2021年深圳市高二下学期期末调研考试数学试题（及答案）.docx

1、数学试卷第 1 页 共 17页 绝密启用前试卷类型：A 深圳市 2021 年普通高中高二年级调研考试 数 学2021.7 本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并 将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要

2、求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回 一、单项选择题：本题共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1已知集合2 | () 0Ax x x， | 11Bxx ，则=AB A | 1 2 xxB |01xxC |12x xx ，或D |01x xx，或 2已知复数 3i 12i z（i为虚数单位），则| z A1B2C3D2 3已知向量(1)ma，(2)nb，若| 2a，ab，则mn A3B3C6D6 44名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是 A 4 3B

3、3 4C12D24 5已知数列 n a的前n项和 2 7 n Snn，若35 k a，则k A8B7C6D5 6已知p：“01a，1b”，q：“( ) x f xab(0a ，且1)a的图象不过第一象限”，则 p是q的 数学试卷第 2 页 共 17页 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 7若1ab，01c，则下列式子成立的是 Aloglog ab ccB ba acbc Cloglog ab bcacD ba ab 8设0k，若存在正实数x，使得不等式 1 27 log30 kx xk 成立，则k的最大值为 A 1 eln3 B ln3 e C e ln3

4、D ln3 2 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9 若P是双曲线 22 1 9 xy C m ： 上一点，C的一个焦点坐标为 (4 0)F， ，则下列结论中正确的是 A= 5mB渐近线方程为 7 3 yx C|PF的最小值是1D焦点到渐近线的距离是7 10已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数双曲余弦函数为 ee ch 2 xx x ，双曲正弦函 数为 ee sh 2 xx x 则下列结论中正确的是 A(ch )sh xx B 22 (sh )(ch

5、 )1xxCsh 22sh ch xxxDch x是奇函数 11设函数 ( )sin(2) 3 f xx的图象为曲线E，则下列结论中正确的是 A (0) 12 ，是曲线E的一个对称中心 B若 12 xx，且 12 ()()0f xf x，则 12 |xx的最小值为 2 C将曲线sin2yx向右平移 3 个单位长度，与曲线E重合 D将曲线 sin() 3 yx上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，与曲线E重合 12如图，菱形ABCD边长为2，60BAD，E为边AB的中点将ADE沿DE折起，使A到 A ，且平面A DE平面BCDE，连接A B，A C A C B DE A C B D

6、E 数学试卷第 3 页 共 17页 则下列结论中正确的是 ABDA CB四面体A CDE的外接球表面积为8 CBC与A D所成角的余弦值为 3 4 D直线A B与平面A CD所成角的正弦值为 6 4 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13曲线( )sinf xxx在 2 x处的切线方程为 14设抛物线 2 20ypx p（）的焦点为F，抛物线上一点 0 (3)My，到F的距离为6，则 0= y 15中国工程院院士袁隆平，被誉为“世界杂交水稻之父”他发明的“三系法”籼型杂交水稻， 创建了超级杂交稻技术体系某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产760公斤，到第 二期

7、亩产810公斤，第三期亩产860公斤，第四期亩产1030公斤将第一期视为第二期的父代， 第二期视为第三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量 有关，请用线性回归分析的方法预测第五期的产量为每亩公斤 附：用最小二乘法求得线性回归方程为 ybxa，其中 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 16英国数学家泰勒发现了公式： 357 sin 3!5!7! xxx xx，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数 学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明 222 111 1 234 其发现过程简单分析如下： 当

8、0 x 时，有 246 sin 1 3!5!7! xxxx x ， 容易看出方程 sin 0 x x 的所有解为：，2，n， 于是方程 sin 0 x x 可写成： 222222 ( )(2)( )0 xxxn ， 改写成： 222 22222 (1) 110 2 xxx n （*） 比较方程（*）与方程 246 10 3!5!7! xxx 中 2 x项的系数，即可得 222 111 1 234 _ 数学试卷第 4 页 共 17页 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（10 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinc

