2个联号有4种分法， 每种分法分给4个人有 4 4 A种方法， 总共有 4 4 496A 玩转练习 1（2017 山东）从分别标有1，2，9的9张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张则抽到 的 2 张

27、卡片上的数奇偶性不同的概率是 A 5 18 B 4 9 C 5 9 D 7 9 【解析】不放回的抽取 2 次有 11 98 C C9 872 ，如图 可知(1,2)与(2,1)是不同，所以抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同有 11 54 2C C=40，所求概率为 405 728 2(2016 年全国 II)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参 加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A24B18C12D9 【解析】由题意可知EF有 6 种走法，FG有 3 种走法，由乘法计数原理知，共有6 318 种走法， 故选 B 3（20

28、16 四川）用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A24B48C60D72 【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为 1、3、5 中任选一个，有 1 3 A种方法，其 他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选， 进行全排列,有 4 4 A种方法， 所以其中奇数的个数为 14 34 A A72， 故选 D 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 4(2018 全国卷)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不

29、同的选法 共有_种（用数字填写答案） 【解析】通解 可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有 12 24 C C12（种）；第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有 21 24 C C4（种） 根据分类加法计数原理知，至少有 l 位女生人选的不同的选法有 16 种 优解从 6 人中任选 3 人， 不同的选法有 3 6 C20（种） ， 从 6 人中任选 3 人都是男生， 不同的选法有 3 4 C4 （种），所以至少有 1 位女生入选的不同的选法有 204 =16（种） 5(2018 浙江)从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字

30、，一共可以组成个没 有重复数字的四位数(用数字作答) 【解析】若取的 4 个数字不包括 0，则可以组成的四位数的个数为 224 534 C C A；若取的 4 个数字包括 0，则可 以组成的四位数的个数为 2113 5333 C C C A综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为 224 534 C C A+ 2113 5333 C C C A=720+ 540 =1 260 6（2017 浙江）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要 求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法（用数字作答） 【解析】分两步，第一步

31、，选出 4 人，由于至少 1 名女生，故有 44 86 CC55种不同的选法；第二步，从 4 人中选出队长、副队长各一人，有 2 4 A12种不同的选法，根据分步乘法计数原理共有55 12660种不 同的选法 7（2017 天津）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位 数，这样的四位数一共有_个（用数字作答） 【解析】 分两种情况， 只有一个数字为偶数有 134 454 C C A个， 没有偶数有 4 5 A个， 所以共有 4134 5454 1080AC C A 个 8.（2020道里区校级一模）现有 5 名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队

32、照相，则甲与乙相邻，且甲与丁 不相邻的站法种数为() A36B24C22D20 【解答】解：根据题意，按甲的站法分 2 种情况讨论：、若甲站在两端， 甲有 2 种情况，乙必须与甲相邻，也有 1 种情况，剩余 3 人全排列，安排的剩余的 3 个位置，有 3 3 6A 种 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 情况，则此时有2 1 612 种站法； 、若甲不站在两端， 甲可以站在中间的 3 个位置，有 3 种情况，乙必须与甲相邻，也有 2 种情况， 甲与丁不能相邻，丁有 2 个位置可选，有 2

33、种情况， 剩余 2 人全排列，安排的剩余的 2 个位置，有 2 2 2A 种站法，则此时有322224种站法； 则一共有241236种站法；故选：A 9（5 分）（2020金安区校级模拟）2016 里约奥运会期间，小赵常看的 6 个电视频道中有 2 个频道在转 播奥运比赛若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进 行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有() A6 种B24 种C36 种D42 种 【解答】解：第一步从 4 个没转播的频道选出 2 个共有 2 4 A种，在把 2 个报道的频道选 1 个有 1 2 A种， 根据分步

34、计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有 21 42 24A A 种 故选：B 10.（2020九龙坡区模拟）某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢 4 个红包，每人最多抢一个，且 红包被全部抢光，4 个红包中有一个 1 元，1 个 2 元，两个 3 元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲、 乙两人都抢到红包且金额不同的情况有() A36 种B30 种C24 种D18 种 【解答】解：根据题意，若甲乙都抢到红包，有 222 342 36C C A 种情况， 其中甲乙抢到红包金额相等的情况有 22 32 6C A 种情况，故甲、乙两人都抢到红包且金额不同的情况有 36

35、630种；故选：B 11（5 分）（2020新建区校级模拟）五经是指：诗经尚书礼记周易春秋，记载了 我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多 文学作品中，占据相当重要的位置学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共 5 本进行研读，若每人至少分一本，则 5 本书的分配方案种数是() A360B240C150D90 【解答】解：先分类再分配第一步分两类(2，2，1)和(3，1，1)， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 则

36、分类方法有 22 353 5 2 2 C C C A 种；第二步分配给三名学生有 3 3 A种分法； 由分步计数乘法原理得： 221 33531 53 2 2 ()150 C C C NCA A 种故选：C 12（5 分）（2020马鞍山一模）西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年 级的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸203 班有包括奔奔、果果在内的 5 位同学报名 参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一 个课外活动课的选课方法种数为() A18B36C72D144 【解答】解：五人选三门课每门课都有

37、人选共有两种情况：2、2、1，3、1、1， 对于：先选一门课作为奔奔和果果所选，再从剩下的三人中选一位单独选一门课， 111 332 18C C C ， 对于：先选一门课程作为奔奔和果果所选，剩下的 3 人在三门课程中任意排列， 13 33 18C A ， 共有181836种，故选：B 13.(2020辽宁五校协作体联考)在爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投 食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处；由于 Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但 此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须被均分 成两组，一组去远处

38、，一组去近处那么不同的搜寻方案有_种 解析：若 Grace 不参与任务，则需要从剩下的 5 位小孩中任意挑出 1 位陪同，有 C 1 5种挑法，再从剩下的 4 位小孩中挑出 2 位搜寻远处，有 C 2 4种挑法，最后剩下的 2 位小孩搜寻近处，因此一共有 C15C2430 种搜寻 方案；若 Grace 参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的 5 位小孩中挑出 2 位搜寻近处，有 C 2 5种挑法， 剩下 3 位小孩去搜寻远处，因此共有 C2510 种搜寻方案综上，一共有 301040 种搜寻方案 答案：40 14.(2020广州调研)某学校获得 5 个高校自主招生推荐名额，其中甲大学 2 个，

39、乙大学 2 个，丙大学 1 个， 并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象，则不同的推荐 方法共有() A36 种B24 种 C22 种D20 种 解析：选 B根据题意，分两种情况讨论：第一种，3 名男生每个大学各推荐 1 人，2 名女生分别推荐给甲 大学和乙大学，共有 A33A2212 种推荐方法；第二种，将 3 名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共 有 C23A22A2212 种推荐方法故共有 24 种推荐方法 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号

40、玩转高中数学研讨 15.(2020南昌调研)某校毕业典礼上有 6 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须 排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有() A120 种B156 种 C188 种D240 种 解析：选 A记演出顺序为 16 号，按甲的编排进行分类，当甲在 1 号位置时，丙、丁相邻的情况有 4 种，则有 C14A22A3348 种；当甲在 2 号位置时，丙、丁相邻的情况有 3 种，共有 C13A22A3336 种；当甲 在 3 号位置时，丙、丁相邻的情况有 3 种，共有 C13A22A3336 种所以编排方案共有 483636120 种