（真题）2013年北京市春季高中会考数学试卷.doc

1、20132013 年北京市春季普通高中会考年北京市春季普通高中会考 数学试卷数学试卷 第一部分选择题（每小题 3 分，共 60 分） 一、在每个小题给出的四个备选答案中一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的只有一个是符合题目要求的 1如果集合1,2A ，0Bx x，那么集合AB等于（） AB 1C 2D 1, 2 2不等式 2 20 xx的解集为（） A |2x x B |0 x x C |02xxD |0 x x 或2x 3已知向量( 2,3)a ，(1,5)b ，那么a b 等于（） A13B7C7D13 4如果直线3yx与直线1ymx 平行，那么m的值为（） A3B

2、 1 3 C 1 3 D3 5如果0a ，那么 1 1a a 的最小值是（） A2B3C4D5 6要得到函数2sin() 6 yx 的图象，只要将函数2sinyx的图象（） A向左平移 6 个单位B向右平移 6 个单位 C向左平移 3 个单位D向右平移 3 个单位 7在等差数列 n a中，已知 1 1a ， 5 25S ，那么 5 a等于（） A9B8C7D6 8在函数cosyx， 3 yx，exy ，lnyx中，奇函数是（） AcosyxB 3 yxCexy Dlnyx 9 11 cos 6 的值为（） A 3 2 B 2 2 C 2 2 D 3 2 10函数sin2cos2 ()yxx x

3、 R的最小正周期是（） A 2 BCD 11已知函数( )(0,1) x f xaaa在区间0,1上最大值是2，那么a等于（） A 1 4 B 1 2 C2D4 12在ABC中，60A，2 3AC ，3 2BC ，则角B等于（） A45B30或60C135D45或135 13口袋中装有4个大小、材质完全相同的小球，球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色，从口袋 中随机摸出2个小球，摸到红色小球和白色小球的概率是（） A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 14为了解决某学校门前公路的交通状况，从行驶过的汽车中随机抽取200辆进行统计分析，绘 制出关于它们车速的频率分布直方图（如图所示）

4、，那么车速在60,70)区间的汽车大约有（） A20B40C60D80 15已知平面、，直线a、b，下面的四个命题 /a b a b； a b /a b； a bab ；/ / a ba b 中， 所有正确命题的序号是（） ABCD 16当x，y满足条件0 230 xy y xy 时，目标函数3zxy的最大值是（） A1B1.5C4D9 17针对2020年全面建成小康社会的宏伟目标，十八大报告中首次提出“实现国内生产总值和城 乡居民人均收入比2010年翻一番”的新指标按照这一指标，城乡居民人均收入在这十年间平均增长 率x应满足的关系式是（） A1 102xB10(1)2xC 10 (1)2xD

5、 10 (1)2x 18一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（） A12B18C24D36 19将长度为1米的绳任意剪成两段，其中一段的长度小于0.4米的概率是（） A1B0.8C0.6D0.5 20记时钟的时针、分针分别为OA、OB（O为两针的旋转中心） 从12点整开始计时， 经过m分钟，OA OB 的值第一次达到最小时，那么m的值是（） A30B 360 11 C31D 2 11 第二部分非选择题（共 40 分） 二二、填空题填空题（共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分） 21计算 1 3 1 ( )log 1 2 的结果为 22已知圆:C 22 (1)(1)1xy，

6、那么圆心C到坐标原点O的距离是 23某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S的值为 24已知数列 n a是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果 1 1a ，16 n a ，那么nd的最 小值为 三三、解答题解答题（共 4 个小题，共 28 分） 25 （本小题满分 7 分） 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E是棱 1 CC的中点 （）证明： 1/ AC平面BDE； （）证明： 1 ACBD 26 （本小题满分 7 分） 在平面直角坐标系xOy中，角，0 2 ， 2 的顶点与原点O重合，始边与x轴的正 半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为 5

7、 13 ， 3 5 （）求tan的值； （）求AOB的面积 27 （本小题满分 7 分） 已知圆 222 :5(0)C xymm，直线l过点,0Mm且与圆C相交于A，B两点 （）如果直线l的斜率为1，且| 6AB ，求m的值； （）设直线l与y轴交于点P，如果| 2|PAPM ，求直线l的斜率 28 （本小题满分 7 分） 已知函数 2 ( )f xaxbxc满足：( )f x的一个零点为2；( )f x的最大值为1； 对任意实数x都有(1)(1)f xfx （）求a，b，c的值； （）设函数 , ( ), x xA g x f x xB 是定义域为(0,1)的单调增函数，且 0 01x x