9、os2sinsinABCB （1）求角A； （2）若4a ，2 5bc，求ABC的面积 18（12 分） 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，数列 n b为等比数列，满足 12 2ab， 5 30S， 4 2b是 3 b与 5 b的等差中项 （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）若 nnn cab， n T是数列 n c的前n项和，求 n T 19（12 分） 如图，在五面体ABCDEF中，面ADEF为矩形，且与面ABCD垂直，90BCD， 1 1 2 ADCDBC，2DE （1）证明：AD/BC； （2）求平面ACE与平面BCEF所成的锐二面角的余弦值 数学试卷第 5 页

10、共 17页 20（12 分） 从某企业生产的某种产品中抽取 1000 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如 下频率分布表和频率分布直方图 （1）求m，n，a的值； （2）求出这 1000 件产品质量指标值的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表）； （3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布 2 ()N，其中近似为样 本平均数x， 2 近似为样本方差 2 s，其中已计算得 2 52.6如果产品的质量指标值位于区间 (10.50 39.50)， 企业每件产品可以获利 10 元， 如果产品的质量指标值位于区间(10.50 39.50)，之外， 企业每件产

11、品要损失 100 元，从该企业一天生产的产品中随机抽取 20 件产品，记X为抽取的 20 件 产品所获得的总利润，求EX 附： 52.67.25 ， ()0.6826Px ， (22 )0.9544Px 分组频数频率 2.5，7.5)20.002 7.5，12.5) m 0.054 12.5，17.5)1060.106 17.5，22.5)1490.149 22.5，27.5)352 n 27.5，32.5)1900.190 32.5，37.5)1000.100 37.5，42.5)470.047 合计10001.000 数学试卷第 6 页 共 17页 21（12 分） 已知椭圆 22 22

12、:10 xy Cab ab （）的长轴长为4，离心率为 3 2 ， （1）求椭圆C的方程； （2） 过椭圆C上的点 00) (,A xy 00 0 x y （）的直线l与x，y轴的交点分别为M，N， 且2ANMA ， 过原点O的直线m与l平行，且与C交于B，D两点，求ABD面积的最大值 22 （12 分） 已知函数 2 1 ( )e (2)(1) 2 x f xxxa x，aR，e = 2.718 28是自然对数的底数 （1）当0a时，讨论( )f x的单调性； （2）当2x时，( )0f x ，求a的取值范围 2021 年深圳市高年深圳市高二期末二期末调研考试调研考试 O A x D M N

13、 B y 绝密绝密启封并使用完毕前启封并使用完毕前试题类型：试题类型：A 数学试卷第 7 页 共 17页 数学试题答案及评分参考 一、单项选择题： 题号12345678 答案BBDACACA 二、多项选择题： 题号9101112 答案BCDACBDBCD 三、填空题： 13. yx ；14.6；15.1384；16. 2 6 . 8解：因为3 1 3 log3kxxk ，所以 3 log3kxxk， 因为0 x ，所以 3 log3kxxxkx 即 3 log 3 3log3 xkx xkx 因为0 x ，设函数 3 x f xx在(0) ，为增函数， 所以 3 log0 xkx 所以 3 l

14、og x k x 又函数 3 log x y x 在(0e)，为增函数，在(e) ，为减函数，所以k的最大值为 1 eln3 命题意图：命题意图：本题涉及函数与导数知识，重点考查函数的单调性以及构造新函数，对学生的逻 辑推理能力，运算能力的都有比较高的要求 15解：因为810 x ，900y ，所以 3 1 ()()760810(810900)(860810)(1030900)11000 ii i xxyy ， 3 2 22 1 ()(760810)8608105000 i i xx ， 所以 11000 2.2,882 5000 baybx ， 所以第五期产量为10302.28821384y

15、 命题意图：命题意图：以粮食产量为命题背景，结合生活实例，激发学生爱国热情，向伟人学习.考查统 计中的回归分析，重点考查学生数据分析，对核心概念的理解 四、解答题： 17解：（1）法一：法一：由2sincos2sinsinABCB得， 数学试卷第 8 页 共 17页 2sincos2sin()sinABABB，1 分 整理得，sin (2cos1)0BA2 分 (0)B ，sin0B ，3 分 2cos10A ，即 1 cos 2 A 4 分 又(0)A ，所以， 2 3 A 5 分 法二：法二：由2sincos2sinsinABCB应用正弦定理得， 2 cos2aBcb，1 分 即 222

