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1、20212021 年暑假初升高数学完美衔接课全套资料年暑假初升高数学完美衔接课全套资料 专题专题 01：绝对值：绝对值 1、绝对值的定义 在数轴上， 一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值， 例如+2 的绝对值等于 2， 记作|+2|=2； -3 的绝对值等于 3，记作|-3|=3 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0即 对于任何有理数 a 都有： 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越 大；离原点的距离越近，绝对值越小 一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的 2、绝对值的性

2、质 0 除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数 互为相反数的两个数（0 除外）的绝对值相等. 绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或 0 3、数轴上两点之间的距离 若 A、B 是数轴上的两个点，它们表示的数分别为 x1、x2，则 A、B 两点之间的距离为. 4、含绝对值的方程与函数 含有绝对值的方程要先去掉绝对值的符号，再求未知数的值； 绝对值函数的定义：，绝对值函数的定义域是一切实数，值域是非负数. 例 1、利用绝对值的性质化简 如果 a、b、c、d 为互不相等的有理数，且，那么等于（） A. 1B. 2C. 3D. 4 【解答】C 【解析】由已知可得，不妨设， ，ac 与

3、 bc 互为相反数，即 ac（bc） ，ab2c， 又， ，bc 与 db 相等，即 bcdb，2bcd， ， 同理，若设，可得，C 选项正确. 例 2、化简求最值 已知实数 x、y、z 满足，则代数式 的最大值是. 【解答】24 【解析】当时， 当时， 当时， 故的最小值为 4， 同理可得，当时，最小值为 3； 当时，最小值为 9，则 439108， 故 x、y 取最大值，z 取最小值时，代数式的值最大，最大值为. 例 3、绝对值方程 解方程： 【解答】 【解析】计算步骤如下： . 例 4、绝对值函数 作出函数的图像. 【解答】见解析 【解析】由题意可得，函数图像如图所示： 巩固练习巩固练习

4、 一选择题一选择题 1 把有理数a代入|a+4|10得到a1， 称为第一次操作， 再将a1作为a的值代入得到a2， 称为第二次操作， ， 若 a23，经过第 2020 次操作后得到的是（） A7B1C5D11 【解答】A 【解析】第 1 次操作，a1|23+4|1017； 第 2 次操作，a2|17+4|1011； 第 3 次操作，a3|11+4|105； 第 4 次操作，a4|5+4|101； 第 5 次操作，a5|1+4|107； 第 6 次操作，a6|7+4|107； 第 7 次操作，a7|7+4|107； 第 2020 次操作，a2020|7+4|107 2 设 x 为有理数，若|x|

5、x，则（） Ax 为正数Bx 为负数Cx 为非正数Dx 为非负数 【解答】D 【解析】设 x 为有理数，若|x|x，则 x0，即 x 为非负数 3 已知 x 是正实数，则|x1|+|2x1|+|3x1|+|4x1|+|5x1|的最小值是（） A2BCD0 【解答】B 【解析】|x1|+|2x1|+|3x1|+|4x1|+|5x1| |x1|+2|x|+3|x|+4|x|+5|x| 当 x0，即 x时取最小值， 最小值为：|1|+2|+3|+4|+5| +0+ 4 已知实数 a、b、c 满足 a+b+c0，abc0，则 x2019的值为（） A1B1C32019D32019 【解答】B 【解析】

6、已知 a，b，c 是有理数，a+b+c0，abc0， 则 b+ca，a+cb，a+bc，a、b、c 两正一负， 则1111 5 能使等式|2x3|+2|x2|1 成立的 x 的取值可以是（） A0B1C2D3 【解答】C 【解析】A、当 x0 时，原式3+47，不合题意； B、当 x1 时，原式1+23，不合题意； C、当 x2 时，原式1+01，符合题意； D、当 x3 时，原式3+25，不合题意； 6 已知 x，y 都是整数，若 x，y 的积等于 8，且 xy 是负数，则|x+y|的值有（）个 A1B2C3D4 【解答】B 【解析】x，y 都是整数，x，y 的积等于 8，且 xy 是负数，