8、当 0 xB时，证明：xB 数学试卷数学试卷参考答案 一、在每个小题给出的四个备选答案中一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的只有一个是符合题目要求的 1 【答案】C 【解析】由于集合 1, 2A ， |0Bx x，因此 2AB ，故选 C 2 【答案】C 【解析】令 2 20 xx，解得0 x 或2x ，因此不等式 2 20 xx的解集为 |02xx，故选 C 3 【答案】D 【解析】根据向量的坐标运算 1212 213 513a bx xy y ，故选 D 4 【答案】A 【解析】根据两条直线平行的条件可知，3m ，得3m ，故选 A 5 【答案】B 【解析】根据题意

9、，求 1 1a a 的最小值可应用均值不等式，则 11 1132aa aa ，当且仅当 1 a a ，即1a 时等号成立，故选 B 6 【答案】A 【解析】根据图象平移左加右减的原理，要得到函数2sin() 6 yx 的图象， 只要将函数2sinyx的图象向左平移 6 个单位，故选 A 7 【答案】A 【解析】由等差数列前n和 n S的计算公式 1 2 n n n aa S ， 知 15 5 5 2 aa S ，解得 5 9a ，故选 A 8 【答案】B 【解析】对于 A，定义域为R， coscosfxxxf x，是偶函数； 对于 B，定义域为R， 3 3 fxxxf x ，是奇函数； 对于

10、C，定义域R， x fxef x ，因此是非奇非偶函数； 对于 D，定义域0,，不关于原点对称，因此是非奇非偶函数，故选 B 9 【答案】D 【解析】根据诱导公式， 113 coscos 2cos 6662 ，故选 D 10 【答案】B 【解析】根据辅助角公式， 22 sin2cos22sin2cos22sin 2 224 yxxxxx ， 最小正周期 2 2 T ，故选 B 11 【答案】C 【解析】当01a时，函数( ) x f xa是减函数， 那么当0 x 时，取得最大值 0 12a ，不符合题意； 当1a 时，函数( ) x f xa是增函数， 那么当1x 时，取得最大值 1 2a ，

11、即2a ，故选 C 12 【答案】A 【解析】根据正弦定理：2 sinsinsin abc R ABC ，可得 3 22 3 sin60sin B ，即 2 sin 2 B ， 那么 4 B 或 3 4 B ，因为ACBC，所以AB，所以 4 B ，故选 A 13 【答案】A 【解析】根据题意符合古典概型的条件，基本事件空间（红色，黄色） ， （红色，蓝色） ， （红色， 白色） ， （黄色，蓝色） ， （黄色，白色） ， （蓝色，白色）基本事件总数为6，摸到红色小球和白色小球 的事件为（红色，白色），事件数为1，摸到红色小球和白色小球的概率是 1 6 ，故选 A 14 【答案】D 【解析】根

12、据频率分布直方图可知，车速在60,70)区间的概率为0.04 100.4， 车辆数为：2000.480，故选 D 15 【答案】A 【解析】若两条直线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面正确； 若两条都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，正确； 若两个面垂直，两个面内的直线不一定互相垂直，错误； 若两个平面平行，两个面内的直线平行或异面，错误，故选 A 16 【答案】C 【解析】根据题意，不等式组表示的平面区域如图所示， 由图可知， 当过点1,1时，z取得最大值4， 故选 C 17 【答案】C 【解析】根据题意可知，设原收入为0a a ，则十年后为2a，因此 10 (1)

13、2axa， 即 10 (1)2x，故选 C 18 【答案】B 【解析】由三视图可知该空间几何体的直观图为横着放的直三棱柱， 1 43 318 2 VS h ，故选 B 19 【答案】B 【解析】根据题意，符合几何概型的条件，因此将概率转化为长度的比，那么长度小于0.4米的 概率是 20.4 0.8 1 ，故选 B 20 【答案】B 【解析】因为cos,OA OBOAOBOA OB ， 所以要使OA OB 的值第一次达到最小时， 对应的夹角cos,180OA OB ， 因为时针一分钟转的角度为： 1 3600.5 1260 ， 分针一分钟旋转的角度为： 1 3606 60 ， 经过m分钟后，有6