16、22 2 acb acb bc ，2 分 整理得， 222 acbbc，3 分 于是 222 1 cos 22 bca A bc ，4 分 又(0)A ，所以， 2 3 A 5 分 法三：法三：由2sincos2sinsinABCB应用正弦定理，得 2 cos2aBcb，1 分 由余弦定理，可得coscoscaBbA，代入上式，得2 分 2 cos0bAb3 分 0b ， 1 cos 2 A ，4 分 又(0)A ，所以， 2 3 A5 分 （2）4a ，2 5bc，由余弦定理，得 222 2cosabcbcA，6 分 222 ()bcbcbcbc7 分 即1620bc，则4bc 8 分 于是

17、 1 sin 2 ABC SbcA 13 43 22 10 分 命题意图：命题意图：本题是一道解三角形的常规题型涉及三角形内角和、三角恒等变换、正弦定理、 余弦定理、三角形面积等核心知识，重点考查逻辑推理和数学运算等数学素养，同 时关注化归与转化的思想方法 18解：（1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q， 数学试卷第 9 页 共 17页 由 12 2ab， 5 30S ， 4 2b 是 3 b与 5 b的等差中项， 521030d， 2d 1 分 则 22(1)2 n ann；2 分 1 2b q ， 435 2(2)bbb，3 分 即 324 111 2(2)bqbq

18、bq，4 分 1 1b ， 2q ，5 分 1 2n n b ； 6 分 （2）2 n n nn bban， 所以 23 1 22 23 2.2n n Tn ，7 分 2341 21 22 23 2.2n n Tn ， 8 分 两式相减可得 231 222.22 nn n Tn ，10 分 1 2(12 ) 2 12 n n n ， 11 分 化简得， 1 2(1) 2n n Tn 12 分 数学试卷第 10 页 共 17页 优网命题意图命题意图：本题考查了等差数列和等比数列基本量的运算，错位相减法求和的相关知识，考查 了方程和化归转化思想，考查了数学运算和逻辑推理的核心素养所 19解：（1）

19、证明： 面ADEF为矩形，ADEF， 且AD平面BCEF，EF 平面BCEF，1 分 AD平面BCEF，2 分 又AD 平面ABCD，平面ABCD 平面BCEFBC，3 分 ADBC4 分 （2）法一：（向量法） 面ADEF为矩形面，DEAD， 又面ADEF 面ABCD， 且面ADEF 面ABCDAD， DE 面ABCD， 5 分 由（1）知，ADBC .，又 90BCD， ADCD，6 分 DA，DE，DC两两垂直， 以DA，DE，DC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立图示空间直角坐标系，则(0,0,0)D， (1,0,0)A，(0,1,0)C，(0,0,2)E，(2,1,0)B， (1,0

20、,2)F7 分 ( 1,1,0)AC ，( 1,0,2)AE ，( 2,0,0)BC ，( 1, 1,2)BF ，8 分 设平面ACE与平面BCEF的法向量分别为 1111 ( ,)x y zn， 2222 (,)xy zn， 则 1 1 0, 0, AC n AE n 2 2 0, 0, BC n BF n 11 11 0 20 xy xz ， ， 2 222 20 20 x xyz ， ， 令 1 1z ，解得 1 ( 2, 2,1)n，9 分 令 2 1z ，解得 2 (0, 2,1)n，10 分 于是 12 12 12 |2115 cos | |553 nn nn n n ，11 分

21、数学试卷第 11 页 共 17页 AC B F E D x y z F E A C B D M 所以平面BCEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为 15 5 12 分 法二：（几何法） 由（1）知，ADBC，ADDE，BCDE， 又90BCD ， BCCD，且CDDED，5 分 BC 平面CDE，且BC 平面BCEF， 平面BCEF 平面CDE 二面角ACEB与二面角ACED之和为 2 6 分 易知AD 平面CDE，ADCE 如图，在RtCDE中作DMCE，垂足为M，连接AM，7 分 ADDMD， CE 平面ADM，则AMCE，8 分 AMD即为平面ACE与平面ADE所成二面角的平面角 9分