7、 x8，y1 或 x4，y2 或 x1，y8 或 x2，y4， |x+y|9 或 6，一共 2 个 二填空题二填空题 7 已知，则 x 【解答】5 或 7 【解析】因为3， 所以|1x|6， 所以 1x6， 所以 1x6，或 1x6， 所以 x5，或 x7 8 若 x|x|x2017|，则 x 【解答】2017 或 【解析】x|x|x2017|， xx|x2017|或 x|x2017|x |x2017|0 或 2x|x2017| 当|x2017|0 时， 解得 x2017 当 2x|x2017|时， 若 0 x2017， 2xx+2017， 解得 x， x2017， 2xx2017， 解得 x

8、2017（舍去） 9 若对于某一范围内的 x 的任意值， |12x|+|13x|+|110 x|的值为定值， 则这个定值为 【解答】3 【解析】P 为定值， P 的表达式化简后 x 的系数和为 0； 由于 2+3+4+5+6+78+9+10； x 的取值范围是：17x0 且 18x0， 即， 所以 P（12x）+（13x）+（17x）（18x）（19x）（110 x）633 10已知|a|3，|b|2，且 ab，则 a2b 的值为 【解答】1 或 7 【解析】|a|3，|b|2， a，b2， ab， a3，b2， a2b3221 或 a2b32（2）7 11若|mn|nm，且|m|4，|n|3

9、，则 m+n 【解答】1 或7 【解析】|m|4，|n|3， m4，n3， 而|mn|nm， nm， n3，m4 或 n3，m4， m+n3+（4）1；或 m+n3+（4）7 三解答题三解答题 12已知 a、b、c 的大致位置如图所示：化简|a+c|+|bc|ab| 【解答】2c 【解析】由数轴知：ba0c，c|a|， a+c0，bc0，ab0， 所以|a+c|+|bc|ab| a+cb+ca+b 2c 13计算：已知，且 xy0，求 6（xy）的值 【解答】36 【解析】|x|，|y|，且 xy0， x，y， 6（xy）6（+） 36 14设 a0，且，求|x+1|x2|的值 【解答】3 【

10、解析】因为 a0， 所以 x， 所以 x+10，x20， 所以|x+1|x2|x1+x23 15已知实数 a，b，c 满足：a+b+c2，abc4 （1）求 a，b，c 中的最小者的最大值； （2）求|a|+|b|+|c|的最小值 【解答】 （1）-4； （2）6 【解析】 （1）不妨设 a 是 a，b，c 中的最小者，即 ab，ac，由题设知 a0， 且 b+c2a，于是 b，c 是一元二次方程的两实根， 即， a2+4a2+4a+160， （a2+4） （a+4）0， 所以 a4； 又当 a4，bc1 时，满足题意 故 a，b，c 中最小者的最大值4 （2）因为 abc0，所以 a，b，c

11、 为全小于 0 或二正一负 当 a，b，c 为全小于 0，则由（1）知，a，b，c 中的最小者不大于4，这与 a+b+c2 矛盾 若 a，b，c 为二正一负，设 a0，b0，c0，则|a|+|b|+|c|a+b+c2a2826， 当 a4，bc1 时，满足题设条件且使得不等式等号成立 故|a|+|b|+|c|的最小值为 6 16四个数分别是 a，b，c，d，满足|ab|+|cd|ad|， （n3 且为正整数，abcd） （1）若 n3 当 da6 时，求 cb 的值； 对于给定的有理数 e（bec） ，满足|be|ad|，请用含 b，c 的代数式表示 e； （2）若 e|bc|，f|ad|，且

12、|ef|ad|，试求 n 的最大值 【解答】 （1）cb4，ec+b； （3）n 的最大值是 4 【解析】 （1）n3， |ab|+|cd|ad|， abcd， ba+dc（da） ， cb（da） ， da6， cb4； bec，|be|ad|， eb（da） ， eb（cb） ， eb（cb）（cb） ， ec+b； （2）|ab|+|cd|ad|，abcd， cb（1） （da） ， e|bc|，f|ad|，且|ef|ad|， |bc|ad|ad|， |（1） （da）|ad|ad|， |ad|ad|， 2n10， n5， n3 且为正整数， n 的最大值是 4 17若 x，y 为非零有

