第3章 立体几何初步-高中数学公式、定理、定律图表（必修+选修）.pdf

1、高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 知识网络 第三章立体几何初步 三视图 直观图 侧面积、 表面积 体积 棱柱 柱体 圆柱 正棱柱、 长方体、 正方体 棱台 台体 圆台 棱锥 圆锥 三棱锥、 四面体、 正四面体 球 点与线 点在直线上 点在直线外 点在面内 点与面 点在面外 共面直线 线与线 异面直线 锥体 直线在平面外 线与面 直线在平面内 面与面 平行 相交 相交 平行 没有公共点 只有一个公共点 平行 相交 有公共点 没有公共点 线面 平行 垂直关系的 相互转化 面面 垂直 平行关系的 相互转化 线线

2、 垂直 线线 平行 面面 平行 线面 垂直 空间直角坐标系 空间向量 cos= |ab| |a|b| 空 间 几 何 体 空 间 点 、 线 、 面 的 位 置 关 系 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角 点到面的距离 直线与平面的距离 平行平面之间的距离 空间 的角 空 间 的 距 离 范围：（0，90 范围：0，90 范围：0，180 相互之间的转化 sin= |an| |a|n| cos= n1n2 |n1|n2| d= |an| |n| 22 第三章立体几何初步 空 间 几 何 体 的 结 构 特 征 棱 柱 、棱 锥 、棱 台 和多面体 有两个面互相平行， 其 余各面都是四

3、边形， 并 且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行， 由 这些面所围成的几何体 叫做棱柱. 棱锥是由一个底面是多 边形， 其余各面有一个 公共顶点的三角形所围 成的几何体 棱台是棱锥被平行于底 面的 一个 平 面 所 截 后 ， 截面和底面之间的部分 多面体是由若干个多边 形围成的几何体 概述： 高考立体几何试题一般共有4道 （选择题、 填空题3 道， 解答题1道）， 共计总分 27分左右， 考查的知识点在20个以内.选择题、 填空题考核立体几何中的计算型问题， 而解答题着重考查立体几何中的逻辑推理型问题， 当然， 二者均应以正确的空间想象为前 提.随着新课程改革的进一步实施， 立体几何考题正

4、朝着 “多一点思考， 少一点计算” 的 方向发展.从历年的考题变化看， 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证， 角与距离 的探求是常考常新的热门话题. 棱柱可按侧棱是否 垂直于底面分类， 也可 以按底面多边形边数分 类. 要点提示: 3.1空间几何体的结构、 三视图和直观图 一、 知识图表 E F AB C D E F C D 侧面 侧棱 底面 AB A B CD O AB C D O S M N 高 顶点 侧面 斜高 侧棱 上底面 AB C D O S H 高 顶点 底面 侧面 斜高 侧棱 下底面 23 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DI

5、NGLI DINGLU TUBIAO 1.棱柱的性质 （1） 侧棱都相等， 侧面是平行四边形； （2） 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； （3） 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； （4） 直棱柱的侧棱长与高相等， 侧面与对角面是矩形. 2.圆柱的性质： 上、 下底及平行于底面的截面都是等圆； 过轴的截面 （轴截面） 是全等的矩 二、 重要概念剖析 台体的问题， 通常 还台为锥来研究. 要点提示: 正 、侧 一 样 高 ， 正、 俯一样长， 俯、 侧 一样宽， 由几何体的直 观图画三视图时， 能看 见的轮廓线和棱画成实 线， 不能看见的轮廓线 和棱画成虚线. 要点提示: 分别以矩

6、形的一边， 直 角 三角 形 的 一 直 角 边 ， 直角梯形垂直于底边的 腰所在的直线， 半圆以 它的直径所在直线为旋 转轴， 旋转一周而形成 的几何体叫做圆柱、 圆 锥、 圆台、 球. 圆 柱 、圆 锥、 圆台、 球 正视图侧视图 俯视图 斜二测法 三视图 直观图 续表 S A BC D O h 母线 上底面 轴 轴截面 下底面 侧面 R l O r A B S 母线 顶点 轴 轴截面 底面 r 侧面 h O l A B 球 心 球 面 半 径 r R d O 轴 O1 a b c 正侧 俯 a b c ab c 正六边形的直观图 24 第三章立体几何初步 形. 3.棱锥的性质 （1） 平

