第11章 解三角形-高中数学公式、定理、定律图表（必修 选修）.pdf

1、高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 概述： 分析近十年的高考试卷， 有关三角形求解的内容是每年必考内容， 试题内容主要涉 及两个方面： 其一是考查正弦定理、 余弦定理及其变式或推论的内容及简单应用， 这类题目 多见于选择题和填空题， 难度不大； 其二是以三角形为知识载体， 研究三角变换及向量等问 题， 这类问题不仅要使用正弦定理、 余弦定理求解边、 角， 还要结合三角或向量的运算处理 问题， 除了在选择题和填空题中出现外， 解答题中的中档题也经常出现这方面的内容. 对本章的学习应立足基础、 加强训练、 学会

2、建模、 提高应用意识和能力. 知识网络 第十一章解 三 角 形 定理变式 应用 解三角形 正弦定理 定理推论 应用 余弦定理 距离问题 解三角形应用题的步骤 几何计算 高度问题 角度问题 应用举例 86 第十一章解 三 角 形 11.1正弦定理和余弦定理 一、 知识图表 正弦定理余弦定理 定理内容 在一个三角形中， 各边和它所对角 的正弦的比相等且等于外接圆的直 径， 即 a sinA = b sinB = c sinC =2R（R 为外接圆半径） 三角形任何一边的平方等于其他两 边的平方和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍. a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2acco

3、sB c2=a2+b2-2abcosC 解决问题 （1） 已知两角和任一边 （2） 已知两边和其中一边的对角 （1） 已知三边 （2） 已知两边及其夹角 常见变形 （1）a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC （2）sinA= a 2R ，sinB= b 2R ， sinC= c 2R （3）abc=sinAsinBsinC （4） a+b+c sinA+sinB+sinC = a sinA =2R cosA=b 2+c2-a2 2bc cosB=a 2+c2-b2 2ac cosC=a 2+b2-c2 2ab 正弦定理的解的情况 图 形 关 系 式 解的 个数 A为锐角 a=b

4、sinA ab bsinAab 一解两解 A为钝角或直角 abab 无解一解无解 B A C a b a b A B C B2 A C B1 a a b BA C ab BA a b C a b C AB C a b BA a b C BA （1） 正 弦 定 理 中 ， 由 a sinA = b sinB = c sinC = 2R，可 得 变 形 ：a = 2RsinA，b=2RsinB，c= 2RsinC，其 中R为 ABC外 接 圆 的 半 径 ， 可完成边角互化. （2） 正弦定理是比 例等式， 所以可以联想应 用比例的有关知识， 如合 比定理、 分比定理及等比 定理等.如 a si

5、nA = b sinB = c sinC = a+b+c sinA+sinB+sinC . （3） 在利用余弦定 理求三角形的边长时容 易出现增解， 原因是余 弦定理中涉及的是边长 的平方， 求得结果常有 两解， 因此， 解题时需 特别注意三角形三边长 度所应满足的基本条件. （4） 应用正弦定理， 要明确角化边 （或边化 角） 的方向， 对三角形 有几个解必须清楚明了， 防止出现漏解或增解. （5） 若已知三角形 任意两角， 则由三角形 内角和定理可求第三个 角， 再由三角形的任一 条边结合正弦定理可求 其他边.若已知三角形任 意的两条边和一个角 ， 仅由正弦定理不一定能 全部求出其他的边和

6、角. 要点提示: 87 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 二、 重要概念剖析 1.三角形的面积公式： S= 1 2 absinC= 1 2 acsinB= 1 2 bcsinA； S= 1 2 （a+b+c） r（r为ABC的内切圆半径）； S= abc 4R （R为ABC的外接圆半径）. 2.重要结论： （1） 在ABC 中， a、b、c分别为A、B、C的对边，ABC圳abc圳sinAsinBsinC. （2） 在ABC中， 给定A、B的正弦或余弦值， 则C有解 （即存在） 的充要条件是cosA+ co

7、sB0. 3.解三角形常见的四种类型： （1） 已知两角A、B与一边a， 由A+B+C=180及 a sinA = b sinB = c sinC ， 可求出角C， 再求出b、c. （2） 已知两边b、c与其夹角A， 由a2=b2+c2-2bccosA， 求出a， 再由余弦定理， 求出角B、C. （3） 已知三边a、b、c， 由余弦定理可求出角A、B、C. （4） 已知两边a、b及其中一边的对角A， 由正弦定理 a sinA = b sinB 求出另一边b的对角B， 由 C=-（A+B） 求出C， 再由 a sinA = c sinC 求出c， 而通过 a sinA = b sinB 求B时，

