第9章 平面向量-高中数学公式、定理、定律图表（必修+选修）.pdf

1、高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 向量的应用 向量在平面几何中的应用 向量在解析几何中的应用 向量在物理中的应用 知识网络 第九章平 面 向 量 平 面 向 量 平面向量 的概念 向量的线 性运算 向量的加法 加法定义 加法法则 加法的运算律 三角形法则 平行四边形法则 向量的减法 数乘向量 相反向量 减法的三角形法则 概念 运算 向量的概念 向量的模 向量表示方法 几何表示法 字母表示法 坐标表示法 与向量有关的概念 零向量 单位向量 相等向量 平行向量 平面向量 的数量积 数量积定义 数量积的性质 数

2、量积的运算律 平面向量数量积的坐标表示 平面向量的基本 定理及坐标运算 平面向量基本定理 正交分解 平面向量的坐标表示 平面向量的坐标运算 平面向量共线的表示 72 第九章平 面 向 量 概述： 向量是数学中重要的、 基本的概念， 是新课标教材增加的一个重要内容.向量具有 代数和几何的双重性质， 作为代数对象， 向量可以运算， 作为几何对象， 向量有方向， 可 以刻画直线、 平面、 切线等几何对象； 向量由大小和方向两个因素确定， 大小反映了向量 数的特征， 方向反映了向量形的特征， 因此是集数形于一身的数学概念， 是数学中数形结 合思想的体现.此外， 向量也是重要的物理模型， 在现实生活中有

3、广泛的应用. 9.1向量的线性运算 一、 知识图表 平 面 向 量 的 基 本 概 念 向量既有大小又有方向的量叫做向量. 向量的表 示方法 几何表示法： 用有向线段来表示向量， 如A ? B， 有向线段 的长度和箭头所指方向分别表示向量的大小和方向. 字母表示法： 用黑体的小写字母表示向量， 如a，b，c. 坐标表示法： 在直角坐标系内， 分别取与x 轴、 y轴方向 相同的两个单位向量i，j作基底， 则对任一向量a， 有 且只有一对实数x，y， 使a=xi+yj， 就把 （x，y） 叫做向 量a的坐标， 记作a=（x，y）. 向量的模 向量A ? B的大小， 即向量A ? B的长度， 记作A

4、 ? B . 与向量有 关的概念 零向量： 模为0的向量， 记作0. 单位向量： 模的长度等于1个单位长度的向量. 平行向量： 方向相同或相反的非零向量. 相等向量： 模相等且方向相同的向量. 向 量 的 加 法 定义求两个向量和的运算 加法法则 三角形法则 已知非零向量a、b， 在平面内任取 一点A， 作A ? B =a，B ? C =b， 则向量 A ? C就是a与b的和. 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个非零向量 a、b为邻边作荀OACB， 则以O为 起点的对角线O ? C就是a与b的和. 运算律 交换律a+b=b+a 结合律（a+b）+c=a+（b+c） （1） 判断一个量是 否

5、为向量应从两方面入 手： 是否有大小， 是否 有方向. （2） 向量印刷体用 黑体a， 手写体用 ? a. （3） 用有向线段表 示向量时， 向量与有向 线段的 起 点 位 置 无 关 ， 即同向且等长的有向线 段都表示同一个向量. （4） 向量不能比较 大小， 但向量的模可以 比较大小. （5） 任一组平行向 量都可以移到同一条直 线上， 因此也将平行向 量称为共线向量. 规定： 零向量与任意向 量平行. （6） 使用三角形法 则要注意 “首尾相接”， 即后面向量的起点与其 前一个向量的终点重合. （7） 当两个向量共 线时， 平行四边形法则 不适用， 三角形法则同 样适用. 特别提示: 7