7、行于底面的截面是与底面相似的正多边形， 相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面 的距离之比； （2） 正棱锥各侧棱相等， 各侧面是全等的等腰三角形； （3） 正棱锥中六个元素， 即侧棱、 高、 斜高、 侧棱在底面内的射影、 斜高在底面的射影、 底面 边长一半， 构成四个直角三角形. 4.圆锥的性质 （1） 平行于底面的截面都是圆， 截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面 的距离之比； （2） 轴截面是等腰三角形. 5.正棱台的性质 （1） 各侧棱相等， 各侧面都是全等的等腰梯形； （2） 正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形； （3） 构造直角梯形截面； （4） 棱台

8、经常补成棱锥研究. 6圆台的性质 （1） 圆台的上下底面， 与底面平行的截面都是圆； （2） 圆台的轴截面是等腰梯形； （3） 圆台经常补成圆锥来研究. 7.球的性质 （1） 球心与截面圆心的连线垂直于截面； （2）r=R2-d2 姨 （其中， 球心到截面的距离为d、 球的半径为R、 截面的半径为r）， 有关球的 计算问题很多都归结在这个直角三角形中. 8.三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形； 正视图光线从几何体的前面向后面正投影， 得到的投影图； 侧视图光线从几何体的左面向右面正投影， 得到的投影图； 俯视图光线从几何体的上面向下面正投影， 得到的投影图. 9.直观

9、图是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形.直观图通常是在平行投 影下画出的空间图形. 10.斜二测法具体步骤 Step1： 在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy（即取xOy=90）； Step2： 画直观图时， 把它画成对应的轴Ox，Oy， 取xOy=45 （或 135）， 它们确定的平 面表示水平平面； Step3： 在坐标系xOy中画直观图时， 已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变， 平行于 x轴 （或在x轴上） 的线段保持长度不变， 平行于y轴 （或在y轴上） 的线段长度减半； Step4： 图画好后， 要擦去x 轴、 y轴及为画图添加的辅助线 （虚线）. 25 高中数学公

10、式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 四、 高考回眸 （2016年北京） 某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积 为 （） A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 答案：A 高考命题趋势：三视图 是课标新内容， 成为各 地比较关注的考点， 一 般比较简单， 属于易答 题. 三、 学习方法引导 例1如图， 在直三棱柱ABCA1B1C1 中， AB=BC= 2姨，BB1=2，ABC=90，E、F分别为AA1、C1B1 的中点， 沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的 长度为. 思路引导：这类问题通常都是将几

11、何体的侧面展开成平面图形来解 决. 答案： 3 2 2姨 例2下面是关于四棱柱的四个命题： 若有两个侧面垂直于底面， 则该四棱柱为直四棱柱； 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面， 则该四棱柱为直四棱 柱； 若四个侧面两两全等， 则该四棱柱为直四棱柱； 若四棱柱的四条对角线两两相等， 则该四棱柱为直四棱柱. 其中， 真命题的编号是. 思路引导：基本概念判断. 答案： A1 B1 A B C1 C E F 名师经验谈：本题侧重 基本概念的考查， 基本 几何体的定义、 性质、 结构都要非常熟悉. 名师经验谈：由三维空 间向二维平面转化， 是 研究立体几何问题的重 要数学方法之一.降维 转化的目的是把

12、空间的 基本元素转化到某一个 平面中去， 用学生们比 较熟悉的平面几何知识 来解决问题. 俯视图 正 （主） 视图侧 （左） 视图 11 1 1 26 第三章立体几何初步 1.几何体的表面积和体积计算， 直接套用公式即可. 2.一般棱柱、 棱锥侧面积计算把各个侧面面积计算出来相加即可. 3.2空间几何体的表面积和体积 一、 知识图表 空 间 几 何 体 的 侧 面 积、 表 面 积 柱体侧面 积、 表面 积 棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积， 棱柱的表面积就是侧 面积加两个底面积. 设圆柱母线的长为l， 底面半径为r， 侧面积S侧=2rl 表面积S=S侧+2S底=2rl+2r2=2r（r+

