第7期：函数压轴小题之折线函数问题.pdf

1、1 函数压轴小题之折线函数问题 折线函数问题是高中数学中分类讨论思想的典型体现近年来，高考对折线函数的命 题常与绝对值综合考查，既考查对绝对值定义、含绝对值函数图像变换的理解，又考查与函 数、方程、不等式等综合的运用，着重考查分类讨论思想在解题中运用 类型一一次函数中折线函数问题类型一一次函数中折线函数问题 典例 1 已知函数 f(x)是定义在 R R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)1 2(|xa|x2a| 3|a|)若集合x|f(x1)f(x)0，xR R，则实数 a 的取值范围为_ 2 【解析】 x|f(x1)f(x)0，xR， f(x1)f(x)0 恒成立，即 f(x1) f(x)高

2、中资料分享 QQ 群：608396916 (1) 当 a0 时，当 x0 时，f(x)1 2x，又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 函数 f(x) 是在 R 上的解析式为 f(x)1 2x， 而 f(x1)是由 f(x)向右平移 1 个单位， 则函数 f(x)和 f(x 1)的图象有下图关系： 通过图象观察，当 a0 时，f(x1)f(x)恒成立； (2) 当 a0 时，当 x0 时， ),2,3 )2 , ), 0, )( axax aaxa axx xf 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(x)在 R 上的图象为(如下图)： 要使 f(x1)f(x)，两图象只要满足： 由

3、图知，只要满足3a13a，即 00，则 g(t) lnt t 在 t(1，e)时为增函数；当 t(e，)时，g(t)0，则 g(t)lnt t 在 t(e， )时为减函数所以 g(t)maxg(e)1 e，所以 k 1 e. 当 0t1 时，f(t)t(t1)2，即t(t1)2kt 对于 t(0，1)恒成立，所以 k (t1)2，t(0，1)，所以 k0. 当 t0 时，f(t)t(t1)2，即 t(t1)2kt 对于 t(，0恒成立，所以 k(t 1)2，t(，0，所以 k1. 综上，1 ek1. 高中资料分享 QQ 群：608396916 【名师指点】本题考查了分段函数、利用导数求最值，以

4、及恒成立问题等内容，借助分类讨 论使问题得到解决本题属于难题 5 典型练习：典型练习： 1. 已知函数 f(x)|lnx|，g(x) 0，01，则方程|f(x)g(x)|1 实根的个数 为_ 【解析】 设 F(x)f(x)g(x) lnx，0 x1， x 22lnx， 12 ，利用导数知识画出 F(x)的图象，它 与直线 y1，y1 的交点各有 2 个，方程|f(x)g(x)|1 实根的个数为 4. 2已知直线 ykx1 与曲线 f(x)|x 1 x|x 1 x|恰有四个不同的交点，则实数 k 的取值范围为_ 【解析】 f(x) 2 x（x1） ， 2x（1x0） ， 2x（0 x1） ， 2

5、 x（x1） 是偶函数，作出图象；ykx1 过定点(0，1)当 k0 时， 显然成立 当直线 ykx1 与 y2 x相切时， 设切点(x0， y0)即 x0， 2 x0 ， 斜率 k 2 x01 x0 . 又 k 2 x0， 2 x01 x0 2 x0，得 x04，切点 4，1 2 ，得 k1 8，此时直线与 yf(x) 有四个交点同理得 k 另一个值1 8满足条件 高中资料分享 QQ 群：608396916 6 3若函数 f(x)x 2|xa|在区间0，2上单调递增，则实数 a 的取值范围是_ 【解析】 当 xa 时，f(x)x 3ax2恒过定点(0，0)，(a，0)f(x)3x22ax3x

