五年级上册数学教案-第7单元在一条线段上植树-人教版.docx

1、第 7 单元数学广角植树问题 本单元的主要教学内容包括:在一条线段上植树(两端都栽)、 在一条线段上植 树(两端都不栽)、在一条首尾相接的封闭曲线上植树。 本单元“数学广角”主要渗透有关植树问题的一些思想方法,通过现实生活中 一些常见的实际问题借助线段图等手段让学生从中发现一些规律,抽取出其中的 数学模型,然后用发现的规律来解决生活中的简单实际问题。 植树问题通常是指沿着一定的路线植树,这条路线的总长度被树平均分成若 干段(间隔),由于路线的不同,植树要求的不同,路线被分成的段数(间隔数)和植树 的棵数之间的关系也就不同。在现实生活中类似的问题还有很多,比如公路两旁 安装路灯、花坛摆花、锯木头

2、等,这些问题中都隐藏着总数和间隔数之间的关系。 在植树问题中“植树”的路线可以是一条线段,也可以是一条首尾相接的封闭 曲线,如圆形。 即使是关于最基本的一条线段上的植树问题,也可能有不同的情况。 如两端都要栽,一端栽而另一端不栽,两端都不栽。而在封闭曲线上的植树问题可 以转化成在一条线段上的植树问题中的“一端栽而另一端不栽”的情况。 本单元教材有如下特点: 1.题材更加丰富。与原教材相比,本次修订后的“植树问题”新增了一些生活中 的植树问题。 2.突出线段图的教学,帮助学生直观理解植树问题的数学模型。 3.注重培养学生的数学思维能力和解决问题的实践能力。 1.利用学生熟悉的生活情境,通过动手操

3、作的实践活动,让学生发现间隔数与 植树棵数之间的关系。 2.通过观察、操作及交流活动,探索并认识植树问题中的简单规律,并能将这 种规律应用到解决类似的实际问题之中。 渗透数形结合的思想,培养学生借助图形解决问题的意识。 能够借助图形,利用规律来解决简单的植树问题。 1.让学生在积极参与的过程中获得成功的体验,在学会与人分享的过程中体 验学习数学的乐趣,同时也培养学生爱护环境的意识。 2.通过小组间的讨论探究,培养学生的合作意识,养成良好的交流习惯。 【重点】 能理解间隔数与棵数之间的关系并应用到生活中去。 【难点】 理解间隔数与棵数之间的规律,并能运用规律解决问题。 1.让学生经历和体验知识的

4、形成过程,感悟重要的数学思想和方法 “数学广角”的教学目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想。 具体到本单元教学时,应从实际问题入手,引导学生在解决问题的分析、思考过程 中逐步发现隐含于不同情形中的规律,经历抽取出数学模型的过程,体验数学思想 方法在解决实际问题中的应用。 2.强调画图的策略,引导学生有效地解决生活中的植树问题 标准(2011)把几何直观作为核心概念之一,并且指出:在日常教学中,在指 导学生学习数学过程中,帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。因此,在教学中 应引导学生用画图的方法解决植树问题。 如“公共汽车站” “架设电线杆” “锯木头”, 可以引导学生借助示意图或线

5、段图进行分析,在直观理解的基础上进行解答。 3.把握好教学的度 “数学广角”主要是通过简单的事例渗透一些重要的数学思想方法,因此,教学 时注意对例题不要过多的变式,或者提高问题的难度。 植树问题 本节课的内容是教材第 106 页例 1、第 107 页例 2 及第 108 页例 3。例 1 是关于一条线段上的植树问题并且两端都要栽树的情况,让学生在解决这个问题 的过程中发现规律,找到解决问题的有效方法,经历解决问题的过程。教材从具体 到抽象,从特殊到一般,呈现分析、思考、解决问题的全过程。例 2 是关于一条线 段上的植树问题的另一种情况,即两端都不栽树的情况。教材继续通过画线段图 的方法帮助学生

6、分析、理解,找出一般规律来解决例题提出的问题。例 3 是在一 条首尾相接封闭的曲线上植树的问题,进一步培养学生在解决实际问题中探索规 律,找出解决问题的有效方法,以及抽取数学模型的能力。和例 1、例 2 的编排类 似,教材呈现了四位同学探索解决问题的过程。启发学生联系已有的知识找出这 种植树问题的规律,并渗透转化的数学思想。 1.让学生经历由现实问题到构建数学模型的过程,理解并掌握在一条线段上 (两端都栽、两端都不栽)植树的一般方法及在一条首尾相接的封闭曲线上植树的 问题。 2.使学生能够初步建立植树问题的数学模型,能根据这个模型将生活中类似 的问题进行分类,并试着应用模型中间隔数与棵数的关系

