（真题）2013年浙江省普通高中学业水平考试-数学-含答案.doc

1、2013 年浙江省普通高中学业水平考试 数学卷 选择题部分 一、选择题(共 25 小题，1-15 每小题 2 分，16-25 每小题 3 分，共 60 分。每小题中只有一个选项是 符合题意的。不选、多选、错选均不得分) 1已知集合1,2,3,4A ，2,4,6B ，则AB的元素个数是 (A)0 个(B)1 个(C)2 个(D)3 个 2 22 log 12log 3 (A)2(B)0(C) 1 2 (D)2 3若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 (A)圆锥(B)棱柱 (C)圆柱(D)棱锥 4函数R)( 3 2sin()(xxxf的最小正周期为 (A) 2 (B) (C)2(D)4 5直

2、线230 xy的斜率是 (A) 1 2 (B) 1 2 (C)2(D)2 6若1x 满足不等式 2 210axx ，则实数a的取值范围是 (A)( 3,)(B)(, 3) (C)(1,)(D)(,1) 7函数 3 ( )log (2)f xx的定义域是 (A)2,)(B)(2,)(C)(,2(D)(,2) 8圆 22 (1)3xy的圆心坐标和半径分别是 (A)( 1,0),3(B)(1,0),3(C)( 1,0),3(D)(1,0),3 9各项均为实数的等比数列 n a中， 1 1a ， 5 4a ，则 3 a (第 3 题图) (A)2(B)2 (C)2(D)2 10下列函数中，图象如右图的

3、函数可能是 (A) 3 yx(B)2xy (C)yx(D) 2 logyx 11已知aR，则“2a ”是“ 2 2aa”的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 12如果2 22 kyx表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 (A), 0(B)2 , 0(C), 1(D)1 , 0 13设x为实数，命题p：x R， 2 0 x ，则命题p的否定是 （A）p： 0 xR,0 2 0 x（B）p： 0 xR,0 2 0 x （C）p：x R, 2 0 x （D）p：x R, 2 0 x 14若函数( )(1)()f xxxa是偶函数，则实数a的

4、值为 (A)1(B)0(C)1(D)1 15在空间中，已知, a b是直线，, 是平面，且,/ /ab ，则, a b的位置关系是 (A)平行(B)相交(C)异面(D)平行或异面 16在ABC 中，三边长分别为cba,，且 30A， 45B，1a，则b的值是 (A) 2 1 (B) 2 2 (C)2(D) 2 6 17若平面向量, a b的夹角为60，且| 2|ab|，则 (A)()aba(B)()aba (C)()bba(D)()bba 18如图，在正方体 1111 DCBAABCD 中，E为 1 BC的中点，则DE与面 11B BCC所成角的正切值 为 (第 10 题图) C D 1 A

5、1 B 1 C 1 D E (A) 6 2 (B) 6 3 (C)2(D) 2 2 19函数 44 sincosyxx在 3 , 12 的最小值是 (A)1(B) 3 2 (C) 1 2 (D)1 20函数 1 ( )2xf x x 的零点所在的区间可能是 (A)(1,)(B) 1 ( ,1) 2 (C) 1 1 ( , ) 3 2 (D) 1 1 ( , ) 4 3 21已知数列 n a满足 12 1aa， 21 1 1 nn nn aa aa ，则 65 aa的值为 (A)0(B)18(C)96(D)600 22若双曲线 22 22 1 xy ab 的一条渐近线与直线310 xy 平行，则

6、此双曲线的离心率是 (A)3(B)2 2(C)3(D)10 23若将一个真命题 中的“平面”换成“直线” 、 “直线”换成“平面”后仍是真命题 ，则该命题称为 “可换命题” 下列四个命题： 垂直于同一平面的两直线平行； 垂直于同一平面的两平面平行； 平行于同一直线的两直线平行； 平行于同一平面的两直线平行 其中是“可换命题”的是 (A)(B)(C)(D) 24 用餐时客人要求： 将温度为10 C 、 质量为25. 0kg 的同规格的某种袋装饮料加热至CC 4030. 服务员将x袋该种饮料同时放入温度为80 C 、5 . 2kg 质量为的热水中，5分钟后立即取出设经过5分 钟加热后的饮料与水的温

7、度恰好相同， 此时， 1 mkg该饮料提高的温度 1 t C 与 2 mkg水降低的温度 2 t C 满足关系式 1122 0.8mtmt，则符合客人要求的x可以是 (A)4(B)10(C)16(D)22 25若满足条件 20, 20, 210 xy xy kxyk 的点( , )P x y构成三角形区域，则实数k的取值范围是 (A)(1,)(B)(0,1)(C)( 1,1)(D)(, 1)(1,) 非选择题部分 二、填空题(共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分) 26已知一个球的表面积为 4cm 3，则它的半径等于 cm 27已知平面向量(2,3)a，(1,)mb，且/ /ab，则实数

8、m的值为 28已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（23，0） ，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准 方程是 29数列 n a满足 ,1911,2 ,101 ,2 19 1 n n a n n n 则该数列从第 5 项到第 15 项的和为 30若不存在 整数x满足不等式 2 (4)(4)0kxkx，则实数k的取值范围是 三、解答题(共 4 小题，共 30 分) 31(本题 7 分) 已知, 5 4 sin), 2 (求cos及) 3 sin( 的值. 32 （本题 7 分，有 A、B 两题，任选其中一题完成， ） （A） 如图,在直三棱柱 111 ABCABC中,3AC ,4BC ,5AB