14、0.5180mm， 即5.5180m ，解得 360 11 m ，故选 B 第二部分第二部分非选择题非选择题（共 40 分） 二二、填空题填空题（共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分） 21 【答案】2 【解析】根据指数与对数的运算法则， 1 3 1 ( )log 1202 2 ，故答案为：2 22 【答案】2 【解析】由题知，圆心1, 1C，因此圆心C到坐标原点O的距离2d ，故答案为：2 23 【答案】31 【解析】第一次循环，当1i 时， 1 123S ； 第二次循环，当2i 时， 2 327S ； 第三次循环，当3i 时， 3 7215S ； 第四次循环，当4i 时， 4 15

15、231S ； 当5i 时，循环结束，输出S的值为31，故答案为31 24 【答案】9 【解析】根据等差数列的通项公式 1 1 n aand，且各项均为正整数， 即1151 153 5nd ，只有当13n ，5d 或15n ，3d 解得4n ，5d 或6n ，3d ，nd有最小值9，故答案为：9 三三、解答题解答题（共 4 个小题，共 28 分） 25证明： （）连接AC交BD于O，连接OE， 因为ABCD是正方形，所以O为AC的中点， 因为E是棱 1 CC的中点，所以 1/ ACOE 又因为 1 AC 平面BDE，OE 平面BDE， 所以 1/ AC平面BDE （）因为ABCD是正方形，所以A

16、CBD 因为 1 CC 平面ABCD，且BD 平面ABCD， 所以 1 CCBD 又因为 1 CCACC， 所以BD 平面 1 ACC 又因为 1 AC 平面 1 ACC， 所以 1 ACBD 26解： （）因为在单位圆中，B点的纵坐标为 3 5 ， 所以 3 sin 5 ，因为 2 ， 所以 4 cos 5 ，所以 sin3 tan cos4 （）因为在单位圆中，A点的纵坐标为 5 13 ，所以 5 sin 13 因为0 2 ，所以 12 cos 13 由（）得 3 sin 5 ， 4 cos 5 ， 所以 56 sinsin()sincoscossin 65 AOB 又因为1OA ，1OB

17、 ， 所以AOB的面积 128 | |sin 265 SOAOBAOB 27解： （）由已知，直线l的方程为yxm，圆心0,0到l直线的为 | 2 m 因为6AB ，所以 22 | 5()9 2 m m ，解得 2 2m 由0m ，得2m （）设 11 ,A x y，直线l：()yk xm，则点0,Pkm 因为| 2|PAPM ，所以2PAPM 或2PAPM ， 当2PAPM 时， 11 ( ,)2(,)x ykmmkm， 所以 1 2xm ， 1 ykm 由方程组 222 11 1 1 5 2 xym xm ykm ，得1k 当2PAPM 时， 11 ( ,)2(,)x ykmmkm ， 所

18、以 1 2xm， 1 3ykm 由方程组 222 11 1 1 5 2 3 xym xm ykm 得 1 3 k 综上，直线l的斜率为1， 1 3 28 解： （）因为( )f x的一个零点为2，所以(2)0f，即420abc 又因为对任意x都有(1)(1)f xfx，所以(0)(2)0ff，即0c 因为( )f x的最大值为1，所以 2 4 1 4 acb a ，所以1,2ab （）由（）可知， 2 ( )2f xxx 因为 0 xB，所以 2 000 ()2g xxx 因为 0 01x，所以 00 ()1xg x 因为( )g x是单调递增函数，所以 2 000 ,2xxxB 记 2 100 2(0,1)xxx ， 2 211 2xxx ， 2 11 2 nnn xxx ， 所以 01 ,x xB同理 12 ,x xB， 1 , nn xxB ， 由 2 11 2 nnn xxx ，得 22 111 112(1) nnnn xxxx 所以 2 222 120 1(1)(1)(1) n nnn xxxx 由于 0 1x x ，可取自然数 0 2(1) log log1 xx nx （）， 于是 x n xx ，即 0 , x n xx x 而且 0 , x n xx xB ，所以xB