8、 可能求出一解、 两解或 无解的情况. 4.正弦定理和余弦定理在解三角形时并无明显界限.例如已知两边和其中一边的对角， 一般用 正弦定理， 但也可用余弦定理. 5.判断三角形的形状通常有两种途径： 一是通过正弦定理和余弦定理， 化边为角 （如a= 2RsinA，a2+b2-c2=2abcosC等）， 利用三角变换得出三角形内角之间的关系， 然后进行判断.此时注 意一些常见的三角等式所体现的内角关系， 如sinA=sinB圳A=B，sin（A-B）=0圳A=B，sin2A=sin2B 圳A=B或A+B= 2 等.二是利用正弦定理或者余弦定理化角为边 （如sinA= a 2R ，cosA= b2+

9、c2-a2 2bc 等）， 通过代数恒等变换， 求出三条边之间的关系， 然后进行判断. 例1ABC中， 已知b=3，c=33 姨 ，B=30， 求角A、 角C和边a. 思路引导：由题目可获取以下主要信息：（1） 已知两边和其中一 边的对角；（2） 求另外的两角和另一边.解答本题可先由正弦定理 求出角C， 然后再求其他的边和角.也可以由余弦定理列出关于边 长a的方程， 先求出边长a， 再由正弦定理求角A、 角C. 解： 方法一： 由余弦定理b2=a2+c2-2accosB 得32=a2+（33 姨 ）2-2a33 姨cos30， a2-9a+18=0， 得a=3或6. 当a=3 时， A=30，

10、C=120. 三、 学习方法引导 88 第十一章解 三 角 形 当a=6时， 由正弦定理sinA=asinB b = 6 1 2 3 =1. A=90，C=60. 方法二： 由bcsin30=33 姨 1 2 = 33姨 2 知本题有两 解.由正弦定理sinC=csinB b = 33姨 1 2 3 = 3姨 2 ，C=60或120.当 C=60 时， A=90， 由勾股定理a=b2+c2姨=32+（33姨）2姨=6； 当C= 120 时， A=30，ABC为等腰三角形，a=3. 例2在ABC中， 已知acosA=bcosB， 则ABC为 （） A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰三角形或直

11、角三角形D.等腰直角三角形 思路引导：解： 方法一： 由acosA=bcosB得 cosA cosB = b a .由正弦定理得 b a = sinB sinA ， 所以 cosA cosB = sinB sinA ， 即sinAcosA=sinBcosB， 故 sin2A= sin2B.因为角A、B为三角形的内角， 所以2A=2B或2A=-2B， 所 以A=B或A+B= 2 ， 即ABC为等腰三角形或直角三角形， 选 C. 方法二： 将cosA= b2+c2-a2 2bc ，cosB= a2+c2-b2 2ac 代入已知条件， 得a b2+c2-a2 2bc =ba 2+c2-b2 2ac

12、.去分母， 得a2（b2+c2-a2）=b2（a2+c2-b2）.整 理得 （a2-b2）（a2+b2-c2）=0， 所以a 2=b2 或a2+b2-c2=0， 即a=b或 a2+b2=c2， 所以ABC为等腰三角形或直角三角形， 故选C. 答案：C 1.（2011 江苏） 在ABC中， 角A、B、C所对应的边分别为a、 b、c. （1） 若sin A+ 6 6?=2cosA， 求A的值； （2） 若cosA= 1 3 ，b=3c， 求sinC的值. 答案：（1）A= 3 ；（2）sinC= 1 3 . 2.（2011辽 宁 ）ABC的 三 个 内 角A、B、C所 对 应 的 边 分别为a、b

13、、c，asinAsinB+bcos2A=2 姨a， 则 b a =（） A. 23姨B. 22姨C.3姨 ?D. 2姨 答案：D 名师经验谈：易忽略角 C有两解， 而漏掉其中 一解.三角形中已知两 边 和 一 角 ， 有 两 种 解 法.从而摸索出适合自 己 思 维 的 解 题 规 律 和 方法. 名师经验谈：在判断三 角形的形状时， 一般将 已知条件中的边角关系 利用正弦定理或余弦定 理转化为角角的关系或 边边的关系， 再用三角 变换或代数式的恒等变 形 （如因式分解、 配方 等） 求解.注意等式两 边的公因式不要约掉， 要移项提取公因式， 否 则会有漏掉一种形式的 可能. 四、 高考回眸