13、l） 锥体侧面 积、 表面 积 正棱锥的周长为c， 斜高为h， 侧面积S侧=1 2 ch表面积S正棱锥全=1 2 ch+S底 设圆锥底面半径为r， 母线长为l， 侧面积S侧=rl 表面积S=S侧+S底=rl+r2=r（r+l） 台体侧面 积、 表面 积 设圆台的上、 下底面半径分别为r、r， 母线长为l， 侧面积是 S侧=（r+r）l 表面积S=S侧+S上底+S下底=（r+r）l+r2+r2=（r2+r2+rl+rl） 球体 表面积 球的表面积S=4R2 空 间 几 何 体 的 体积 柱体体积 V棱柱=S底h V圆柱=S底h=r2h设r为底面半径，h为圆柱高. 锥体体积 V棱锥=1 3 S底h

14、V圆锥=1 3 r2h 设r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长. 台体体积 V棱台=1 3 （S+SS 姨+S）h 设S、S是上、 下底面面积，h为棱台的高. V圆台= 1 3 （S+SS 姨+S）h= 1 3 （r2+rR+R2）h 设r、R为上、 下底面半径，h为高. 球体体积设球的半径为r，V球=4r 3 3 棱柱可按侧棱是否 垂直于底面分类， 也可 以按底面多边形边数分 类. 要点提示: 圆锥的侧面展开图 是以其母线为半径的扇 形 要点提示: 圆台侧面展开图是 以截得该圆台的圆锥母 线为大圆半径， 圆锥与 圆台的母线之差为小圆 半径的一个扇环 要点提示: 二、 重要概念剖析 27 高

15、中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 三、 学习方法引导 （2016年山东） 有一个半球和四棱锥组成的几何体， 其三视图 如右图所示， 则该几何体的体积为 （） A. 1 3 + 2 3 B. 1 3 + 2姨 3 C. 1 3 + 2姨 6 D. 1+ 2姨 6 答案：C 四、 高考回眸 名师经验谈：本题考查 了立体几何中球体积的 计算问题， 立体几何问 题的核心思想是降维， 通常找截面， 在截面中 求解相应量. 名师经验谈：“割形” 与 “补形” 是解决立体 几何问题的常用方法之 一 ，通 过 “ 割 ”或

16、 “补” 可化复杂图形为 已熟知的简单几何体， 从而较快地找到解决问 题的突破口. 高考命题趋势：球与其 他几何图形构成组合体 是近几年高考的热点. 考查了学生的空间想象 能力， 与侧面积、 体积 交汇出题， 也考查了学 生的计算能力. BA C D EF 例1如图， 用一平面去截球所得截面的面积为2 cm2， 已知球心到该截面的距离为1 cm， 则该球的体积是 cm3. 思路引导：求解关于球的题， 找截面， 在截面中计算相关量. 答案：43姨 例2在多面体ABCDEF中， 已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EFAB，EF=3 2 ， 且EF 与平面ABCD的距离为2， 则该多面体的体积为

17、 （） A. 9 2 B. 5C. 6D. 15 2 思路引导：过点E、F作底面的垂面， 得两个体积相等的四棱锥和 一个三棱柱. 答案：D 1 11 28 第三章立体几何初步 3.3点、 线、 面之间的位置关系 一、 知识图表 定理内容符号表示及图形语言应用 基本性质1： 如果一条 直线上的两点在一个平 面内， 那么这条直线上 所有的点都在这个平面 内. Al，Bl，A，B圯 l奂 判 断 直 线 是 否 在 平 面 内. 基本性质2： 经过不在 同一条直线上的三点， 有且只有一个平面. PAB圯AB=l，Pl1.空间内确定平面的依 据.2.证明平面重合 的依据. 基本性质3： 如果两个 不重