6、 x2a 3 0，解得 x10，x22a 3 .当 xa 时，f(x)x 3ax2恒过定点(0，0)，(a，0)，f(x) 3x 22ax3x x2a 3 0，解得 x10，x22a 3 .若 2 3a0 即 a0 时，f(x)x 2|x|，当 x 0，2时，f(x)x 3单调递增，符合题意；若2 3a0 即 a0 时，a 2a 3 a 30，a0即a0时， a 2a 3 a 30， a 2a 3 .f(x) 的图象大致如图： 易知 f(x)的增区间为 0，2a 3 、a，)要使 f(x)在0，2上单调递增，只需2a 3 2，a 3.综上，a0 或 a3. 7 4. 已知函数 f(x)|x 3

7、4x|ax2 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围为_ 【解析】 0|x 34x|ax2，则|x34x|2ax 恰有 2 个零点，即 y|x34x|与 y2ax 的图象有两个交点如图，直线 y2ax 与 y|x 34x|的图象相切时，设切点为(x 0，y0)， 则y 02 x0 3x 2 04，又 y0 x 3 04x0，解得 x01，此时 k1，而 y|x 34x|是偶函数， 在 y 轴右侧相切时 k1.而两个函数的图象若有两个交点，则 k1，而 ka，则 实数 a 的取值范围为 a1. 5. 函数 f(x) x 2x，x0， 1 2| 1 2x|，x0， 若关于 x 的方程 f(x)k

8、xk 至少有两个不相等的实数 根，则实数 k 的取值范围为_ 【解析】 画图， y2kxk 过定点(1， 0)， 找到临界(0.5， 0.5)和(1， 0)连线斜率1 3与临界 f (1)1.由图象知实数 k 的取值范围为 1 3，1(1，) 8 6. 已知 f(x)是定义在1，)上的函数，且 f(x) 1|2x3|，1x2， 1 2f 1 2x，x2， 则函数 y 2xf(x)3 在区间(1，2 015)上零点的个数为_ 【解析】 作出函数f(x) 1|2x3|，1x2， 1 2f 1 2x，x2 的图象， 函数y2xf(x)3的零点为方程f(x) 3 2x的解， 即零点个数为函数 yf(x

9、)与函数 y 3 2x图象交点个数， 通过图象可得零点为 3 2 2 n 1，nN N* *，令 13 22 n12 015，得 1n11. 高中资料分享 QQ 群：608396916 7. 已知函数 f(x) x1 |x|1，xR R，则不等式 f(x 22x)f(3x4)的解集是_ 【解析】 f(x) x1 |x|1 1，x0， 2 x11 ，x0)对任意实数 t，在闭区间t1，t1上总存在两实数 x1、x2，使得|f(x1)f(x2)|8 成立，则实数 a 的最小值为_ 【解析】 f(x)a x10 a 2 14100 a (a0)，由题设知原题可以等价于对任意区间x1，x2，x2 x1

10、2，函数 f(x)在x1，x2上的最大值与最小值之差大于等于 8，不妨设 g(x)ax 214 100 a ，则原题可转化成对任意 tR R，g(x)在t，t2上最大值与最小值之差大于等于 8， 当 t0 时，g(x)在t，t2上递增， 从而 gmax(x)gmin(x)g(t2)g(t)a(t2) 2t28， 即 a(4t4)8 对 t0 恒成立， 从而 4a8a2； 当 t20 时，g(x)在t，t2上递减，从而 gmax(x)gm in(x)g(t)g(t2)8 时， 对任意 t2 恒成立， 即 a(4t4)8.对任意 t2 恒成立， 从而 a(84)8a2； 当 t10 时， g(x)

11、在t， 0上递减， 在0， t2上递增， 且 g(t2)g(t)， 从而 gmax(x) gmin(x)g(t2)g(0)a(t2) 28，对于任意 t1 恒成立，从而有 a8； 同理 t10 时，也有 a8，综上知 a8.高中资料分享 QQ 群：608396916 9. 设函数 f(x)(xa)|xa|b(a、 b 都是实数) 则下列叙述中， 正确的是_ (填 序号) 对任意实数 a、b，函数 yf(x)在 R R 上是单调函数； 存在实数 a、b，函数 yf(x)在 R R 上不是单调函数； 对任意实数 a、b，函数 yf(x)的图象都是中心对称图形； 存在实数 a、b，使得函数 yf(x

