大学自主招生数学讲义(上).pdf
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1、1 大学自主招生数学讲义(上)大学自主招生数学讲义(上) 第一讲 函数的性质.3 一、知识要点.3 二、热身练习.6 三、真题讲解.7 四、强化训练.9 第二讲 导数. 14 一、知识方法拓展.14 二、热身练习.16 三、真题精讲.17 四、重点总结.19 五、强化训练.19 第三讲 微积分初步.30 一、知识方法拓展.30 二、热身练习.32 三、真题讲解.34 四、重点总结.37 五、强化训练.37 六、参考答案.41 第四讲 方程与根. 44 一、知识方法拓展.44 二、热身训练.46 三、真题精讲.48 四、重点总结.50 五、强化训练.50 第五讲 基本不等式及其应用.56 一、知
2、识方法拓展.56 二、热身练习:.57 三、精讲名题:.58 四、强化训练.60 第六讲 不等式的证明与应用.64 一、知识方法拓展.64 二、热身练习:.65 三、精解名题:.66 四、强化训练.69 第七讲 递推数列. 71 2 一、知识方法拓展.71 二、热身练习.73 三、真题精讲.74 四、重点总结.77 五、强化训练.78 第八讲 数列求和,极限和数学归纳法.82 一、知识方法拓展.82 二、热身练习.83 三、真题精讲.84 四、重点总结.88 五、强化训练.89 3 第一讲 函数的性质第一讲 函数的性质 一、知识要点一、知识要点 1、映射映射 对于任意两个集合,A B,依对应法
3、则f,若对A中的任意一个元素, x在B中都有唯一 一个元素与之对应,则称:fAB为一个映射映射,记作:,fAB其中b称为像像,a称为原 像。 原 像。 如 果:fAB是 一 个 映 射 且 对 任 意,x yA xy都 有 ,f xfy则 :fAB是A到B上称之为单射单射. 如 果:fAB是 映 射 且 对 任 意,yB都 有 一 个xA使 得 ,f xy则 称 :fAB是A到B上的满射满射. 如果:fAB既是单射又是满射,则:fAB是A到B上叫做一一映射一一映射. 如果:fAB是从集合A到集合B上的一一映射, 并且对于B中每一个元素b, 使b 在A中的原像a和它对应,这样所得的映射叫做:fA
4、B的逆映射逆映射,记作 1 :.fBA 2、函数方程问题函数方程问题 (1)代换法(或换元法)代换法(或换元法) 把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换 (代换时应注意使函数的定义域不会发 生变化) ,得到一个新的函数方程,然后设法求得位置函数 例.设 22 0,abab求 1 afxbfcx x 的解. ( 【解析】分别用 1, xxt t 带入) (2)待定系数法待定系数法 当函数方程中的未知数是多项式时,可待定系数而求解. 例.已知 1 fxf x是一次函数, 1nn fxffx 且 10 10241023fxx, 求 f x.( 【解析】设 0f xaxb a求解) 3、函数对称性
5、以及周期性、函数对称性以及周期性 1)已知函数 yf x,若函数 yg x图像与 yf x图像关于: 4 直线xa对称,则 g x 2fax; 直线yb对称,则 2g xbf x; 点, a b对称,则 22g xbfax。 2)已知函数 yf x图像关于: 直线xa对称,则 f x 2fax; 点, a b对称,则 22f xbfax,即 22f xfaxb。 3)常用:若函数 yg x图像与 yf x图像关于: y轴对称,则 g x fx; x轴对称,则 g xf x ; 原点对称,则 g xfx 。 4)若f xaf bx,则 yf x图像关于直线 2 ab x 对称; 若f xaf b
6、xc,则 yf x图像关于点, 22 ab c 对称; 若yf xa与yf bx关于直线 2 ba x 对称; 5)若 f xTf x,则函数 yf x是以T为周期的函数。 6) 若 f xaf x , 则 2fxafxafxfx , 即2Ta; 若 1 f xa f x ,则 11 2 1 f xaf x f xa f x ,即2Ta; 若 1 f xa f x , 则 11 2 1 f xaf x f xa f x , 即2Ta。 7)若 f x关于直线xa和xbab对称,则 f x为以2 ba为周期的周期 函数; 若 f x关于点,0a和xbab对称,则 f x为以4 ba为周期的周期函