6、3 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 续表 （8） 差向量是从减 向量的终点指向被减向 量的终点. （9） 向量数乘运算 结果仍然是向量， 实数 与向量可以求积， 但是 不能进行加减运算. （10） 向 量 平 行 与 直线平 行 是 有 区 别 的 ， 直线平行不包括重合. 1.要正确理解有关平面向量的概念：（1） 向量常用一条有向线段来表示， 有向线段的长度表 示向量的大小， 箭头所指的方向表示向量的方向， 但不能说向量就是有向线段；（2） 两个向量相 等必须满足： 模相等、 方向相同.如单位向量的方

7、向不一定相同， 故单位向量不一定相等. 2.使用平行四边形法则时， 两个已知向量是要共始点的， 和向量是始点与已知向量的始点重合 的那条对角线， 而差向量是另一条对角线， 方向是从减向量指向被减向量， 这一结论应用非常广 泛， 应该加强理解并记住. 二、 重要概念剖析 三、 学习方法引导 例已知ABC 中， D、E、F分别为BC、CA、AB的中点. 求证：A A? D +B AB E +C AB F =0. 思路引导：利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则把所要求 的向量用已知向量来表示， 注意题中出现的相等向量、 相反向量及 平行向量. 证明一： 由向量加法的三角形法则有：A AB D =

8、A AB B +B AB D =A AB B + 1 2 B AB C；B AB E =B AB C +C AB E =B AB C + 1 2 C AB A；C AB F =C AB A +A AB F =C AB A + 1 2 A AB B， A AB D +B AB E +C AB F =A AB B +B AB C +C AB A +1 2 （B AB C +C AB A +A AB B）.又A AB B +B AB C +C AB A =0， A AB D +B AB E +C AB F =0. 证明二：A AB D=1 2 （A AB B+A AB C），B AB E=1 2 （

9、B AB C+B AB A），C AB F=1 2 （C AB A +C AB B）， A AB D +B AB E +C AB F = 1 2 （A AB B +A AB C +B AB C +B AB A +C AB A +C AB B）=0. 名师经验谈：用已知向 量 表 示 另 外 的 一 些 向 量， 要尽可能地转化到 平行四边形或三角形中 去， 选用从同一顶点出 发的基本向量或首尾相 接的向量.解 题 时 还 要 注意共线关系、 中点关 系等.如A AB D = 1 2 （A AB B + A AB C）. 向 量 的 减 法 与a长度相等， 方向相反的向量叫a的相反向量， 记作-

10、a. 求两个向量差的运算叫向量的减法. 几何意义 a-b表示从b的终点指向a的终点的向量， 简记为 “终 减起”. 定义 实数与向量a的积是一个向量， 记为a.它的长度与 方向规定如下： （1）a=a；（2） 当0 时， a与a方向相同；0 时， a与a方向相反；=0或a=0 时， 0a=0或0=0. 运算律 结合律：（a）=（）a； 分配律：（+）a=a+a； （a+b）=a+b. 平行向量 基本定理 向量a与非零向量b共线的充要条件是有且只有一个实 数， 使a=b. 相反向量 定义 数 乘 向 量 向 量 共 线 的条件 74 第九章平 面 向 量 （2009 山东） 设P是ABC所在平面

11、内的一点，B B? C +B B? A =2B B? P， 则 （） A. P B? A +P B? B =0B. P B? C +P B? A =0 C. P B? B +P B? C =0D. P B? A +P B? B +P B? C =0 答案：B 四、 高考回眸 高考命题趋势：本知识 点在高考试题中很少出 现， 预测今后高考中单 独命题可能性也较小， 多以向量有关概念及加 减 法 法 则 等 知 识 点 命 题. （1） 基底e1、e2的 选取不唯一， 只要是同 一平面内的两个不共线 向量都可作为基底，e1、 e2不共线说明e1、e2为 非零向量. （2） 注意向量的坐 标表示与点