12、)的图象不是中心对称图形 【解析】 由题知 f (x) （xa） 2b，xa， （xa） 2b，xa，示意图如图所示 因而 f (x)满足在 R R 上是增函数且关于点(a，b)中心对称 10 10. 在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M 到N的一条“折线路径” ，所有“折线路径”中长度最小的称为M到N的“折线距离” 如 图所示的路径 123 MD D D N与路径MEN都是M到N的 “折线路径” 某地有三个居民区分 别位于平面xOy内三点) 1 , 8(A，)2 , 5(B，)14, 1 (C，现计划在这个平面上某一点,P x y 处修建一个超市 （1）

13、请写出点P到居民区A的“折线距离”d的表达式（用, x y表示，不要求证明） ； （2）为了方便居民，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“折线距离”之和最小 11 【解析】 解： （1）点P到居民区x的“折线距离”18yxd，Ryx, （2）点P到居民区x、B、C的“折线距离”之和为 1412518yxyxyxd， 下面分别确定x和y的值，使d最小 令158 1 xxxd，1421 2 yyyd， Q 1 32,5 12,15 851 14,81 32,8 xx xx dxxx xx xx 当1x时， 1 d的最小值为13. Q 2 317,14 11,214 1214 15,12 3171

14、 yy yy dyyy yy yy 当2y时， 2 d最小值为13， 答:当点P取在)2 , 1 (时，到三个居民区的“折线距离”之和最小为26. 11.对于定义在区间 D 上的函数( )f x，若存在闭区间 , a bD和常数c，使得对任意 1 , xa b，都有 1 ()f xc，且对任意 2 xD，当 2 , xa b时， 2 ()f xc恒成立，则称 函数( )f x为区间 D 上的“平底型”函数 （1） 判断函数 1( ) | 1|2|f xxx和 2( ) |2|fxxx 是否为 R 上的 “平底型” 函数？ 并说明理由； （2） 设( )f x是 （1） 中的 “平底型” 函数，

15、 k 为非零常数， 若不等式| |( )tktkkf x 对一切tR 恒成立，求实数x的取值范围； （3）函数 2 ( )2g xmxxxn是区间 2,)上的“平底型”函数，求m和n值 12 【解析】 （1）对于函数 1( ) | 1|2|f xxx，当1,2x时， 1( ) 1f x 当1x 或2x 时， 1( ) |( 1)(2)| 1f xxx恒成立，故 1( ) f x是“平底型”函 数 对 于 函 数 2( ) |2|fxxx ， 当(,2x 时 ， 2( ) 2fx ； 当(2,)x时 ， 2( ) 222fxx 所以不存在闭区间 , a b， 使当 , xa b时，( )2f x

16、 恒成立 故 2( ) fx 不是“平底型”函数高中资料分享 QQ 群：608396916 （2）若| |( )tktkkf x对一切tR 恒成立， 则 min (|)|( )tktkkf x所以2| |( )kkf x又0k，则( )2f x 则|1|2| 2xx，解得 15 22 x故实数x的范围是 1 5 , 2 2 （3）因为函数 2 ( )2g xmxxxn是区间 2,)上的“平底型”函数， 则存在区间 , a b 2,) 和常数c，使得 2 2mxxxnc恒成立 所以 22 2()xxnmxc恒成立， 即 2 2 1 22 m mc cn 解得 1 1 1 m c n 或 1 1 1 m c n 当 1 1 1 m c n 时，( )|1|g xxx 当 2, 1x 时，( )1g x ，当( 1,)x 时，( )211g xx 恒成立 此时，( )g x是区间 2,)上的“平底型”函数 当 1 1 1 m c n 时，( )|1|g xxx 高中资料分享 QQ 群：608396916 当 2, 1x 时，( )21 1g xx ，当( 1,)x 时，( )1g x 此时( )g x不是区间 2,)上的“平底型”函数综上，m1，n1 为所求