13、理数，且 x|y|，y0，化简：|y|+|2y|3y2x|2y 【解答】原式2x2y 【解析】x|y|，y0， x0，xy， 2y0，3y2x0， 则原式y2y+3y2x2y2x2y 18已知：b 是最大的负整数，且 a，b，c 满足|a+b|+（4c）20160，试回答问题： （1）请直接写出 a，b，c 的值； （2）若 a，b，c 所对应的点分别为 A，B，C，点 P 为一动点，其对应的数为 x，点 P 在 0 到 1 之间运动时 （即 0 x1） ，请化简式子：|x+1|1x|+2|x4| 【解答】 （1）b1，ab1，c4； （2）原式8 【解析】 （1）b 是最大的负整数，|a+b

14、|+（4c）20160， b1，ab1，c4； （2）0 x1， x+10，1x0，x40， |x+1|1x|+2|x4|x+1（1x）+2（4x）8 19已知 a，b，c 都不等于零，且的最大值是 m，最小值为 n，求的值 【解答】原式1 【解析】当 a，b，c 三个都大于 0，可得， 当 a，b，c，都小于 0，可得， 当 a，b，c 一正二负，可得， 当 a，b，c 二正一负可得， m2，n2 原式1 20再看绝对值 （1）当 x3，|x2|；当 x2，|x2|；当 x1，|x2|； （2）化简：|x2|； （3）在|x+1|+|x2|+|x3|中当 x|x+1|+|x2|+|x3|有最

15、小值，最小值为； （4）在|xx1|+|xx2|+|xx3|+|xxn|中，若 x1x2x3xn（其中：x1，x2，x3，xn为常数） ，试 回答：当 x 为何值时，|xx1|+|xx2|+|xx3|+|xxn|有最小值，最小值为多少？ 【解答】 （1）1，0，3； （2）见解析； （3）当 x2，最小值为 4； （4）见解析 【解析】 （1）当 x3，|x2|321；当 x2，|x2|220；当 x1，|x2|1+23； 故答案为：1，0，3； （2）分三种情况： 当 x2 时，|x2|2x， 当 x2 时，|x2|0， 当 x2 时，|x2|x2， （3）当 x1 时，|x+1|+|x2|

16、+|x3|x1+2x+3x3x+4，则3x+47； 当1x2 时，|x+1|+|x2|+|x3|x+1+2x+3xx+6，则 4x+67； 当 2x3 时，|x+1|+|x2|+|x3|x+1+x2x+3x+2，则 4x+25； 当 x3 时，|x+1|+|x2|+|x3|x+1+x2+x33x4，则 3x45 综上所述，当 x2|x+1|+|x2|+|x3|有最小值，最小值为 4； 故答案为：2，4； （4）当 n 为奇数时，时，|xx1|+|xx2|+|xx3|+|xxn|有最小值 xn+xn1+ x2x1， 当 n 为偶数时，时，|xx1|+|xx2|+|xx3|+|xxn|有最小值 x

17、n+xn1+ x2x1 专题专题 01：绝对值：绝对值 1、绝对值的定义 在数轴上， 一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值， 例如+2 的绝对值等于 2， 记作|+2|=2； -3 的绝对值等于 3，记作|-3|=3 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0即 对于任何有理数 a 都有： 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越 大；离原点的距离越近，绝对值越小 一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的 2、绝对值的性质 0 除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数 互为相反

18、数的两个数（0 除外）的绝对值相等. 绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或 0 3、数轴上两点之间的距离 若 A、B 是数轴上的两个点，它们表示的数分别为 x1、x2，则 A、B 两点之间的距离为. 4、含绝对值的方程与函数 含有绝对值的方程要先去掉绝对值的符号，再求未知数的值； 绝对值函数的定义：，绝对值函数的定义域是一切实数，值域是非负数. 例 1、利用绝对值的性质化简 如果 a、b、c、d 为互不相等的有理数，且，那么等于（） A. 1B. 2C. 3D. 4 【解答】C 【解析】由已知可得，不妨设， ，ac 与 bc 互为相反数，即 ac（bc） ，ab2c， 又， ，bc