7、数; 5 若 f x关于点 0 , a y和 0 , b yab对称,则 f x为以2 ba为周期的周期函数。 4、抽象函数问题的解法、抽象函数问题的解法 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像, 只给出一些函数符号极其满足的条件 的函数,如给出定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等,它是高中函数 的难点,也是与高等数学函数部分的一个衔接点。 (1)函数性质法)函数性质法 函数的特征是通过其性质(如奇偶性、单调性、周期性等)反映出来的,抽象函数也是 如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,才能够将抽象函数 问题化难为易。常用的方法有:利用奇偶性整体思考
8、;利用单调性等价转化;利用周 期性回归已知;利用对称性数形结合;借助特殊点列方程。 (2)特殊化方法)特殊化方法 在求解函数解析式或研究函数性质时, 一般用代换的方法, 将x换成x或将x换成 其他字母等; 在求函数值时,可用特殊值代入; 研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题、填空题,或通过具体模型函数为 解答综合题提供思路和方法。 5、函数的迭代、函数的迭代 一个函数的自复合,叫做迭代。我们用 k gx表示 g x的k次迭代函数。 即 0 1kk gxx gxg gx 如果 1,2,1 p k gxx gxx kp 不恒等于 则称 g x有迭代周期. p 迭代问题的解法通常是找它的迭代周
9、期。 一般来说, 若 yg x的图像关于直线yx 对称,则一定有 g g xx.它的迭代周期就是 2.下面是几个常见函数的迭代周期。 27 , 1 x g x x 迭代周期是 3; 1, 1 x g x x 迭代周期是 4; 6、凹凸函数、凹凸函数 设f为定义在区间I上的函数,若对I上任意两点 1 x、 2 x和实数0,1 ,总有 1212 11,fxxf xf x则称f为I上的凸函数(有时也称下凸函 数) 。 反之, 如果总有不等式 1212 11,fxxf xf x则称则称f为I 上的凹函数(有时也称上凸函数) 。 6 特 别 地 , 1 2 时 , 有 12 12 22 f xf xxx
10、 f ( 凸 函 数 ) 或 12 12 22 f xf xxx f (凹函数) 。 如何判断一个函数是凸函数(凹函数)?除了定义以外,还有下面的定理: 设f为I上二阶可导函数,则f为I上的凸(凹)函数的充要条件是 0fx 0 .fx 凸函数更一般的情形是下面的琴生不等式:若f为, a b上的凸函数,则对任意 ,01,2, ii xa bin,且 1 1, n i i 则 11 . nn iiii ii fxf x 二、热身练习二、热身练习 1、 (、 (2009 复旦)复旦)若要求关于x的函数 2 1 0.5 lglog2ax bx 的定义域是, 则a、b的取 值范围是() A B0a 2
11、40C ba 0D ab 【解析】选 A.由 22 112 0.5 lglog2002110 axbxaxbx axbx 对 ,x 恒成立 2 0 40 a ba 这样的, a b不存在。 2、 (、 (2010 复旦)复旦)某校有一个班级,设变量x是该班同学的姓名,变量y是该班同学的学号, 变量z是该班同学的身高,变量w是该班同学某一门课程的考试成绩,则下列选项中正确 的是() Ay是x的函数 Bz是y的函数 C w是z的函数 D w是x的函数 【解析】按照函数的定义,由于班上可能会有相同的姓名,故 A 不正确。而任意一个学生 的学号是唯一的,也对应了一个唯一的身高,故选项 B 正确;同理,
12、,C D均不正确。 3、 (、 (2007 复旦)复旦)设 f x是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数。已知当 2,3x时, ,f xx 则当2,0 x 时, f x的表达式为() 7 A3 |1|x B2 |1|x C3 |1|x D2 |1|x 【解析】选 A可以考虑特殊值。 222,1133fffff , 022ff 。符合条件的只有选项 A 了。 4、 (、 (2006 复旦)复旦)设有三个函数,第一个是 yf x,它的反函数就是第二个函数,而第三 个函数的图像与第二个函数的图像关于直线0 xy对称,则第三个函数是() A yf x Byfx C 1 yfx D 1 yfx