9、 ,点D是AB的中点. (1)求证: 1 ACBC; (2)求证: 1 AC平面 1 CDB. D A 1 B 1 C B A C 1 （第 33 题 A 图） （B）如图,在底面为直角梯形的四棱锥,/,BCADABCDP中,90ABC 平面PAABCD，32, 2, 3ABADPA,BC=6. (1)求证:;PACBD平面 (2)求二面角ABDP的大小. 33(本题 8 分) 如图，由半圆 22 1(0)xyy和部分抛物线 2 (1)ya x（0y ，0a ）合成 的曲线C称为“羽毛球形线” ，且曲线C经过点(2,3). （1）求a的值； （2）设(1,0)A,( 1,0)B ，过A且斜率为

10、k的直线 l与“羽毛球形线”相交于P,A,Q三点， 问是否存在实数k，使得QBAPBA ？ y x OAB P Q （第33题 若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由 34(本题 8 分) 已知函数 9 ( ) |f xxaa x ，1,6x，aR (1)若1a ，试判断并证明函数( )f x的单调性； (2)当(1,6)a时，求函数( )f x的最大值的表达式( )M a 参考答案 一、选择题(共 25 小题，1-15 每小题 2 分，16-25 每小题 3 分，共 60 分。) 题 号 123456789 1 0 1 1 1 2 1 3 答 案 CDCBABDDACADA 题 号 1 4

11、 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 答 案 ADCDCABCDCCA 二、填空题(共 10 分，填对一题给 2 分，答案形式不同的按实际情况给分) 26.127. 3 2 28. 22 1 164 xy 29. 150430.14k 三、解答题(共 30 分) 31.因为 4 (, ),sin 25 , 所以 2 3 cos1 sin 5 又因为 13 sin( +)sincos+cossincos +sin 33322 ， 所以 143443 3 sin( +)+ 3252510 （） 32. （A）证明: (1) 因为三棱柱 111 A

12、BCABC为直三棱柱, 所以 1 C C 平面ABC, 所以 1 C CAC. 又因为3AC ,4BC ,5AB , 所以 222 ACBCAB, 所以ACBC. 又 1 CCBCC, 所以AC 平面 11 CC B B, 所以 1 ACBC. (2) 令 1 BC与 1 CB的交点为E, 连结DE. 因为D是AB的中点,E为 1 BC的中点, 所以 DE 1 AC. 又 因为 1 AC 平面 1 CDB, DE 平面 1 CDB, 所以 1 AC平面 1 CDB. （B） （1）如图，建立空间直角坐标系，则(0 0 0)A ， ，(2 3 0 0)B， ，(2 3 6 0)C， ， (0 2

13、 0)D ， ，(0 0 3)P ， ，. 所以(0,0,3)AP ，(2 3 6 0)AC ， ，( 2 3 2 0)BD ， ， 所以0BD AP ，0BD AC 所以BDAP，BDAC， 又PAACA，BD面PAC （2）设平面ABD的法向量为(0 01)， ，m， 平面PBD的法向量为(1)xy， ，n， 则0BP n，0BD n， 所以 2 330, 2 320, x xy 解得 3 , 2 3 . 2 x y 于是 3 3 ,1 22 n 又cos m， 1 2 m n n m n , 所以二面角PBDA的大小为60 33解： （1）把点(2,3)代入 2 (1)ya x 得 2

14、3(21)a，所以1a （2）方法一:由题意得PQ方程为(1)yk x， 代入 2 1yx得 2 10 xkxk ， 所以1x 或1xk， 所以点Q的坐标为 2 (1,2 )kkk 又代入 22 1xy得 2222 (1)210kxk xk ， A E D P C B y z x 所以1x 或 2 2 1 1 k x k ， 所以点P的坐标为 2 22 12 (,) 11 kk kk 因为QBAPBA ， 所以 BPBQ kk ，即 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 k kk k kk k ，即 2 210kk ， 解得12k 又由题意 2 2 1 1 1 k k ，11k 即2k ，而

15、122， 因此存在实数12k ，使QBAPBA （2）方法二:由题意可知QBAPBA ，=90APB ， 则 90BAPQBA， 故1 QAQB kk 由题意可设 2 00 (,1)Q x x ，其中 0 0 x ， 则1 1 1 0 0 2 0 x x x kQB，1 1 1 0 0 2 0 x x x kQA， 所以11 2 0 xkk QAQB ，所以 0 2x 或 0 2x (舍去) 故12 QA kk， 因此存在实数12k ，使得QBAPBA 34(本题 8 分) (本题 8 分) (1)判断：若1a ，函数( )f x在1,6上是增函数. 证明：当1a 时， 9 ( )f xx x

16、 ， 在区间1,6上任意 12 ,x x，设 12 xx， 121212 1212 1212 12 9999 ()()()()()() ()(6) 0 f xf xxxxx xxxx xxx x x x 所以 12 ()()f xf x，即( )f x在1,6上是增函数. (2)因为(1,6)a，所以 9 2(),1, ( ) 9 ,6, axxa x f x xax x 当13a时，( )f x在1, a上是增函数，在 ,6a上也是增函数， 所以当6x 时，( )f x取得最大值为 9 2 ； 当36a时，( )f x在1,3上是增函数，在3, a上是减函数，在 ,6a上是 增函数， 而 9 (3)26,(6) 2 faf， 当 21 3 4 a时， 9 26 2 a，当6x 时，函数( )f x取最大值为 9 2 ； 当 21 6 4 a时， 9 26 2 a，当3x 时，函数( )f x取最大值为26a； 综上得， 921 ,1, 24 ( ) 21 26,6. 4 a M a aa 3134 题评分标准：按解答过程分步给分.能正确写出评分点相应步骤的给该步所注分值. 除本卷提供的参考答案外，其他正确解法根据本标准相应给分.