第10章 三角恒等变换-高中数学公式、定理、定律图表(必修+选修).pdf
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1、第十章三角恒等变换 知识网络 第十章三角恒等变换 三 角 恒 等 变 换 两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式 sin()=sincoscossin cos()=coscos芎sinsin tan()= tantan 1芎tantan 辅助角公式 asinbcos=a2+b2姨sin(), 其中tan=b a (a0) 和角公式 二倍角公式 sin2=2sincos cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2 tan2= 2tan 1-tan2 升幂、 降幂公式 升幂公式 降幂公式 1+cos=2cos2 2 1-cos=2sin2 2 cos2=1+cos2 2 sin2=
2、1-cos2 2 半角公式 sin 2 = 1-cos 2姨 cos 2 = 1+cos 2姨 tan 2 = 1-cos 1+cos姨 =1-cos sin = sin 1+cos 倍角公式和 半角公式 概述: 本章是三角函数和平面向量这两章的延续, 它是解决生产、 科研等实际问题的有效 工具, 又是进一步学习其他知识和高等数学的基础, 在高考中主要考查三角恒等式的变 换、 化简、 求值、 证明, 并利用化简后的结果研究有关性质和应用, 通过本章学习, 学生 的推理能力和运算能力将得到进一步提高. 81 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DIN
3、GLI DINGLU TUBIAO 三、 学习方法引导 例1求下列各式的值: (1)sin 12 -3姨cos 12 ;(2) 1-tan15 1+tan15 . 思路引导:本题可通过角度的加减: 12 = 3 - 4 ,15=45-30, 实现从一般角度到特殊角度的转化, 从而求解; 本题也可以灵活运 用公式 (逆用或变形用) 求解. 通过两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式, 可以将一些非特殊角的三角函数转化为特殊角的三 角函数求解.两角和与差的正弦公式可记为:“正余余正符号同”; 余弦公式可记为:“余余正正符 号异”.公式的逆用或将公式变形后使用更能开阔思路, 激活思维, 因此只有学会了
4、公式的逆用和 变形运用, 才是真正地掌握了公式. 二、 重要概念剖析 本节公式较多, 要 把 握 好 公 式 的 结 构 特 征, 熟悉公式的来龙去 脉, 这样才能准确记忆 公式, 此外还要注意公 式的逆用、 变形运用. 要点提示: 10.1和 角 公 式 一、 知识图表 两 角 和 与 差 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 公 式 sin()=sincoscossin, cos()=coscos芎sinsin, tan()= tantan 1芎tantan . 辅助角公式 asinbcos=a2+b2姨sin(), 其中tan=b a (a0). 公式的逆用 和变形使用 tantan=ta
5、n() (1芎tantan), tan+tan+tantantan(+)=tan(+), 1-tantan=tan+tan tan(+) , tantan=1-tan+tan tan(+) . 角的代换 =(+)-, =1 2 (+)+(-), =1 2 (+)-(-). 名师经验谈:应熟练把 握好公式的结构特征, 根 据 三 角 函 数 式 的 特 点, 善于观察差异, 寻 找联系, 实现转化, 还 要注意公式的逆用、 变 形运用. 82 第十章三角恒等变换 解: (1) 解法一:sin 12 -3姨cos 12 =sin 3 - 4 ?- 3姨cos 3 - 4 ?4=sin 3 cos
6、4 -cos 3 sin 4 -3姨cos 3 cos 4 - 3姨sin 3 sin 4 =-2姨. 解法二:sin 12 -3姨cos 12 =2 1 2 sin 12 - 3姨 2 cos 12 24 =2 sin 6 sin 12 -cos 6 cos 12 ?4=-2cos 6 + 12 ?4=-2cos 4 =-2姨. (2) 1-tan15 1+tan15 = tan45-tan15 1-tan45tan15 =tan(45-15)= 3姨 3 . 例2已知、为锐角,cos= 1 7 ,cos(+)=- 11 14 , 求cos的大 小. 思路引导:注意到条件中的角与待求结论中的
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