7、来解决问题。 3.培养学生认真审题的良好学习习惯。 【重点】 能理解间隔数与棵数之间的关系并应用到生活中去。 【难点】 理解间隔数与棵数之间的关系并能运用规律解决问题。 第课时在一条线段上植树 1.理解在一条线段上植树(两端都栽)的情况下“棵数=间隔数+1”的关系。 2.能将植树问题推广到生活中的其他问题,会通过画线段图的方法来分析题 意。 【重点】 从实际问题中探索并总结棵数与间隔数之间的 关系。 【难点】 运用植树问题的思想方法解决生活中的实际问题。 【教师准备】PPT 课件。 【学生准备】练习本、彩笔。 1.用 PPT 课件出示:公路两旁的树。 师:人们为什么要在公路的两旁栽上树呢? 学

8、生可能会从下面几个方面进行回答: 预设 生 1:树木能够减少水分的流失。 生 2:树木能够美化环境,还能净化空气。 生 3:树木能够减少噪音。 师:同学们说得很好!植树造林有助于环境的改善,我们也要积极参与。 2.揭示课题:今天我们学习第七单元数学广角,就来研究有关植树的问题。(板 书课题:数学广角植树问题) 从学生熟悉的生活入手,在讨论为什么要植树的过程中,对学生渗透 植树造林的环保意识,同时自然地引入新课的学习。 1.激趣。 师:今天我们要学习第七单元数学广角(老师板书:数学广角),在上新课前,我 们先来猜一个谜语,好不好? 预设 生:好! 老师用 PPT 出示谜语:两棵小树十个杈,不长叶

9、子不开花,能写能算还能画,天 天干活不说话。(打一人体器官) 学生读谜语,思考后回答:两只手。 师:同学们最聪明!对,谜底就是我们的一双手。(老师伸出一只手)我们的一只 手有几根手指呀? 预设 生:5 根。 师:5 根手指之间有几个手指缝呢? 预设 生:4 个。 师:手指缝也就是手指间的间隔(板书:间隔),也就是一只手有5根手指,有4个 手指间隔。你在生活中还看见过哪些间隔呢? 2.理解“间隔”。 用 PPT 课件播放生活中的间隔:教室里课桌之间的间隔、学校里教学楼与教 学楼之间的间隔、运动会上彩旗之间的间隔、街道旁树木之间的间隔 利用最后一个画面:街道旁树木之间的间隔,用线段图展示间隔、间隔

10、数、间 隔点,使学生理解“间隔”的含义。 3.揭示课题。 街道两旁的树就是我们在植树节的时候种下的,植树问题中也有间隔。我们 今天就来研究植树问题。 (老师在“数学广角”后面接着板书课题:植树问题) 用学生喜闻乐见的猜谜语的形式导入课题,提高学生的学习兴趣,以 观察手指的间隔切入,直观、形象,使学生能够很好地理解“间隔”的含义。通过课 件播放生活中的间隔,使学生感受到生活中处处有数学,为学习植树问题打下了良 好的基础。 师:老师知道同学们喜欢猜谜语,也非常会猜谜语,今天老师让你们猜一个哑 谜。谜底是一个成语,同学们请注意看老师的动作。 请一位同学当助手,把一根绳子拉直,老师拿一把小刀把绳子切断

11、。 学生观察后回答:一刀两断。 老师画线段图表示: 师:如果切两刀可以切成几段? 学生可能有猜出 3 段、4 段的。 老师画线段图表示: 预设 生:切成 3 段。 师:切 3 刀呢?4 刀呢?请同学们先猜一猜,再自己画出线段图进行验证。 学生动手操作,画线段图进行验证。 师:通过验证,你们发现了什么规律? 学生思考,小组交流,指名回答。 预设 生 1:切成的段数=刀数+1。 生 2:刀数=段数-1。 师:同学们真棒!刚才研究的问题与我们学习的内容有着密切的关系。今天我 们学习第七单元数学广角。 (老师板书课题:数学广角植树问题) 通过学生感兴趣的活动导入新知的学习,并且在活动中为新知的学 习扫