19、 与 db 相等，即 bcdb，2bcd， ， 同理，若设，可得，C 选项正确. 例 2、化简求最值 已知实数 x、y、z 满足，则代数式 的最大值是. 【解答】24 【解析】当时， 当时， 当时， 故的最小值为 4， 同理可得，当时，最小值为 3； 当时，最小值为 9，则 439108， 故 x、y 取最大值，z 取最小值时，代数式的值最大，最大值为. 例 3、绝对值方程 解方程： 【解答】 【解析】计算步骤如下： . 例 4、绝对值函数 作出函数的图像. 【解答】见解析 【解析】由题意可得，函数图像如图所示： 巩固练习巩固练习 一选择题一选择题 1 把有理数a代入|a+4|10得到a1，

20、称为第一次操作， 再将a1作为a的值代入得到a2， 称为第二次操作， ， 若 a23，经过第 2020 次操作后得到的是（） A7B1C5D11 2 设 x 为有理数，若|x|x，则（） Ax 为正数Bx 为负数Cx 为非正数Dx 为非负数 3 已知 x 是正实数，则|x1|+|2x1|+|3x1|+|4x1|+|5x1|的最小值是（） A2BCD0 4 已知实数 a、b、c 满足 a+b+c0，abc0，则 x2019的值为（） A1B1C32019D32019 5 能使等式|2x3|+2|x2|1 成立的 x 的取值可以是（） A0B1C2D3 6 已知 x，y 都是整数，若 x，y 的积

21、等于 8，且 xy 是负数，则|x+y|的值有（）个 A1B2C3D4 二填空题二填空题 7 已知，则 x 8 若 x|x|x2017|，则 x 9 若对于某一范围内的 x 的任意值， |12x|+|13x|+|110 x|的值为定值， 则这个定值为 10已知|a|3，|b|2，且 ab，则 a2b 的值为 11若|mn|nm，且|m|4，|n|3，则 m+n 三解答题三解答题 12已知 a、b、c 的大致位置如图所示：化简|a+c|+|bc|ab| 13计算：已知，且 xy0，求 6（xy）的值 14设 a0，且，求|x+1|x2|的值 15已知实数 a，b，c 满足：a+b+c2，abc4

22、 （1）求 a，b，c 中的最小者的最大值； （2）求|a|+|b|+|c|的最小值 16四个数分别是 a，b，c，d，满足|ab|+|cd|ad|， （n3 且为正整数，abcd） （1）若 n3 当 da6 时，求 cb 的值； 对于给定的有理数 e（bec） ，满足|be|ad|，请用含 b，c 的代数式表示 e； （2）若 e|bc|，f|ad|，且|ef|ad|，试求 n 的最大值 17若 x，y 为非零有理数，且 x|y|，y0，化简：|y|+|2y|3y2x|2y 18已知：b 是最大的负整数，且 a，b，c 满足|a+b|+（4c）20160，试回答问题： （1）请直接写出 a

23、，b，c 的值； （2）若 a，b，c 所对应的点分别为 A，B，C，点 P 为一动点，其对应的数为 x，点 P 在 0 到 1 之间运动时 （即 0 x1） ，请化简式子：|x+1|1x|+2|x4| 19已知 a，b，c 都不等于零，且的最大值是 m，最小值为 n，求的值 20再看绝对值 （1）当 x3，|x2|；当 x2，|x2|；当 x1，|x2|； （2）化简：|x2|； （3）在|x+1|+|x2|+|x3|中当 x|x+1|+|x2|+|x3|有最小值，最小值为； （4）在|xx1|+|xx2|+|xx3|+|xxn|中，若 x1x2x3xn（其中：x1，x2，x3，xn为常数）

