函数压轴小题之嵌套函数问题.pdf
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1、1 函数压轴小题之嵌套函数问题 嵌套函数,就是指在某些情况下,您可能需要将某函数作为另一函数的参数 使用,这一函数就是嵌套函数.一般地,对于定义在区间D上的函数( )yf x (1)若存在 0 xD,使得 00 ()f xx,则称 0 x是函数( )yf x的一阶不动点,简称不动 点; (2) 若存在 0 xD,使 00 ( ()f f xx,则称 0 x是函数( )yf x的二阶不动点,简称稳定 点. 2 类型一嵌套函数中不动点稳定点问题类型一嵌套函数中不动点稳定点问题 典例 1 |Ax fxx , |Bx ffxx . (1)求证:AB ; (2)若 2 1,fxaxaR xR,且AB ,
2、求实数a的取值范围; (3) 若( )f x是R上的单调递增函数,0 x是函数的稳定点, 问 0 x是函数的不动点吗? 若是,请证明你的结论;若不是,请说明的理由. 3 【解析】 ( 1 ) 若A , 则AB 显 然 成 立 ; 若A , 设tA , ,f tt ff tf tt tB ,故AB . (2) 2 ,1Aaxx 有实根, 1 4 a .又AB ,所以 2 2 11a axx , 即 3422 210a xa xxa 的 左 边 有 因 式 2 1axx, 从 而 有 222 110axxa xaxa.高中资料分享 QQ 群:608396916 AB , 22 10a xaxa 要
3、么没有实根,要么实根是方程 2 10axx 的根. 若 22 10a xaxa 没有实根,则 3 4 a ; 若 22 10a xaxa 有实根且实根是方程 2 10axx 的根, 则由方 2 10axx , 得 22 a xaxa,代入 22 10a xaxa ,有210ax .由此解得 1 2 x a , 再代入得 11 10 42aa ,由此 3 4 a ,故a的取值范围是 1 3 , 4 4 . (3)由题意:x0是函数的稳定点, 则 00) (xxff, 若 00) (xxf,)(xf是R R上的单调增函数, 则)()( 00 xfxff, 所以)( 00 xfx , 矛盾. 若)(
4、 00 xfx ,)(xf是R R上的单调增函数, 则)()( 00 xffxf, 所以 00) (xxf, 矛盾故 00) (xxf,所以 x0是函数的不动点. 4 类型二嵌套函数中零点个数问题类型二嵌套函数中零点个数问题 典例 2 若函数 32 f xxaxbxc有极值点 1 x, 2 x,且 11 f xx,则关于x的 方程 2 320f xaf xb的不同实根的个数是_. 【解析】 函数 32 f xxaxbxc有极值点 1 x, 2 x, 说明方程 2 ( )320fxxaxb 的两根为 1 x, 2 x,方程 2 320f xaf xb的解为 1 ( )f xx或 2 ( )f x
5、x,若 12 xx, 即 1 x是极大值点, 2 x是极小值点, 由于 11 f xx, 1 x是极大值, 1 ( )f xx 有两解, 12 xx, 21 ( )()f xxf x只有一解,此时只有3解,若 12 xx,即 1 x是 极小值点, 2 x是极大值点, 由于 11 f xx, 1 x是极小值, 1 ( )f xx有2解,1 2 xx, 21 ( )()f xxf x只有一解,此时只有3解.高中资料分享 QQ 群:608396916 5 类型三嵌套函数中参数问题类型三嵌套函数中参数问题 典 例 3已 知 函 数 2 21,0, ,0, xaxax f x lnxx 2 1 2g x
6、xa . 若 函 数 yf g x有4个零点,则实数a的取值范围是_. 【解析】 令 0,f ttg x 当10a时 f t有两个零点 12 1,1tt ,需1 211aa 当1=0a时 f x有三个零点, 123 1,0, =2ttt ,1 21a 所以函数 yf g x有 5 个零点,舍;高中资料分享 QQ 群:608396916 当10a时 , 由 于1 21a , 所 以 2 4440aa , 且 2 11 2aaaa ,所以 5-1 1 2 a 综上实数a的取值范围是 51,1 1, 2 【名师指点】求解复合方程问题时,往往把方程 ( )0f g x分解为( )0f t 和 ( )g
7、 xt处理,先从方程( )0f t 中求t,再带入方程( )g xt中求x的值 6 典型练习:典型练习: 1. 设函数axexf x )((aR,e为自然对数的底数) ,若曲线xysin上存 在点),( 00 yx,使 00) (yyff成立,则a的取值范围是_ 【解析】 由题意可得 y0=sinx0-1,1,f(y0)=ey0+y0-a, 曲线 y=sinx 上存在点(x0,y0)使得 f(f(y0) )=y0,存在 y00,1,使 f(y0) =y0成立,即 f(x)=x 在0,1上有解,即 ex+x-x2=a 在0,1上有解 令 g(x)=ex+x-x2,则 a 为 g(x)在0,1上的
8、值域 当 x0,1时,g(x)=ex+1-2x0,故函数 g(x)在0,1上是增函数, 故 g(0)g(x)g(1) ,即 1ae,故答案为:1,e 2. 已 知 函 数( )yf x是 定 义 域 为R的 偶 函 数 .当0 x 时 , 5 sin() (01) 42 ( ) 1 ( )1 (1) 4 x xx f x x ,若关于x的方程 2 ( )( )0f xaf xb(, a bR), 有且仅有 6 个不同实数根,则实数a的取值范围是_. 7 【解析】 作出 5 sin() (01) 42 ( ) 1 ( )1 (1) 4 x xx f x x 的图象如下,又函数( )yf x是定义
9、域为R的 偶函数,且关于x的方程 2 ( )( )0f xaf xb,, a bR有且仅有6个不同实数根, 2 0 xaxb的两根分别为 1 5 4 x , 2 5 1 4 x或 1 01x, 2 5 1 4 x, 由韦达定理可得axx 21 , 若 4 5 1 , 4 5 21 xx, 则 2 5 4 9 a, 即 4 9 2 5 a, 若 1 01x, 2 5 1 4 x,则 4 9 1a,即1 4 9 a,从而可知 4 9 2 5 a或 1 4 9 a;高中资料分享 QQ 群:608396916 3.已知a,b是实数,1 和1是函数 32 ( )f xxaxbx的两个极值点 (1)求a和
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