14、高考命题趋势：考查正 弦定理、 余弦定理及其 变式或推论的内容及简 单应用， 多见选择题和 填空题.以三角或向量 为研究问题在解答题的 中档题中出现. 89 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 11.2应 用 举 例 解斜三角形应用题的一般思路流程图 实际 问题 抽象概括 示意图 数学 模型 推理运算 数学模型 的解 还原 实际问 题的解 正弦定理 余弦定理 三角形内角和定理及 其他三角形几何知识 解三角形 （1） 将三角形的解 还原为实际问题时， 注 意实际问题 中 的 单 位 、 近似单位. （2） 方

15、向角： 从指定方 向线到目标方向线的水 平角. 方位角： 从指定方 向线顺时针到目标方向 线的水平角. 坡度： 坡面与水平 面所成的二面角的度数. （3） 解决测量问题 关键在于画出实际问题 的图形， 并在图中标出 相应的角和距离， 再用 正弦定理或余弦定理解 三角形. 要点提示: 一、 知识图表 解斜三角形应用题 的一般思路 （1） 准确理解题意； （2） 根据题意画出图形； （3） 将要求解的问题归结到一个或几个三角形中， 用正、 余弦 定理等知识求解. 距离问题 测量从一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离； 测两个不可到达点之间的距离. 解三角形应用题常 见的几种情况 测 量 中 有

16、 关 的 名 称、 术语 （1） 实际问题经抽象概括后， 已知量与未知量全部集中在一个 三角形中， 可用正弦定理或余弦定理求解； （2） 已知量与未知量涉及两个 （或两个以上） 三角形， 要逐步 求解， 有时需设出未知量. 仰角和俯角； 方向角； 方位角； 坡度. 垂 线 水平线仰角 俯角 视线 视线 90 第十一章解 三 角 形 方位角与方向角要区分， 方位角是指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的最小正角. 方向角是东、 西、 南、 北、 东南、 西北、 北偏东30、 南偏西45等. 二、 重要概念剖析 例某渔船在航行中不幸遇险， 发出呼叫信 号， 我海军舰艇在A处获悉后， 立即测出该 渔船

17、在方位角为45， 距离为10海里的C 处， 并测得渔船正沿方位角为105的方向， 以10海里/小时的速度向小岛靠拢， 我海军 舰艇立即以103 姨 海里/小时的速度前去营救， 求舰艇的航向和靠 近渔船所需的时间. 思路引导：由题目可获取以下主要信息： （1） 已知渔船遇险的位置及渔船前进的方向和速度；（2） 所求舰 艇的航向即求DAB， 而DAB=45+CAB， 即求CAB.解答本 题可先设出舰艇与渔船靠近的时间t， 然后在ABC中利用余弦定 理建立关于t的方程， 即可求解. 解： 如图所示， 设所需时间为t小时， 则AB=103 姨t，CB=10t.在 ABC中， 根据余弦定理， 则有AB2

18、=AC2+BC2-2ACBCcos120， 可 得 （103姨t）2=102+（10t） 2-21010tcos120， 整理得 2t2-t-1=0， 解 得t=1或t=- 1 2 （舍去）.即舰艇需1小时靠近渔船， 此时AB= 103姨，BC=10.在ABC中， 由正弦定理得 BC sinCAB = AB sin120 ， sinCAB= BCsin120 AB = 10 3姨 2 103姨 = 1 2 ， 所以CAB=30， 故舰艇航 行的方位角为75. （2010 陕西） 如图，A、B是海面上位于东西方向相距5（3+3 姨 ） 海里的 两个观测点， 现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求 救信号， 位于B点南偏西60且与B点相距203 姨 海里的C点的救援船立即前 往营救， 其航行速度为30海里/小时， 该救援船到达D点需要多长时间？ 答案：1小时. 三、 学习方法引导 C D E 45 75 45 105 A B 北 名师经验谈： （1） 首先明确题中 所给各个角的含义， 然 后分析题意， 分析已知 所求， 再根据题意画出 正确的示意图， 这是最 关键最主要的一步. （2） 将实际问题转 化为可用数学方法解决 的问题后， 要确定使用 正 、 余 弦 定 理 解 决 问 题. 四、 高考回眸 C A D B 45 60 北 60 北 91