考点13 平面向量数量积教师 .pdf
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1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点考点 1 13 3平面向量数量积平面向量数量积 玩前必备 1两个向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b,作OA a,OB b,AOB(0180)叫作向量 a 与 b 的夹角,记作当0时,a 与 b 同向;当180时,a 与 b 反向;当90时,则称向量 a 与 b 垂直,记作 ab. 2平面向量的数量积 已知两个向量a和b, 它们的夹角为, 我们把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积), 记作ab, 即ab|a|b|cos . 3平面向量数量积的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影|b|cos 的乘积或 b
2、的长度|b|与 a 在 b 方向上的射影|a|cos 的乘积 注意:b 在 a 方向上的投影为|b|cos ab |a| ,而 a 在 b 方向上的投影为|a|cos ab |b| ,投影是一个数量,它可 以为正,可以为负,也可以为 0. 4平面向量数量积的重要性质 (1) abab0; (2)当 a 和 b 同向时,ab|a|b|;当 a 和 b 反向时,ab|a|b|;特别地,aa |a|2,|a| aa; (3)cos ab |a|b|; 5平面向量数量积的坐标运算 设两个非零向量 a,b,a(x1,y1),b(x2,y2), (1) abx1x2y1y2,(2) |a|2x12y12或
3、|a| x12y12.(3) abx1x2y1y20. (4) cos x1x2y1y2 x12y12 x22y22 玩转典例 题型题型一一平面向量数量积的计算平面向量数量积的计算 例例 1(2020兖州区模拟)等腰直角三角形ABC中, 2 ACB ,2ACBC,点P是斜边AB上一点, 且2BPPA,那么(CP CACP CB ) A4B2C2D4 【解答】解:直角三角形ABC中, 2 ACB ,2ACBC,点P是斜边AB上一点,且2BPPA 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 如图所示: 121 333 CPCAABCACB , 22 22 212121 () ()2204 333333 CP
4、 CACP CBCACBCACBCACBCA CB , 故选:D 例例 2(2019新课标)已知(2,3)AB ,(3, )ACt ,| 1BC ,则(AB BC ) A3B2C2D3 【答案】C 【解析】(2,3)AB ,(3, )ACt ,(1,3)BCACABt , | 1BC ,30t 即(1,0)BC ,则2AB BC 故选:C 玩转跟踪 1.(2018新课标)已知向量a ,b 满足| 1a ,1a b ,则(2)(aab ) A4B3C2D0 【答案】B 【解析】向量a ,b 满足| 1a ,1a b ,则 2 (2)2213aabaa b ,故选:B 2.(2020上海)三角形A
5、BC中,D是BC中点,2AB ,3BC ,4AC ,则AD AB 【答案】 19 4 【解析】在ABC中,2AB ,3BC ,4AC , 由余弦定理得, 222 416911 cos 222416 ABACBC BAC AB AC , 1111 24 162 AB AC ,且D是BC的中点, 1 () 2 AD ABABACAB 21 () 2 ABAB AC 111 (4) 22 19 4 3.(2020 届山东省济宁市高三 3 月月考)如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中60BAD ,E 为CD中点, 则AE BD 、 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 【答案】1 【解析】将表示为,然
6、后利用向量的运算法则及数量积的定义即可求解 在菱形 ABCD 中,60BAD ,所以三角形 ABD 是正三角形,从而 ()AE BDADDEBD AD BD DE BD 故答案为 1 题型二题型二利用数量积求模长利用数量积求模长 例例 3(2020香坊区模拟)已知单位向量, a b 的夹角为,且 1 tan 2 ,若向量53mab ,则| (m ) A2B3C26D2或26 【解答】解: 1 tan 2 ,0,为锐角, 2 5 cos 5 ,且| | 1ab , 22 2 5 ( 53 )596 5146 5 1 12 5 maba b , |2m 故选:A 例例 4(2020江西省南昌市第十
7、中学校高三模拟(理) )设, x yR,向量( ,1),ax (2, ),by ( 2,2)c , 且ac ,/ /bc ,则ab _. 【答案】 10 【解析】a c 220 x 1x(1,1)a , / /bc 420y2y (2, 2)b (3, 1)ab |ab 22 3110 。 玩转跟踪 1.(2020全国 1 卷)设, a b为单位向量,且| 1ab ,则|ab _. 【答案】 3 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 【解析】整理已知可得: 2 abab ,再利用, a b 为单位向量即可求得2 1a b ,对ab rr 变形 可得: 22 2abaa bb ,问题得解. 【详解】
8、因为, a b 为单位向量,所以1ab rr 所以 222 2221ababaa bba b 解得:2 1a b ,所以 222 23ababaa bb ,故答案为: 3 2.(2020北京卷)已知正方形ABCD的边长为 2,点P满足 1 () 2 APABAC ,则|PD _; PB PD _ 【答案】(1). 5 (2).1 【解析】以点A为坐标原点,AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系,求得点P的坐标, 利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD 的值. 【详解】以点A为坐标原点,AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系, 则点0,0A、2
9、,0B、2,2C、0,2D, 111 2,02,22,1 222 APABAC , 则点2,1P,2,1PD ,0, 1PB , 因此, 2 2 215PD ,021 ( 1)1PB PD .故答案为: 5;1. 题型题型三三利用数量积求夹角利用数量积求夹角 例例 5(2020临汾模拟)已知夹角为的向量a ,b 满足()2a ab ,且| 2| 2ab ,则向量a ,b 的关 系是() A互相垂直B方向相同C方向相反D成120角 【解答】解:由()2a ab ,可得 2 2aa b ,即 2 | cos2aab , 即 2 22 1 cos2 ,所以cos1 ,即,所以a 、b 方向相反故选:
10、C 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 例例 6 (2020江西省南昌市新建二中高三二模 (理) ) 已知向量a ,b 满足1a ,1, 3b , 若2aab , 则a 与b 的夹角为_. 【答案】120 【解析】由2aab 知, 2 2aa b ,又1a ,即 2 1a 则 1a b ,所以 11 cos, 1 22 a b a b ab ,故夹角为120, 故答案为:120. 玩转跟踪 1.(2020全国 3 卷)已知向量a a,b b满足| 5a ,| 6b ,6a b ,则cos ,=a ab () A. 31 35 B. 19 35 C. 17 35 D. 19 35 【答案】D 【解
11、析】计算出aab 、ab 的值,利用平面向量数量积可计算出cos, a ab 的值. 【详解】5a ,6b , 6a b , 2 2 5619aabaa b . 2 22 2252 6367ababaa bb , 因此, 1919 cos, 5 735 aab a ab aab .故选:D. 2.(2020山东高三下学期开学)已知向量(4, 3),( 1,2)ab ,, a b 的夹角为,则sin_. 【答案】 5 5 【解析】依题意0,,所以 2 102 55 cos,sin1 cos 55|55 a b a b . 故答案为: 5 5 题型题型四四利用数量积求解垂直问题利用数量积求解垂直问
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