12、的坐标的区 别： 向量的坐标表示为 a=（x，y）， 点的坐标写 作A（x，y）. （3） 通过建立平面 直角坐标系， 可以将平 面内任一向量用一个有 序实数对来表示， 反过 来， 任一有序实数对就 表示一个向量. （4） 两个向量平行 的条件可简记为： 相应 坐标成比例. 特别提示: 9.2向量的分解与向量的坐标运算 一、 知识图表 平面向 量基本 定理 平面向量 基本定理 向量e1、e2是一平面内的两个不平行的向量， 那么对该平 面内的任一向量a， 存在唯一的一对实数a1、a2， 使a= a1e1+a2e2， 我们把不共线向量e1、e2叫表示这一平面内所有 向量的一组基底. 三点共线的充

13、要条件 已知O为原点，A、B、C为平面内三点，A、B、C三点在 一条直线上的充要条件是O B? C =O B? A +O B? B， 且+=1. 平 面 向 量的正 交 分 解 和坐标 表示 向量的正 交分解 如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直， 则称这个基底为 正交基底.在正交基底下分解向量， 叫做正交分解. 平面向量的 坐标表示 在平面直角坐标系内， 分别取与x轴和y轴方向相同的两 个单位向量i，j作为基底， 则对于任一向量a有且只有一 对实数x，y使得a=xi+yj，（x，y） 叫做向量a的坐标， 记作a=（x，y）. 加法运算若a=（x1，y1），b=（x2，y2）， 则a+b=（

14、x1+x2，y1+y2）. 减法运算a-b=（x1-x2，y1-y2）. 数乘向量a=（x1，y1）. 向量坐 标求法 若A（x1，y1），B（x2，y2）， 则A B? B =（x2-x1，y2-y1）. 设a=（x1，y1），b=（x2，y2）， 若b0， 当且仅当x1y2-x2y1=0 时， 向量a、b共线. 平 面 向 量的坐 标运算 平面向量共 线的表示 75 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 例1已知点A（-1，2），B（2，8）， 以及A A? C =1 3 A A? B，D A? A =-

15、1 3 B A? A， 求 点C、D的坐标和C A? D的坐标. 思路引导：可先设出点C、D的坐标， 将各个向量用坐标表示出来， 再利用两向量相等的充要条件列出坐标之间的相等关系式， 解方程 （组）， 问题即可得到解决. 解： 设点C、D的坐标分别为 （x1，y1），（x2，y2）， 则A A? C =（x1+1，y1-2），A A? B =（3，6），D A? A =（-1-x2，2-y2）， A A? C = 1 3 A A? B，D A? A =- 1 3 B A? A， x1+1=1 y1-2= = 2 和 -1-x2=1 2-y2= = 2 ， 解得 x1=0 y1= = 4 和 x

16、2=-2 y2= = 0 ， 点C、D的坐标分别是 （0，4），（-2，0）， 从而C A? D =（-2，-4）. 例2已知向量a=（1，2），b=（m，1），u=a+2b，v=2a-b， 且uv， 求实数m的值. 思路引导：先利用向量的坐标运算表示出向量u、v的坐标， 再利 用向量共线的充要条件求解. 解： a=（1，2），b=（m，1），u=a+2b，v=2a-b， u=（2m+1，4），v=（2-m，3）， 又uv，3（2m+1）-4（2-m）=0， 即10m=5， 解得m=1 2 . 三、 学习方法引导 1.根据平面向量基本定理， 只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底， 即对

17、基底的选 取不唯一， 但在选取基底时， 应尽量使用更有利于解决问题的基底.在同一组基底e1，e2下， 同 一平面内的任意向量a都可以分解成a=a1e1+a2e2的形式， 且分解式是唯一的. 2.两个向量共线与两个向量平行是一致的， 只需满足方向相同或相反.利用向量平行证明三点 共线只需：（1） 证明向量平行； （2） 证明两个向量有公共点. 二、 重要概念剖析 四、 高考回眸 （2009湖北） 对于非零向量a，b，“a+b=0” 是 “ab” 的 （） A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案：A 名师经验谈：利用向量 的坐标运算解题， 主要 就是根