22、 26 33 DE CD DM CE ， 22 15 3 AMADDM，10 分 则 15 sin 5 AD AMD AM 11 分 即平面BCEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为 15 5 12 分 法三：（构造空间角） 如图，取BC中点G，连接AG，FG， 数学试卷第 12 页 共 17页 则由（1）可知CGADEF，CGADEF且AD 平面CDE， 多面体AGFDCE是直三棱柱5 分 如图在RtAFG中作ANFG，垂足为N，6 分 作MNCG，交CE于点M，连接AM，7 分 则MNCE，ANCE， 且MNANN， CE 平面AMN，则AMCE，8 分 所以，AMN即为平面ACE与平面

23、CDE所成二面角的平面角9 分 26 33 AF AG AN FG ， 22 15 3 AMANMN，10 分 15 cos 5 MN AMN AM 11 分 所以平面BCEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为 15 5 12 分 命题意图：命题意图：本题是以五面体为载体，以长方体切割为背景，以空间几何体的结构，线线、线 面平行的判定与性质，线面、面面垂直的判定与性质，空间角的构造与计算等核心知识为问题，重 点考查综合几何法和向量法解决空间几何 问题的基本能力，和直观想象、逻辑推理与数学运算等 数学素养，同时关注方程思想和化归与转化的思想，体现一题多解的策略，更体现开放大气的命题 情怀 20

24、解：（1）结合频率分布表可以得到54m ，0.352n ， 0.19 0.038. 5 a 3 分 （2）抽取这 1000 件产品质量指标值的样本平均数x为： 5 0.00210 0.05415 0.10620 0.14925 0.35230 0.19035 0.140 0.04725x ， 6 分 （3）因为52.67.25，由（2）知(25 52.6)ZN，8 分 从而10.5039.50252 7.25252 7.250.9544PZPZ ， F E A C B D M N G 数学试卷第 13 页 共 17页 设Y为随机抽取 20 件产品质量指标值位于(10.50 39.50)，之外的

25、件数. 依题意知(20 0.0456)YB，所以200.04560.912EY ，10 分 所以10010200.954499.68.EXEY 答：该企业从一天生产的产品中随机抽取 20 件产品的利润为99.68. 12 分 命题意图命题意图：本题涉及频率分布直方图、频率分布表、正态分布，二项分布，随机变量分布列等 知识，主要考查学生数据分析、数学运算、逻辑推理等能力. 21解法一：（1）点P在椭圆上且24a ，2a，1 分 又椭圆离心率为 3 2 ， 3c ， 2 分 由 222 abc解得 2 1b 3 分 椭圆的标准方程为： 2 2 1 4 x y4 分 （2）点A在椭圆上， 2 20

26、0 1 4 x y，即 22 00 44xy， 5 分 设经过点A的直线方程为： 00 ()yyk xx， 可得 0 0 (,0) y M x k ， 00 (0,)Nykx 2ANMA ， 0 0 2y x k 即 0 0 2y k x 直线MN斜率为 0 0 2y k x ， BDl，BD方程为 0 0 2y yx x ，6 分 即 00 20y xx y， 联立 0 0 2 2 2 1 4 y yx x x y ， 数学试卷第 14 页 共 17页 解得 2 20 22 00 4 16 x x xy ， 0 22 00 2| | 16 x x xy ， 2 00 2 2222 0 000

27、0 42|8 | 2 1 1616 yx BD x xyxy ， 7 分 点A到直线BD的距离为 000000 22 00 |2|3| 2 4 y xx yx y d yx ，8 分 00 22 00 22 00 6 1 2116 16 6 ABCD x y SBD d xy yx ， 9 分 222 2000 0 222222 000000 16116116 ()()59 44 xxy y yxyxyx ， 10 分 22 00 22 00 1166 302 116yx yx ， 2 ABD S ，11 分 三角形ABD面积的最大值为2， 当且仅当 2 0 2 0 2 4 x y ， 即 0