13、 【解析】选B。第二个函数是 1 ,yfx 第三个函数为 1 xfy ,即yfx 三、真题讲解三、真题讲解 1、 (、 (2005 交大)交大)函数 2 2 8 1 axxb y x 的最大值为9,最小值为1,求实数a、b. 【解析】 22 8,yxyaxxb即 2 80ay xxby. 显然,这个关于x的方程必有实数根,从而有6440ayby 2 160yab yab。根据题意,19910yyy 2 1090,yy故 10 169 ab ab ,所以解得5ab. 2、 (、 (2006 复旦)复旦)设 12 ,0, 2 x x 且 12, xx下列不等式中成立的是() 1 12 12 1 t
14、antantan; 22 xx xx 2 12 12 1 tantantan; 22 xx xx 3 12 12 1 sinsinsin; 22 xx xx 4 12 12 1 sinsinsin; 22 xx xx A B C D 8 【解析】选 B 这是一道和凸函数有关的问题,分别画出tanyx,sin ,0, 2 yx x 的 草图。由图像可知tanyx是下凸函数,sinyx是上凸函数,故选 B 3、 (、 (2009 清华)清华) * 0,0,1,ababnN求证: 22 21 1 . 2 nn n ab 【解析】本题考查的是前文中证明函数是凸函数的充要条件。首先构造函数 2* , n
15、 yxnN 先证明它是凸函数。事实上 2122 2,2210, nn ynxynnx 故 2* , n yxnN是 , 上的凸函数,从而 22 22 22 21 11 , 2222 nn nn nn n abab ab 证毕! 4、 (、 (2007 交大)交大)已知函数 1 21, 1 x fx x 对于1,2,n 定义 11 , nn fxffx 若 355 ,fxfx则 28 fx _. 【解析】 1 . 1x 本题考查迭代周期问题。计算得 2 1,x fx x 3 2 , 21 x fx x 4 1 , 1 fx x 56 1 , 2 x fxfxx x 故 f x以 6 为周期.注:
16、条件 355 fxfx可以不用。 5、 (、 (2007 北大)北大) 22 53196 |53196|,f xxxxx求 1250 .fff 【解析】 22 53196 |53196|449|449 |,f xxxxxxxxx 故 4548490ffff,所以 50 1 123 i f ifff 50288 1889292660f. 6、 (、 (2002 交大)交大)函数 |lg |,f xx有0ab且 2. 2 ab f af bf 1求, a b满足的关系; 2证明:存在这样的, b使34.b 【解析】 1因为 |lg |,f xx有0ab且 2, 2 ab f af bf 所以1ab
17、 , 9 且0,1 ,1,.ab 2 2 11 2 lg2 lglg 24 bb bb b (因为 1 2b b ) , 故 2 2 1 42,bb b 即 432 4210,bbb 32 1310bbbb 令 32 31,g xxxx而 30,40,gg故 0g x 在3,4之间必有一解,所以 存在b,是的34.b 四、强化训练四、强化训练 (A 组)组) 1、 (、 (2004 复旦)复旦)若存在,M使对任意xD(D为函数 f x的定义域) ,都有 |,f xM则称函数 f x有界。问函数 11 sinfx xx 在 1 0, 2 x 上是否有界? 【解析】令 1 , t x 则2,t,
18、11 sinsin .tt xx 若令2, 2 tkkZ 且1,k 则当k 时,sinsin 21 2 tk ,t , 故 11 sinfx xx 在 1 0, 2 x 上无界.注:注:本题中的t有无穷多个赋值方式,如令 2,2, 35 tkk 事实上,只要使sin0t 均可。 2、 (、 (2007 复旦)复旦)若1,1ab且lglglg ,abab则lg1lg1ab lg2A 1B C不是与, a b无关的常数 0D 【解析】选 D. 由,abab得111 1.ababab 故lg1lg1ab lg10 3、 (、 (2005 复旦)复旦)定义在R上的函数 1f xx 满足 2002 24
19、015 1 x f xfx x , 则2004_.f 10 【解析】2005.令 22220044013,xff令 2004200422xff 2011. 2220044013, 20042005. 2004222011 ff f ff 4、 设 |1|2|2013|1|2|2013|f xxxxxxxxR 且 2 321f aaf a,则a的值有() 1A 个 2B个 3C个 D 无数个 【解析】因为 f xfx,故 f x为偶函数.在11x 时,有 |1|1|2|2|2013|2013|f xxxxxxx 2 1 220132013 2014.当 2 1321111aaa 且时, 恒有 2
