2019年清华大学自主招生试题及解析.pdf

1、1 年清华大学自主招生试题解析（部分） 年清华大学自主招生试题解析（部分） 1.1.一个四面体棱长分别为，求外接球的半径 解：解：设，易知的外接圆半径为 同理可得的外接圆的半径为 设外接圆的圆心为，易知 则外接球半径 所以外接球半径为 2.2.求值： 解：解：，由分部积分法可知 所以 备注：听说真题是这一道：备注：听说真题是这一道：求值： 解：解： 2 3.3.已知为单位圆上一动点，求的最大值 解：解：设，在 整理可得 由三元均值不等式可知 当且仅当时，等号成立，则的最大值为 4.4.为圆的直径，为中点，则下列选项正确的是（ ） 忘记 解：解：设圆的半径为 ，易知 在与中，由余弦定理可知 解得

2、 ，选项错误 在中，由中线定理可知 解得 则，选项正确 而，所以，选项正确 综上所述：选为 5.5.， 是到的映射，若满足，则 称有序对为“好对” ，求“好对”的个数最小值 解：解：情形一：当只对应中 个元素时，此时“好对”有 对 3 情形二：当只对应中 个元素时，设有组，组，则此时“好 对”有 对，且 则由柯西不等式可知 情形三：当只对应中个元素时，设有组，组，组 ，则此时“好对”有 对，且 则由柯西不等式可知 依次可得，易知当对应中有 个元素时，此时“好对”的最小值为，当且仅当中每 个元素对应中一个元素时，等号成立 则“好对”的个数的最小值为 4 6.6.若对，使得成立，则称函数满足性质，

3、下列函 数不满足性质的是（ ） 解：解：因为，使得，则 的值域是值域的子集 选项:，,满足题意 选项:，令，则 当时，则由四元均值不等式可知 当且仅当时，等号成立，所以 ，满足题意 因为为奇函数 选项:，不满足题意 选项，不满足题意 综上所述：选, 5 7.7.已知，若，求的最大值 解：解：建立平面直角坐标系，且，易知点 的终点的轨迹方程为 又，所以此时 8.8.椭圆， 过的直线交椭圆于两点， 点在直线上， 若 为正三角形，求的面积 解：解：设直线，中点为，联立 整理可得 则 而 而，解得 所以 则的面积为 6 9.9.圆上一点处的切线交抛物线于两点， 且满足， 其中为坐标原点，求 解：解：因

4、为，所以直线恒过定点，而切线方程为 则 解得 7 10.10.设 为各位数字和， 是 的各位数字之和， 为 的各位数字之和，求 的值 解：解：因为，则 则 情形一：当 的位数为 ，则 情形二：当 的位数为小于 ，则 由情形一和情形二可知 情形三：当 的位数为 位时，则 情形四：当 的位数位 位数时，则 由情形三和情形四可知 又 则 而 所以 11.11.实数满足，求的最大值和最小值 解：解：情形一：当时，此时 情形二：当时，此时 8 易知，令，则 情形三：当时，此时 易知，令，则 综上所述：的最小值为 ，最大值为 9 12.12.数列满足：，则（ ） 单调递增 无上界 忘记 解：解：易知，且，

5、则 ，单调递增 又（二次函数对称轴） ，则无上界，而 则 又无上界，所以 综上所述：正确 13.13.若正实数满足，则的最小值为 解：解：因为，由二元均值不等式可知 解得 再由三元均值不等式可知 此时 当且仅当时，等号成立 10 14.14.设，求最小值 解：解：情形一：当时，则 此时易知 情形二：当时，则 此时 情形三：当时，则 此时 综上所述：最小值为 1515.设，则方程的解的个数为 解：解：不妨设，则易知，而 则 或或或或或 综上所述：总共解的个数为 11 16.16.若实数满足，求的取值范围 解：解：因为，则 情形一：当时，由常见不等式可知 所以 当时，等号成立，而满足题意，此时 情形二：当时，此时 令，则 易知，所以 12 1 17 7. .在直三棱柱中，已知，动点 在线段上，求的最小值 解：将平面展开与平面重合，则易知，在中，由余 弦定理可知 所以 的最小值为