18、合的平面有一个公 共点， 那么它们有且只 有一条过该点的公共直 线. P，P圯=a，Pa1.判定两个平面相交的 方法. 2它说明两个平 面的交线与两个平面公 共点之间的关系： 交线 必过公共点. 3.它可以 判断点在直线上， 即证 若干个点共线的重要依 据. 推论1： 经过一条直线 和直线外的一点， 有且 只有一个平面. 1.它是空间内确定平面 的依据. 2.证明平面重 合的依据. 推论2： 经过两条相交直 线， 有且只有一个平面. 空 间 点、 直 线、 平 面 的 位 置 关 系 推论3： 经过两条平行直 线， 有且只有一个平面. 空间直线与直线之间的 位置关系. 空间直线与平面之间的 位

19、置关系. 平面与平面之间的位置 关系. 直线与直线所成的角. 直线和平面所成的角. 二面角和二面角的平面角. 点到平面的距离. 异面直线的距离. 直线和平面的距离. 平行ab 空 间 中 的 角 相交ab=A 异面 线在面内l奂 线面相交l=A空 间 中 的 距 离 线面平行l 面与面平行 面与面相交=a A B B AC a P B A C a a b P a b 立体几何部分要注 意 文 字 语 言 ， 图 形 语 言， 符号语言的相互转 化. 要点提示: 基本性质3和三个 推论中都指出 “有且只 有一个平面” 或称 “确 定一个平面” 都是指既 “ 有 一 个 ”（ 存 在 性 ） 又

20、“只有一个”（唯一 性） . 要点提示: 不同在任何一个平 面内的两条直线是异面 直线. 要点提示: 29 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 1.异面直线： 不同在任何一个平面内的两条直线， 所以异面直线既不平行， 又不相交. 异面直线通常这样判定： 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直 线. 2.直线与直线所成的角 （1） 两平行直线所成的角： 规定为0； （2） 两条相交直线所成的角： 两条直线相交其中不大于直角的角， 叫这两条直线所成的角； （3） 两条异面直线所成的角： 过

21、空间任意一点O， 分别作与两条异面直线a、b平行的直线a、 b， 形成两条相交直线， 这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角. 3.求异面直线所成角步骤 A.利用定义构造角， 可固定一条， 平移另一条， 或两条同时平移到某个特殊的位置， 顶点选 在特殊的位置上；B.证明作出的角即为所求角；C.利用三角形来求角. 4.直线和平面所成的角 （1） 平面的平行线与平面所成的角： 规定为0； （2） 平面的垂线与平面所成的角： 规定为90； （3） 平面的斜线与平面所成的角： 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角， 叫做这条 直线和这个平面所成的角. 5.求斜线与平面所成角的

22、思路类似于求异面直线所成角：“一作， 二证， 三计算”.在解题时， 注意挖掘题设中的主要信息： 斜线上一点到面的垂线； 过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂 直， 由面面垂直性质易得垂线. 6.二面角和二面角的平面角 （1） 二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 这条直线叫做二 面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面； （2） 二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为顶点， 在两个面面面内分别作面垂面直面于棱的两条射 线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 7.求二面角的方法 定义法： 在棱上选择有关点， 过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

23、. 垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时， 过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二 面角的平面角. 例ABC在平面外， 它的三条边所在的直线AB、BC、CA分 别交平面于P、Q、R点求证：P、Q、R共线 思路引导：证明： 设平面ABCl， 由于PAB， 点P在直线l上同理可证点Q、R在直线l上 P、Q、R共线， 共线于直线l 二、 重要概念剖析 a b a b b a 三、 学习方法引导 名师经验谈：证明若干 点共线问题， 只需证明 这些点同在两个相交平 面. 30 第三章立体几何初步 1.（2011大纲全国卷） 已知点E、F分别在正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，

24、 且B1E=2EB，CF=2FC1， 则面AEF与面 ABC所成的二面角的正切值等于. 答案： 2 3 3姨 2.（2011 大纲全国卷） 已知直二面角l， 点A，AC l，C为垂足，B，BDl，D为垂足.若AB=2，AC=BD=1， 则D 到平面ABC的距离等于 （） A. 2姨 3 B. 3姨 3 C. 6姨 3 D. 1 答案：C 四、 高考回眸 高考命题趋势：异面直 线所成的角、 线面角、 面面角的计算， 最终都 是转化为平面上两相交 直线成的角来进行的. 高考命题趋势：立体几 何中所蕴涵的数学思想 方法非常丰富， 其中最 重要的就是转化的思想 方法， 这也是高考的考 查热点. 3.4