20、 35 3212. 2 f aaf aa 故选D! 5、 (、 (2000 交大)交大)求函数 3322 11fxxxxxxR的反函数 【解析】由 3322 11fxxxxx得 22 32222 33 2311311yxxxxxxxxx 3322 2311xxxxx 23xy 33 1 33 , 22 yyxx xfx 6、 (模拟题)、 (模拟题)求函数 432 2 41726106 27 xxxx f x xx 在区间1,1上的值域. 【解析】 2 2 64 271 27 fxxx xx ,值域为 2 15,15 3 7、 (模拟题)、 (模拟题)已知 f x是定义在R上的函数,且 211
21、fxfxfx (1)试证明 f x是周期函数; 11 (2)若 123,f试求2013f 【解析】 (1)又条件可知 11,f故 1 2. 1 f x f x f x 用2x换上式的x,得 1 1 1211 4 112 1 1 f x f xf x f x f xf xf x f x 所以 1 8 4 f xf x f x ,即 f x是以 8 为周期的周期函数。 (2) 1 20138 251 551 432 1 ffff f . 8、(模拟题)、(模拟题) 已知 1 fxf x是一次函数, 1nn fxffx 且 10 10241023fxx. 求 f x 【解析】设 f xaxb0a 则
22、有 2 2 1fxff xa axbba xb a 232 3 11fxfff xa a xb aba xb aa . 依此类推有: 10 109810 10 1 1=1 1 ba fxa xb aaaa xa a 时不成立 由题设可得: 10 10 1 1024=1023 1 ba a a 且,故解得2,12,3abab 或. 所以 21f xx或 23f xx. 9、 (模拟题)、 (模拟题)已知实数x满足 3 3 1 2 5,x x 求 2 2 1 x x . 【解析】记 2 2 1 1tx x 则 22 3222 322 111 20123xxxtt xxx 322 320025100
23、,2,tttttt故 2 2 1 3x x . 12 10、(、(2001 交大)交大) 已知函数 2 22,1f xxxxt t的最小值是 g t, 试着写出 g t 的解析表达式。 【解析】 2 11,fxx其对称轴为1.x 当1t 时, f x在,1t t 上单调递增,从而 2 22g tf ttt 当11t 即2t 时, f x在,1t t 上单调递减,从而 2 145g tf ttt 当21t 时, 11g tf 故 2 2 22,1, 1,2, 1 45, 2 ttt g tt ttt (B 组)组) 1、 (、 (2008 交大)交大)已知函数 2 0 ,f xaxbxc a且
24、f xx没有实数根.那么 ff xx是否有实数根?并证明你的结论. 【解析】法一:利用 0ff xx,得到0 ,故没有实数根(本方法计算量过大) 法二:若0,a 则 ,f xx对一切xR恒成立. 故有 ff xf xx; 同理0a 时,则 ,f xx对一切xR恒成立. 故有 ff xf xx;所以 ff xx没有实数根 2、 (模拟题)、 (模拟题)已知函数 2 24, ,0 .f xaxbxc a b cR a (1)函数 f x的图像与直线yx 均无公共点,求证: 2 4161bac (2)若0a 且1ab,又| 2x 时,恒有 | 2f x ,求 f x的解析式. 【解析】 (1)函数
25、f x与直线yx无公共点, 2 24axbxcx无实数解. 故 2 21160bac ,即 2 441 160bbac . 同理函数 f x与直线yx 无公共点,即有 2 441 160bbac . 13 两式相加得 2 82320,bac即 2 4161.bac (2)1ab,又| 2x 时,恒有 | 2f x 故有 204444424242fcabcabf 故42c . 1 2 C 又 | 2f x .故 20f xf 故 f x在0 x 处取得最小值而且02,2 从而0 x 是函数的对称轴. 故0,1ba。 2 2f xx 3、 (模拟题)、 (模拟题)已知 1 1 5 f且当1n 时有
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