12、除障碍。 一、两端都栽的情况下棵数与间隔数的关系。 1.用 PPT 出示教材第 106 页例 1。 同学们在全长 100 m 的小路一边植树,每隔 5 m 栽一棵(两端要栽)。一共要 栽多少棵树? (1)学生读题,理解题意,说出题中获得的信息。 预设 生 1:已知条件是:植树的小路的全长是 100 m,每隔 5 m 栽 1 棵,两端都 栽。 生 2:问题是:一共要栽多少棵树? (2)学生在小组内讨论:一共要栽多少棵树? 学生可能会列出算式:1005=20(棵),认为可以栽 20 棵树。 (老师根据学生回答板书:1005=20(棵) 老师指着算式问:对吗? 2.探索解题方法。 师:想办法验证一下

13、,但是 100 m 这个数字有点大,不好验证。在遇到比较复 杂的问题时,我们可以先用比较简单的例子来验证。 PPT 出示: 学生看图数一数,再回答:20 m 可以栽 5 棵。 师:从图中可以看出有205=4个间隔,由于从头到尾都要栽,所以可以栽的棵 数等于 4+1=5(棵)。 老师出示 PPT: 学生看图数一数,再回答:25 m 可以栽 6 棵。 师:怎样列式计算呢? 预设 生 1:255=5 个间隔,5+1=6(棵)。 生 2:255+1=6(棵)。 师:也可以用画图的方法试一试。 学生尝试画图,小组互相检查,指名回答,并根据学生回答用 PPT 显示:(如下 表) (表格里的内容根据学生回答

14、逐步出现) 师:你们发现了什么规律? 预设 生1:用植树的米数除以5等于有多少个间隔,间隔数加1才是植树的棵 数。 生 2:两端都栽树,植树的棵数比间隔数总是多 1。 (老师板书:两端都栽树时:植树棵数=间隔数+1) 老师指着前面列出的算式 1005=20 问:“20”表示什么? 预设 生:表示有 20 个间隔。 师:一共要栽多少棵树呢? 预设 生:20+1=21(棵)。 老师根据学生回答,完成板书: 1005=20(个),20+1=21(棵) 答:一共要栽 21 棵树。 老师小结:例 1 研究的是在一条线段上植树的问题。 (老师板书:在一条线段上 植树) 如果两端都要栽,那么植树棵数=间隔数

15、+1。 选择小一点的数据来操作,验证结果是否正确,把复杂的问题转化为 简单问题来研究,是一种非常有效的重要研究方法。 二、两端都不栽的情况下棵数与间隔数的关系。 1.用 PPT 出示教材第 107 页例 2。 大象馆和猴山相距 60 m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树(两端不栽),相 邻两棵树之间的距离是 3 m。一共要栽多少棵树? (1)学生读题,理解题意,说出题中获得的信息。 预设 生 1:已知条件是:小路全长 60 米,在两旁栽树,相邻两棵树相距 3 米,两 端都不栽。 生 2:问题是:一共要栽多少棵树? (2)画线段图分析。 学生独立画图分析,老师巡视,指导。 2.探究解题方法。 师:

16、你是怎样解答的? 预设 生 1:每隔 3 米栽 1 棵树,小路上会有 20 个间隔,两端都不栽时,棵数比 间隔数应该少 1。 生 2:603=20(个),20-1=19(棵),这是小路一边的植树棵数,192=38(棵)。 (老师根据学生回答板书)603=20(个) 20-1=19(棵)192=38(棵) 答:一共要栽 38 棵树。 老师引导学生讨论得出结论并板书:两端都不栽树时,植树棵数=间隔数-1。 在探究解题方法的时候,注意让学生通过画图的方法进行分析,理解 全长、棵数、间隔、间隔数之间的关系,培养学生分析问题的能力,掌握画图解决 问题的方法。 练习 1 1.教材第 107 页“做一做”第

17、 1 题。 学生读题,理解题意,老师引导学生分析。 学生独立解答,指名汇报,集体订正。 2.教材第 107 页“做一做”第 2 题。 学生读题,理解题意。 师:两端都栽时,棵数=间隔数+1,两端都不栽时,棵数=间隔数-1,那么一端栽而 另一端不栽时,棵数与间隔数有什么关系? 学生画图、思考、交流后回答。 预设 生:棵数=间隔数。 (老师根据学生回答板书:棵数=间隔数) 学生独立解答,全班评讲,订正。 【参考答案】1.2 km=2000 m(200050+1)2=82(盏)2.355=7(棵) 练习 2 完成相关习题。 师:这节课,我们研究的是什么问题?你有哪些收获? 预设 生 1:今天我们研究