24、 ，试 回答：当 x 为何值时，|xx1|+|xx2|+|xx3|+|xxn|有最小值，最小值为多少？ 专题专题 02：乘法公式：乘法公式 主要讲解几个常见公式的证明，并补充一些常用的公式 公式一、平方差公式 公式二、完全平方公式 在实际应用中，需要将公式进行变形，常见的变形如下： 1. 2. 3. 4. 5. 公式三、立方和公式 公式四、立方差公式 公式五、三数和平方公式 公式六、两数和立方公式 公式七、两数差立方公式 例 1、计算 例 2、计算 例 3、已知 a、b 是方程的两个根，求： （1）； （2）； （3）； （4） 【解答】 （1）77； （2）； （3）112； （4）24 【

25、解析】a、b 是方程的两个根，a+b=7，ab11. （1）； （2）； （3）； 巩固练习巩固练习 一. 选择题 1 下列式子计算正确的是（） Am3m2m6B （m） 2 Cm2+m22m2D （m+n）2m2+n2 【解答】C 【解析】A、m3m2m5，故 A 错误； B、 （m） 2 ，故 B 错误； C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确 D、 （m+n）2m2+2mn+n2，故 D 错误 2 如图（1） ，边长为 m 的正方形剪去边长为 n 的正方形得到、两部分，再把、两部分拼接成 图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（） A （mn）2m22mn+n

26、2B （m+n）2m2+2mn+n2 C （mn）2m2+n2Dm2n2（m+n） （mn） 【解答】D 【解析】图（1）中，、两部分的面积和为：m2n2， 图（2）中，、两部分拼成长为（m+n） ，宽为（mn）的矩形面积为： （m+n） （mn） ，因此有 m2 n2（m+n） （mn） ， 3 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（） A （a+b） （ab）a2b2B （ab）2a2b2 Cb（ab）abb2Dabb2b（ab） 【解答】A 【解析】 （a+b） （ab）a2b2. 4 如图 1 的 8 张长为 a，宽为 b（ab）的小长方形纸片，

27、按如图 2 的方式不重叠地放在长方形 ABCD 内， 未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为 S，当 BC 的长度 变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则 a，b 满足（） Ab5aBb4aCb3aDba 【解答】A 【解析】设左上角阴影部分的面积为 S1，右下角的阴影部分的面积为 S2， SS1S2 ADAB5aAD3aAB+15a2BCABb（BC+AB）+b2 BCAB5aBC3aAB+15a2BCAB+b（BC+AB）b2 （5ab）BC+（b3a）AB+15a2b2 AB 为定值，当 BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持

28、不变， 5ab0，b5a 5 已知实数 x、y、z 满足 x2+y2+z24，则（2xy）2+（2yz）2+（2zx）2的最大值是（） A12B20C28D36 【解答】C 【解析】实数 x、y、z 满足 x2+y2+z24， （2xy）2+（2yz）2+（2zx）25（x2+y2+z2）4（xy+yz+xz）202（x+y+z）2（x2+y2+z2） 282（x+y+z）228 当 x+y+z0 时（2xy）2+（2yz）2+（2zx）2的最大值是 28 二填空题二填空题 6 已知（a+b）27，a2+b25，则 ab 的值为 【解答】1 【解析】（a+b）27， a2+2ab+b27， a

29、2+b25， 7+2ab5， ab1 7 我们规定一种运算：，例如36452，按照 这种运算规定，当 x时，0 【解答】8 【解析】由题意得（x+2） （x2）（x+4） （x3）0， x24（x2+x12）0， 解得 x8 8 如图，点 C 是线段 AB 上的一点，分别以 AC、BC 为边在 AB 的同侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG， 连接 EG、BG、BE，当 BC1 时，BEG 的面积记为 S1，当 BC2 时，BEG 的面积记为 S2，以 此类推，当 BCn 时，BEG 的面积记为 Sn，则 S2020S2019的值为 【解答】 【解析】连接 EC， 正方形 ACDE 和正方