28、 8 3 x 时， 等号成立12 分 解法二：（1）同解法一 （2）设( ,0)M m，(0, )Nn，则 0 0 2 3 3 m x n y ， 00 (,)A xy满足曲线 2 20 0 1 4 x x上，则 22 2 4( )4 33 mn （）， 化简得， 22 9mn5 分 直线的l方程为1 xy mn ，即 :0l nxmymn ， 数学试卷第 15 页 共 17页 原点到(0,0)直线l的距离为 22 |mn d mn ， 6 分 易得直线的m方程为0nxmy ，设 11 (,)B x y ， 22 (,)D xy ， 联立方程组： 22 0 44 nxmy xy ，化简得 22

29、22 (4)40mnxm ， 则 22 1212 |1()()4 n BDxxx x m 222 222 16 4 mnm mmn 22 22 4 4 mn mn ， 7 分 22 2222 11 4| | 22 4 ABC mnmn SBD d mnmn 22 22 22 22 2|1 22 14 4 4 mnm n mn mn nm ， 8 分 又 22 2222 14114 ()() 9 mn nmnm 9 分 2222 2222 1414 (5)(52)1 99 mnmn nmnm ， 10 分 2 ABD S ， 三角形ABD面积的最大值为2，11 分 当且仅当 22 2mn时， 2

30、 0 2 0 2 4 x y ，即 0 8 3 x 时，等号成立12 分 命题意图：命题意图：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，基本不等式的应 用，考查了数形结合的方法和化归思想，考查学生直观想象和数学运算的核心素养 22 解法一： （1） 当0a时， 2 1 e (24) 2 x fxxx，1 分 数学试卷第 16 页 共 17页 令 0fx，得15 x， 由 0fx，得1515 x， 由 0fx，得15 x或 15 x，3 分 所以 f x在(,15)上单调递减， 在(15,15)上单调递增，在(15,)上单调递减 4 分 （2）由当2x时，( )0f x ，得 2

31、1(1) 20 2ex a x xx ， 记 2 1(1) ( )2 2e x a x g xxx，则 e ( )(2) e x x a g xx，5 分 当0a时，则( )0g x，可知( )g x在(,2)上单调递增，且 5 ( 1)2 e0 2 ga ， 不满足当2x时，( )0f x ，舍 去；7 分 当 2 0ea时，令 0gx，得 1 2x， 2 lnxa， 因为ln2a，所以当lnxa时，( )0g x，当ln2ax时，( )0g x， 故( )g x在(,ln )a上单调递减，在(ln ,2)a上单调递增， 所以 2 min 1 ( )(ln )(ln )ln10 2 g xg

32、aaa ，解得 1313 eea ， 因为 132 ee ，所以 132 eea ；9 分 当 2 ea时，则ln2a，此时当2x时，( )0g x，故( )g x在(,2上单调递减， 所以 min 2 ( )(2)20 e a g xg，解得 2 2ea，所以 22 e2ea；11 分 综上所述，a的取值范围是 132 e,2e .12 分 解法二：（1）同解法一 数学试卷第 17 页 共 17页 （2）由当2x时，( )0f x ，得 2 1(1) 20 2ex a x xx ， 记 2 1(1) ( )2 2e x a x g xxx，则 e ( )(2) e x x a g xx，5

33、分 由 2 (2)20 e a g，得 2 2ea，由 5 ( 1)2 e0 2 ga ，得 2 5 2e 4e a；7 分 当 2 5 2e 4e a 时，令 0gx，得 1 2x， 2 lnxa， 因为ln2a，所以当lnxa时，( )0g x，当ln2ax时，( )0g x， 故( )g x在(,ln )a上单调递减，在(ln ,2)a上单调递增， 所以 2 min 1 ( )(ln )(ln )ln10 2 g xgaaa，解得 1313 eea ， 因为 13 5 e 4e ， 132.732ln222 eeee2e ，所以 132 e2ea ；10 分 当 2 2ea时，ln2a，此时当2x时，( )0g x，故( )g x在(,2上单调递减， 所以 min 2 ( )(2)20 e a g xg，解得 2 2ea，所以 2 2ea；11 分 综上所述，a的取值范围是 132 e,2e .12 分 命题意图命题意图：本题以基本初等函数的单调性问题、最值和不等式证明为载体，考查学生利用导数 分析、解决问题的能力，考查学生分类讨论和化归转化的数学思想，考查逻辑推理、数学运算等核 心素养，具有较强的综合性.