25、直线、 平面平行的判定和性质 一、 知识图表 直 线 与 直 线 平 行 平行公理 文字语言 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行. 符号语言P埸l圯Pm， 若ml，m唯一 图形 基本性质4 文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号语言ab，bc圯ac 图形 P l m a b c 线线平 行 具 有 传 递 性， 面面平行也具有传 递性. 线 、 面 平 行 定 义 ： 直线与平面无公共点. 应用判定定理、 性质 定理时， 条件缺一不可. 线线平行圯线面平行. 线面平行圯线线平行. 要点提示: 31 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONG

26、SHI DINGLI DINGLU TUBIAO 面 、 面 平 行 定 义 ： 如果两个平面没有公共 点， 那么这两个平面平 行， 即无公共点圯. 线线平行圯面面平 行. 要点提示: 判定定理 文字语言 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一 条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行. 符号语言l埭，m奂，lm圯l 图形 文字语言 如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直 线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和 交线平行. 符号语言l，l奂，=m圯lm 性质定理 图形 判定定理 判定定理推论 性质定理 文字语言 符号语言 图形 文字语言 符号语言 图形 文字语言 符号语言 图形 如果一个

27、平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面， 那么这两个平面互相平行 a奂，b奂，ab=P，a，b，圯 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条相交直线， 那么这两个 平面互相平行. ab=P，a奂，b奂，ab=P，a奂，b 奂，aa，bb圯 如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行. ，=a，=b圯ab 直 线 与 平 面 平 行 平 面 与 平 面 平 行 续表 m l a b P a b P a b P a b l m P 32 第三章立体几何初步 1.线面平行的判定定理是通过线线的平行来证明线面的平行.即要证线面平行， 转化为找面内 线与面外线平行，

28、 反过来， 其性质定理又为证明线线平行提供了依据. 2.面面平行的判定定理也是通过找线面平行或线线平行来证明面面平行， 性质定理为线线平行 提供了依据. 3.线线平行有如下依据：（1） 定义；（2） 平行的传递性：ab，bc圯ac；（3） 线面平 行性质：l，l奂，=m圯lm； （4） 面面平行性质：，=a，=b圯ab；（5） 通过线面垂直传递平行：a，b圯ab. 4.总结一下， 判定线面平行， 我们有如下依据： （1） 定义；（2） 判定定理：a埭，b奂，ab， 则a； （3） 面面平行性质：，l奂， 则l. 5.判定与证明面面平行的依据： （1） 定义；（2） 判定定理： 若a，b奂，ab

29、=P，a，b， 则； （3） 推论： 若a，b奂，c，d奂，ab=P，ac，bd， 则； （4） 平行的传递性： 即若， 则. 二、 重要概念剖析 三、 学习方法引导 例正方体ABCDA1B1C1D1中 （1） 求证： 平面A1BD平面B1D1C； （2） 若E、F分别是AA1、CC1的中点， 求证： 平面EB1D1平面FBD 思路引导：通过面面平行判定定理证明. 证明：（1 ） 由B1BDD1， 得四边形BB1D1D 是平行四边形， B1D1BD， 又BD埭平面B1D1C，B1D1奂平面 B1D1C， BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C 而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD （2

30、） 由BDB1D1， 得BD平面EB1D1 取BB1中点G，AEB1G从而得B1EAG， 同理GFAD AGDF B1EDF DF平面EB1D1 平面EB1D1平面FBD BA CD E F B1A1 C1D1 G （2011 四川卷3）l1，l2，l3是空间三条不同的直线， 则下列命题 正确的是 （） A. l1l2，l2l3圯l1l3 B. l1l2，l2l3圯l1l3 C. l1l2l3圯l1，l2，l3共面 D. l1，l2，l3共点圯l1，l2，l3共面 答案：B 四、 高考回眸 高考命题趋势：通过对 立方体及空间图形的研 究可培养学生的认识空 间图形的能力， 建立起 空间概念， 准