30、形 CBFG， ACEABG45， ECBG， BCG 和BEG 是同底（BG）等高的三角形， 即 SBCGSBEG， 当 BCn 时，Snn2， S2020S20192020220192（2020+2019） （20202019）； 9 如果，那么 a+2b3c 【解答】0 【解析】原等式可变形为： a2+b+1+5 （a2）+（b+1）+50 （a2）+4+（b+1）+1+0 （2）2+（1）2+0； 即：20，10，10， 2，1，1， a24，b+11，c11， 解得：a6，b0，c2； a+2b3c6+0320 10我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角” （如下图

31、） ，此图揭示了（a+b） n（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律 例如： （a+b）01，它只有一项，系数为 1； （a+b）1a+b，它有两项，系数分别为 1，1，系数和为 2； （a+b）2a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为 1，2，1，系数和为 4； （a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为 1，3，3，1，系数和为 8； 根据以上规律，解答下列问题： （1） （a+b）4展开式共有项，系数分别为； （2） （a+b）n展开式共有项，系数和为 【解答】 （1）5；1，4，6，4，1； （2）n+1，2n 【解析】 （1）展开式共有 5 项，展

32、开式的各项系数分别为 1，4，6，4，1， （2）展开式共有 n+1 项，系数和为 2n 三解答题三解答题 11已知 x+y6，xy5，求下列代数式的值： （1）x+y（1x） ； （2）x2+y2 【解答】 （1）11； （2）26 【解析】 （1）x+y6，xy5， 原式x+yxy6511； （2）x+y6，xy5， x2+y2（x+y）22xy（6）22526 12已知 A2x+3，Bx2化简 A2AB2B2，并求当 x时该代数式的值 【解答】1 【解析】A2x+3，Bx2， A2AB2B2（2x+3）2（2x+3） （x2）2（x2）2 4x2+12x+9（2x24x+3x6）2（x2

33、4x+4） 4x2+12x+92x2+4x3x+62x2+8x8 21x+7， 当 x时，原式21（）+71 13先化简，再求值：（x2y）2（xy） （x+y）2y2y，其中 x1，y2 【解答】2 【解析】原式（x24xy+4y2x2+y22y2）y （4xy+3y2）y 4x+3y， 当 x1，y2 时，4x+3y462 14. 已知，求的值. 【解答】 【解析】 15. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【解答】 （1）40； （2）27 【解析】 （1） 将代入得 . 16. 已知三角形的三条边分别是 a、b、c，且满足等式，试确定三角形的形状. 【解答】等边三角形 【解析】由

34、已知得， a、b、c 为三角形的三边长， ， 即， ， ， ， ， ，即三角形为等边三角形. 17前面学习中，一些乘法公式可以通过几何图形来验证，请结合下列两组图形回答问题： 图说明：左侧图形中阴影部分由右侧阴影部分分割后拼接而成； 图说明：边长为（a+b）的正方形的面积分割成如图所示的四部分 （1）请结合图和图分别写出学过的两个乘法公式： 图：； 图： （2）请利用上面的乘法公式计算： 100299101； （60）2 【解答】 （1）（a+b） （ab）a2b2，（a+b）2a2+2ab+b2； （2）1，3602 【解析】 （1）由图可得， （a+b） （ab）a2b2； 由图可得， （

35、a+b）2a2+2ab+b2； （2）100299101 1002（1001）（100+1） 1002（10021） 10021002+1 1； （60）2 （60+）2 3600+2+ 3602 18要说明（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路 写出推理过程 （1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立； （2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立； （3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立 【解答】见解析 【解析】 （1）小刚： （a+b+c）2 （a+b+c） （a+b+c） a2+ab+a

36、c+ab+b2+bc+ac+bc+c2 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）小王： （a+b+c）2 （a+b）+c2 （a+b）2+2（a+b）c+c2 a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2； （3）小丽： 如图所示： （a+b+c）2a2+b2+c2+ab+ac+bc+ab+ac+bc， 19 【阅读材料】 我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代 数思想也能巧妙地解决一些图形问题 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图 1 所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为 x 的正方形，乙种纸片是边长为 y 的正方形