18、据相等的向量坐 标相同这一原则， 通过 列 方 程 （组 ） 进 行 求 解； 在将向量用坐标表 示时， 要看准向量的起 点和终点坐标， 即要注 意向量的方向. 名师经验谈：如果已知 两向量共线， 求某些参 数的取值， 则采用向量 共线的充要条件列出方 程求解比较简捷. 高考命题趋势：利用两 向量相等的充要条件和 两向量平行的充要条件 解决简单的问题是高考考 查的内容， 多为选择题和 填空题， 属于容易题. 76 第九章平 面 向 量 1.向量的数量积， 其结果是数量， 而不是向量， 它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘 积， 其符号由夹角的余弦值决定.两个向量的夹角是指把两个向量平移到有

19、共同起点时0到之间 的角. 2.要准确区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、 实数与实数积之间的差异.数量积的运算 二、 重要概念剖析 9.3平面向量的数量积 一、 知识图表 向量的夹角 已知两个非零向量a和b， 作O ? A =a，O ? B =b， 则AOB叫向量a和b 的夹角， 记作 a，b， 规定0a，b. 向量的数量 积的定义 数量abcosa，b叫做向量a与b的数量积 （或内积）， 记作ab， 即ab=abcosa，b. 投影acosa，b叫做向量a在b方向上的射影的数量. 数量积的 几何意义 a的长度a与b在a方向上的射影数量bcosa，b的乘积等于ab. 向 量 数 量 积 的

20、性质 （1） 如果e是单位向量， 则 ae=ea=acosa，e （2）ab圳ab=0 （3）aa=a2， 即a=aa 姨 （4）cosa，b= ab ab （5）abab 向 量 数 量 积 的运算律 （1） 交换律：ab=ba （2） 结合律：（a） b=（ab）=a（b） （3） 分配律：a（b+c）=ab+ac 向 量 数 量 积 的坐标表示 若a=（x1，y1），b=（x2，y2）， 则ab=x1x2+y1y2， 即两个向量的数量积等 于它们对应的坐标的乘积的和. 向 量 数 量 积 坐 标 运 算 的 常用结论 若a=（x1，y1），b=（x2，y2）， 则 （1）a=x21+y2

21、1 姨 （2）ab圳x1x2+y1y2=0 （3）cosa，b= x1x2+y1y2 x21+y21 姨 x22+y22 姨 （1） 当 a，b= 2 时， ab， 规定零向量 与任一向量垂直. （2） 在书写两个向 量的数量积时， 中间的 点不能省略. （3） 投影是一个数， 其大小与两个向量的夹 角有关， 当0a，b 2 时， 投影为正； 当 a，b= 2 时， 投影等 于0； 当 2 0）， 则A A? M =（x，y-b），M A? Q =（a-x，-y）. A A? M =- 3 2 M A? Q，（x，y-b）=- 3 2 （a-x，-y）. a= 1 3 x，b=- y 2 ，

22、即A 0，- y 2 2? ，Q x 3 ， ，? 0 . P A? A =3，- y 2 ，?，A A? M =x， 3 2 ，? y， 又P A? AA A? M =0，3x- 3 4 y2=0， 即所求轨迹方程为y2=4x. 高考命题趋势：向量的 应用这部分内容， 体现 了新课标的理念， 也突 出了向量的工具作用， 向量与解析几何结合的 题目几乎每年必考， 今 后也应保持较高的考查 力度. 四、 高考回眸 1.（2011 全国） 设向量a，b，c满足a=b=1，ab=- 1 2 ，a- c，b-c=60， 则c的最大值等于 （） A. 2B.3姨C.2姨D. 1 答案：A 2.（2011广东） 若向量a，b，c满足ab且ac， 则c（a+ 2b） 等于 （） A. 4B. 3C. 2D. 0 答案：D 3.（2011重庆） 已知单位向量e1，e2的夹角为60， 则2e1-e2= . 答案：3姨 80