31、确地理解 并 熟 练 运 用 概 念 、 性 质、 公理、 定理进行判 断、 推理与转化. 名师经验谈：要证 “面 面平行” 只要证 “线面 平行”， 要证 “线面平 行”， 只要证 “线线平 行”， 故问题最终转化 为证线与线的平行 33 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 3.5直线、 平面垂直的判定和性质 一、 知识图表 直 线 与 直 线 垂 直 三垂线定理 文字语言 在平面内的一条直线， 如果它和这个平面的 一条斜线的射影垂直， 那么它也和这条斜线 垂直. 符号语言 PO，O PA=A a奂，aO

32、 O A 圯aPA 图形 三垂线定理的 逆定理 文字语言 在平面内的一条直线， 如果和这个平面的一 条斜线垂直， 那么它也和这条斜线的射影垂 直. 符号语言 PO，O PA=A a奂，aA O P 圯aAO 文字语言 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 垂直， 则这条直线与这个平面垂直. 符号语言 a，b奂 ab=O l埭 la l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b 圯l 直 线 与 平 面 垂 直 判定定理 图形 推论1 文字语言 符号语言 图形 如果两条平行直线中， 有一条垂直于一个平 面， 那么另一条直线也垂直于这个平面. ab a 圯b 三垂线指PA，PO， AO都

33、 垂 直内 的 直 线 a.其实质是： 斜线和平 面内一条直线垂直的判 定和性质定理. 要点提示: 线 、 面 垂 直 定 义 ： 若一条直线垂直于平面 内的任意一条直线， 则 这 条 直 线 垂 直 于 平 面. 判定定理把任意一条直 线转化为两条相交直线. 要点提示: A P a O ab m 由线线平行传递线 面垂直. 要点提示: a b l O 34 第三章立体几何初步 推论2 文字语言 如果两条直线垂直于同一个平面， 那么这两 条直线平行. 符号语言a，b圯ab 图形 推论3 文字语言 如果一条直线垂直于一个平面， 那么它就和 平面内的任意一条直线垂直. 符号语言l，a奂圯la 图形

34、 平 面 与 平 面 垂 直 判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的一条垂线， 则 两个平面互相垂直. 符号语言 a奂 a 圯 图形 性质定理 文字语言 如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 符号语言 a=AB a奂 aA A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B 圯a 1.总结一下， 判断两直线垂直有如下依据： （1） 定义；（2）bc，ab， 则ac；（3） 线、 面垂直性质定理：a，b奂，ab； （4） 三垂线定理和它的逆定理. 2.判断线面垂直有如下依据： （1） 定义；（2） 判定定理若m奂，n奂，mn=B，lm，ln， 则l；

35、 （3） 推论1： 若la，a， 则l； （4） 若，l， 则l； （5） 面面垂直性质定理：， 且a=， 则a. 3.判断面面垂直有如下依据： （1） 定义；（2） 判定定理： 若l，l奂， 则. 4垂直部分包含很多距离问题： 点到平面的距离 二、 重要概念剖析 由线面垂直传递线 线平行. 要点提示: 面面垂直定义： 若 二 面 角l的 平 面 角为90， 则. 通过线面垂直圯面 面垂直. 通过面面垂直圯线 面垂直a. 要点提示: 续表 O a b l B A a B A a a 35 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGL

36、U TUBIAO （1） 定义： 面外一点引一个平面的垂线， 这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距 离. （2） 求点面距离常用的方法： 直接利用定义求； 利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上， 则已知点到两平面交线的 距离就是所求的点面距离； 等体积法其步骤是：在平面内选取适当三点， 和已知点构成三棱锥；求出此三棱锥的体 积V和所取三点构成三角形的面积S；由V= 1 3 Sh， 求出h即为所求； 转化法将点到平面的距离转化为 （平行） 直线与平面的距离来求. 5.直线和平面的距离 定义： 一条直线和一个平面平行， 这条直线上任意一点到平面的距离， 叫做这条直线和平

37、面的 距离.求线面距离常用的方法： （1） 直接利用定义求证 （或连或作） 某线段为距离， 然后通过解三角形计算； （2） 将线面距离转化为点面距离， 然后运用解三角形或体积法求解； （3） 作辅助垂直平面， 把求线面距离转化为求点线距离. 6.异面直线的距离 定义： 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段的长度， 叫做两条异面直线的距离. 求两条异面直线的距离常用的方法： （1） 定义法题目所给的条件， 找出 （或作出） 两条异面直线的公垂线段， 再根据有关定理、 性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.