37、，丙种纸片是长为 y，宽为 x 的长方形，并用甲种纸片一张，乙种 纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图 2 所示的一个大正方形 【理解应用】 （1）观察图 2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】 （2）利用（1）中的等式解决下列问题 已知 a2+b210，a+b6，求 ab 的值； 已知（2021c） （c2019）2020，求（2021c）2+（c2019）2的值 【解答】 （1）x2+y2（x+y）22xy； （2）13； （2）4036 【解析】 （1）x2+y2（x+y）22xy （2）由题意得：， 把 a2+b210，a+b6 代入上式得

38、， 由题意得： （2021c）2+（c2019）2（2021c+c2019）22（2021c） （c2019）2222020 4036 20如图 1，是一个长为 2a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个 正方形（如图 2） （1）用两种不同的方法表示图 2 中阴影部分的面积： 方法 1：S阴影 方法 2：S阴影 （2）写出（a+b）2， （ab）2，ab 这三个代数式之间的等量关系为 （3）若（2m+n）214， （2mn）6，则 mn 的值为 已知 x+y10，xy16，求 xy 的值 【解答】 （1）4ab， （a+b）2（ab）2； （2）（a+b）

39、2（ab）24ab； （3）40，xy6，或 xy 6 【解析】 （1）方法 1：图 2 的阴影部分面积等于图 1 的面积，即 2a2b4ab， 方法 2：大正方形与小正方形的面积差，即（a+b）2（ab）2， （2）由（1）可得： （a+b）2（ab）24ab， （3）由（2）得，4mn（m+n）2（mn）214262（14+6） （146）208160， mn160440， 由（x+y）2（xy）24xy，可得： （xy）2（x+y）24xy， 把 x+y10，xy16 代入得， （xy）210241636， xy6，或 xy6 21请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，试用

40、两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和 方法 1：； 方法 2：； （2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：； （3）利用（2）中结论解决下面的问题：若 ab2，a+b4，求 a2+b2的值 【解答】 （1）a2+b2，（a+b）22ab； （2）a2+b2（a+b）22ab； （3）12 【解析】 （1）方法 1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即，a2+b2， 方法 2，阴影部分的面积等于总面积减去两个长方形的面积，即， （a+b）22ab， （2）两种方法求得的结果相等，因此有，a2+b2（a+b）22ab， （3）由（2）得，ab2，a+b4，求 a2+b2（a+b）22a

41、b16412 22如图是一个长为 4a、宽为 b 的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形 拼成的一个“回形”正方形（如图 2） （1）图 2 中的阴影部分面积为：（用 a、b 的代数式表示） ； （2）观察图 2，请你写出（a+b）2、 （ab）2、ab 之间的等量关系是； （3）利用（2）中的结论，若 x+y5，xy，求（xy）2的值； （4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图 3，请你写出这个等式； （5）如图，点 C 是线段 AB 上的一点，分别以 AC、BC 为边在 AB 的同侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG， 连接 EG、BG、BE，当

42、 BC1 时，BEG 的面积记为 S1，当 BC2 时，BEG 的面积记为 S2，以此 类推，当 BCn 时，BEG 的面积记为 Sn，则 S2020S2019的值为 【解答】 （1） （a+b）24ab 或（ab）2； （2）（a+b）2（ab）24ab； （3）16； （4） （3a+b） （a+b） 3a2+b2+4ab； （5）2019.5 【解析】 （1）图 2 中，阴影部分的边长为（ab）的正方形，因此面积为（ab）2， 也可以从边长为（a+b）的正方形面积减去图 1 的面积，即（a+b）24aba2+b22ab， （2）通过（1）的计算可知， （a+b）2（ab）24ab， （3

43、） （xy）2（x+y）24xy26916， （4）整体长方形的面积为（3a+b） （a+b） ，图中八个四边形的面积和为 3a2+b2+4ab， 因此有： （3a+b） （a+b）3a2+b2+4ab， （5）如图，连接 EC，则 ECBG，如图所示： SBEGSCBGBC2， S2020S20192020220192， （2020+2019） （20202019） ， 2019.5， 专题专题 02：乘法公式：乘法公式 主要讲解几个常见公式的证明，并补充一些常用的公式 公式一、平方差公式 公式二、完全平方公式 在实际应用中，需要将公式进行变形，常见的变形如下： 6. 7. 8. 9. 10