18、了植树问题。 生 2:我知道了当两端都要植树时,棵数=间隔数+1;两端都不栽时,棵数=间隔 数-1;一端栽另一端不栽时,棵数=间隔数。 在练习中巩固新知,在练习中提升。 作业 1 教材第 109 页练习二十四第 1,3,4,5,6 题。 作业 2 完成相关习题。 数学广角植树问题 在一条线段上植树 例 1(两端都栽)1005=20(个)20+1=21(棵)棵数=间隔数+1 例 2(两端都不栽)603=20(个)20-1=19(棵)192=38(棵) 棵数=间隔数-1 “植树问题”是经典的奥数题,具有很高的数学思维含金量和很强的探究空间。 本节课教学的目的就是要通过学习活动让学生发现数学规律,建

19、立植树问题的数 学模型,理解“棵数”与“间隔数”之间的关系,从而发展学生的数学应用意识,培养学 生自主探索和合作学习的精神,掌握解决与植树问题相关的实际问题的方法。为 了达到这一目的,我通过猜谜语的活动导入新课的学习,激发学生的学习兴趣。在 教学例题的过程中,让学生通过用较小的数据,通过画图进行验证,发现植树问题 中的规律:棵数=间隔数+1(两端要栽);棵数=间隔数-1(两端不栽)。教学效果良好。 有少数学生对于画图进行分析的方法掌握欠佳,有些学生虽然能够通过操作 得出结果,但归纳、总结规律的能力不强,这些都有待于在今后的教学中提高。 本节课对于导入的设计、 例 1 的教学过程的设计花了一定的

20、心思,但对于例 2 的设计就有一些欠缺,一方面是怕教学时间不够,另一方面是对学生的能力估计不 足,再教时,例 2 的设计也要向例 1 一样,让学生画图、探究后,用表格的形式呈现 结果,这样学生归纳、总结规律会更顺畅。 两栋大楼之间相距160 m,现在要在两栋大楼的中间均匀地栽种39棵 小树,每两棵小树之间相距多少米? 名师点拨此题有不同的解法。解法一:因为是在两栋大楼之间栽树,所以 两端都不必栽,也就是在一条线段上植树,两端不栽的问题,因此栽树的棵数比间 隔数少 1。 从题中可知栽树 39 棵,则间隔数为 39+1=40(个),也就是把全长平均分 成了 40 段,求每段的长度,用除法计算。解法

21、二:如果加上两栋大楼,相当于在 160 m 长的路线上共栽树 39+2=41(棵),这样就变成了一条线段上植树,两端要栽的问 题,所以棵数比间隔数多 1,间隔数为 41-1=40(个),用全长除以间隔数等于两棵树 之间的距离。 解法一160(39+1)=4(m) 答:每两棵小树之间相距 4 m。 解法二160(39+2-1)=4(m) 答:每两棵小树之间相距 4 m。 【知识拓展】在一条线段上植树,如果两端要栽,间隔数=棵数-1;如果两端 不栽,间隔数=棵数+1。 田忌赛马 战国时期,齐威王与大将田忌赛马,二人各有三匹好马:上等马、中等马、下等 马。比赛分三次进行,赛马以千金作赌注。由于齐威王

22、的马分别比田忌的相应等 级的马要好,所以一般人都认为田忌必输无疑,但是田忌采用了孙膑的意见,用下 等马对齐威王的上等马,用上等马对齐威王的中等马,用中等马对齐威王的下等马, 结果田忌以 2 比 1 胜了齐威王而得千金。这是我国古代运用对策论思想解决问 题的一个范例。 有关植树的知识 植树的过程分为四步:挖坑、回填、栽植、覆土。 挖坑:挖坑的大小取决于树根的长、宽。深度一般在 50 cm 左右。 回填:树坑挖好后,在坑内先回填一部分熟土,一般情况下,回填的熟土厚 2030 cm。 栽植:放置树苗时根部要放正,枝要展开,栽树时,分三次填土。第一次填少许, 用力将土踩实,然后轻提树茎,以保证树根呼吸畅通。第二次填土后,再踩实。在第 三次填土后,尽量保证与坑面平齐,然后在坑面围一个大圆盘,便于日后浇水养护。 覆土:将水浇完,树苗栽好后,覆盖一层薄土,以保持水分。