38、（2） 转化法为以下两种形式：线面距离；面面距离； （3） 等体积法；（4） 最值法；（5） 射影法；（6） 公式法. 例1如某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作： 先在地平 面内作菱形ABCD， 边长为1，BAD60， 再在的上侧， 分 别以ABD与CBD为底面安装上相同的正棱锥PABD与Q CBD，APB90 （1） 求证：PQBD； （2） 求点P到平面QBD的距离. 思路引导：通过线面垂直性质定理证明线线垂直， 点到面的距离可以选择等体积法. （1） 证明： 由PABD，QCBD是相同正三棱 锥， 可知PBD与QBD是全等等腰三角形取 BD中点E， 连接PE、QE， 则BDPE，B

39、D QE故BD平面PQE， 从而BDPQ （2）h= 2姨 3 例2在斜三棱柱A1B1C1ABC中， 底面是等腰三角形，AB=AC， 三、 学习方法引导 B A C D PQ 名师经验谈：线线、 线 面、 面面平行与垂直的 位置关系是立体几何中 的一个重点内容， 解答 依据是判定定理与性质 定理， 三垂线定理. 36 第三章立体几何初步 侧面BB1C1C底面ABC. （1） 若D是BC的中点， 求证：ADCC1； （2） 过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M， 若AM=MA1， 求证： 截面MBC1侧面BB1C1C. 思路引导：线面垂直、 面面垂直的判定与性质. 证明：（1）AB=

40、AC，D是BC的中点， ADBC. 底面ABC平面BB1C1C，AD侧面BB1C1C，CC1奂平面BB1C1C ADCC1. （2） 延长B1A1与BM交于N， 连接C1N AM=MA1，NA1=A1B1. A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1， C1NC1B1. 底 面NB1C1侧 面BB1C1C，C1N侧 面 BB1C1C， 截面C1NB侧面BB1C1C， 截面MBC1侧面BB1C1C. 1.（新课标卷4） 已知m，n为异面直线，m平面琢，n平 面茁.直线l满足lm，ln，l埭琢，l堀茁， 则 （） A 琢茁且l琢 B 琢茁且l茁 C 琢与茁相交， 且交线垂直于l D 琢与茁相交

41、， 且交线平行于l 答案：D 2.（2013年浙江卷 10） 在空间中， 过点A作平面仔的垂线， 垂 足为B， 记B=f仔（A）.设琢，茁是两个不同的平面， 对空间任意一点 P，Q1=f茁f琢（P），Q2=f琢f茁（）， 恒有PQ1=PQ2， 则 （） A.平面琢与平面茁垂直 B.平面琢与平面茁所成的 （锐） 二面角为 C.平面琢与平面茁平行 D.平面琢与平面茁所成的 （锐） 二面角为60 答案：A B1 A1 B A C1 CD E M 名师经验谈：本题主要 考查线面垂直、 面面垂 直的判定与性质.本题 属于知识组合题类， 关 键在于对题目中条件的 思考与分析， 掌握做此 类题目的一般技巧与方 法， 以及如何巧妙作辅 助线. 四、 高考回眸 高考命题趋势：线线、 线面、 面面平行与垂直 的位置关系是立体几何 中的一个重点内容， 是 高考的重要考点， 对于 平 行 、 垂 直 的 判 定 定 理、 性质定理要熟练掌 握， 深入理解. 高考命题趋势：高考解 答题往往是要解决两大 问题： 一是证明题， 二 是计算题.处理方式有 两种：（1） 在证明中 要以典型的三段论的形 式， 严格按照演绎推理 的 步 骤 完 成 推 理 的 论 证； 立体几何计算题的 主 要 步 骤 可 归 纳 为 ： “画证算”. 37