44、. 公式三、立方和公式 公式四、立方差公式 公式五、三数和平方公式 公式六、两数和立方公式 公式七、两数差立方公式 例 1、计算 例 2、计算 例 3、已知 a、b 是方程的两个根，求： （1）； （2）； （3）； （4） 【解答】 （1）77； （2）； （3）112； （4）24 【解析】a、b 是方程的两个根，a+b=7，ab11. （1）； （2）； （3）； 巩固练习巩固练习 一. 选择题 1 下列式子计算正确的是（） Am3m2m6B （m） 2 Cm2+m22m2D （m+n）2m2+n2 2 如图（1） ，边长为 m 的正方形剪去边长为 n 的正方形得到、两部分，再把、两部分

45、拼接成 图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（） A （mn）2m22mn+n2B （m+n）2m2+2mn+n2 C （mn）2m2+n2Dm2n2（m+n） （mn） 3 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（） A （a+b） （ab）a2b2B （ab）2a2b2 Cb（ab）abb2Dabb2b（ab） 4 如图 1 的 8 张长为 a，宽为 b（ab）的小长方形纸片，按如图 2 的方式不重叠地放在长方形 ABCD 内， 未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为 S，当 BC 的长

46、度 变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则 a，b 满足（） Ab5aBb4aCb3aDba 5 已知实数 x、y、z 满足 x2+y2+z24，则（2xy）2+（2yz）2+（2zx）2的最大值是（） A12B20C28D36 二填空题二填空题 6 已知（a+b）27，a2+b25，则 ab 的值为 7 我们规定一种运算：，例如36452，按照 这种运算规定，当 x时，0 8 如图，点 C 是线段 AB 上的一点，分别以 AC、BC 为边在 AB 的同侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG， 连接 EG、BG、BE，当 BC1 时，BEG 的面积记为 S1，当 BC2 时，BEG

47、 的面积记为 S2，以 此类推，当 BCn 时，BEG 的面积记为 Sn，则 S2020S2019的值为 9 如果，那么 a+2b3c 10我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角” （如下图） ，此图揭示了（a+b） n（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律 例如： （a+b）01，它只有一项，系数为 1； （a+b）1a+b，它有两项，系数分别为 1，1，系数和为 2； （a+b）2a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为 1，2，1，系数和为 4； （a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为 1，3，3，1，系数和为 8； 根据以上规律，

48、解答下列问题： （1） （a+b）4展开式共有项，系数分别为； （2） （a+b）n展开式共有项，系数和为 三解答题三解答题 11已知 x+y6，xy5，求下列代数式的值： （1）x+y（1x） ； （2）x2+y2 12已知 A2x+3，Bx2化简 A2AB2B2，并求当 x时该代数式的值 13先化简，再求值：（x2y）2（xy） （x+y）2y2y，其中 x1，y2 14. 已知，求的值. 15. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 已知三角形的三条边分别是 a、b、c，且满足等式，试确定三角形的形状. 17前面学习中，一些乘法公式可以通过几何图形来验证，请结合下列两组图形回答

49、问题： 图说明：左侧图形中阴影部分由右侧阴影部分分割后拼接而成； 图说明：边长为（a+b）的正方形的面积分割成如图所示的四部分 （1）请结合图和图分别写出学过的两个乘法公式： 图：； 图： （2）请利用上面的乘法公式计算： 100299101； （60）2 18要说明（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路 写出推理过程 （1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立； （2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立； （3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立 19 【阅读材料】 我们知道，图形也是一种重

50、要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代 数思想也能巧妙地解决一些图形问题 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图 1 所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为 x 的正方形，乙种纸片是边长为 y 的正方形，丙种纸片是长为 y，宽为 x 的长方形，并用甲种纸片一张，乙种 纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图 2 所示的一个大正方形 【理解应用】 （1）观察图 2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】 （2）利用（1）中的等式解决下列问题 已知 a2+b210，a+b6，求 ab 的值； 已知（2021c） （c2