人教版数学6年级上册详细教案：第8单元数与形.docx

1、第 8 单元数学广角 数与形 数与形 是本册教材第 8 单元 数学广角 的内容。 它是教材新增的内容。 数形结合是一种非常重要的思想,把数与形结合起来解决问题,可使复杂的问题变 得更简单,使抽象的问题变得更直观。小学低年级学生就已经接触过数的规律,例 如数的递增、递减等。图形的变化规律也早已接触过,生活中的例子比比皆是。 形的问题中包含着数的规律,数的问题也可以用形来帮助解决,教学时,可让学生 通过解决问题体会到数与形的这种完美结合。既可以从数的角度出发,让学生看 看可以怎样用图形来表示数的规律,也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。 通过数与形的对应关系,互相印证结果,感受数学的魅力。 现

2、在教材作为例题编写, 其意图是让学生通过数与形的对照,探究发现图形中隐藏的数的规律,进一步体会 数与形之间的内在联系,感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性,并能把 数形结合的思想迁移到解决其他一些实际问题中去,帮助学生积累经验。 学生通过自主探究发现图形中隐藏着数的规律,并会应用所发现的规律。会 利用图形解决一些有关数的问题。 使学生在解决数学问题的过程中,体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等 基本的数学思想。 使学生会利用图形解决一些有关数的问题。 在解决问题的过程中感受数学的魅力,培养学生探索数学的兴趣,积累数学活 动经验。 【重点】 理解分数乘法的意义,理解和掌握分数乘法的计算方法

3、,会进行分数乘法的计 算和简便计算。 【难点】 理解分数乘法的算理。 1.数形结合的例子在小学数学教材中很多,在教学中让学生通过想一想、摆 一摆、算一算、议一议,发现图形中隐藏的数的规律,并且能用发现的规律来解决 一些有关数的问题。 2.让学生在解决数学问题的过程中,体会和掌握数形结合、归纳推理的数学 思想,培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。 3.在教学中,借助直观的模型帮助学生理解,利用图形来直观地解释一些比较 抽象的数学原理与事实。 4.在练习中,让学生利用数形对照,观察图的变化规律,并探究数的变化规律, 体验数与形的对应关系,互相印证结果,感受数学的魅力。 数与形 本课时的内容有求

4、 1,3,5,7之和与正方形个数的关系及求 1 2, 1 4, 1 8, 1 16, 1 32, 1 64之和两个层次。数与形的例子,学生已经接触过很多,有的是图形 中隐含着数的规律,可利用这些规律来解决问题,有的是利用图形来直观解释比较 抽象的数学原理和事实。教材中的第一层次就是通过数与形的对照,利用图形直 观形象的特点表示出数的规律。第二层次是借助图形解决一些比较抽象的、复杂 的、不好理解的问题。教师要引导学生在利用数与形结合解决问题的过程中,积 累基本的活动经验,培养推理、极限等基本的数学思想。 1.通过观察和分析发现图形与数之间的对应关 系,以及图形中隐藏着的数的变化规律,感受数学学习

5、的意义。 2.能够从图形有规律的变化中抽象出数学模型,学会用数形结合、归纳推理 等方法解决一些有关数的问题。 3.在解决问题的过程中感受数学的魅力,培养学生探索数学的兴趣,积累数学 活动经验。 【重点】 用“数形结合”的方法探索规律、解决问题。 【难点】 明确数与形的对应关系,体会数形结合思想。 【教师准备】PPT 课件和实物展台 【学生准备】不同颜色的小正方形若干 1.猜谜语:四四又方方,口袋经常放,擦手擦汗时,请它来帮忙。(打一常用物) 谜底:手帕。 2.你能很快算出下面这些图中小正方形的总个数吗?说说你的想法。(课件出 示) 借助图形不仅能够让我们发现很多的计算方法和规律,还能帮助我们解

6、决很 多的实际问题,这节课我们继续应用这种数形结合的方法来研究更为复杂的数学 计算。(板书课题:数与形) 由学生熟悉的物品导入,既能巩固学生对正方形的认识,也能用猜谜 语的形式吸引学生的注意力,对下面的学习起到抛砖引玉的作用。 师:老师知道你们喜欢玩拼图游戏,今天我们就来玩一玩。但是,老师有要求, 你们边玩边要发现里面所蕴藏的数学知识。也就是说,我们要会玩。(板书课题: 数与形) 从学生最感兴趣的事入手,学生更容易进入状态。 一、教学例 1 1.师:我们要用这些小正方形摆出不同大小的正方形,怎么摆? 2.动手操作:学生分组摆三个大小不同的正方形,对比观察三个图形。(板书三 个大小不同的正方形)

7、 师:请同学们思考,使用小正方形的个数有怎样的变化?你能用算式表示出这 种变化吗? 3.小组学生交流并汇报,引导学生根据图形抽象出算式。 预设 生 1:1=1,1+3=4,1+3+5=9。 生 2:1=12,4=22,9=32。 生 3:1=12,1+3=22,1+3+5=32。(板书) 4.师:观察这些算式,能从中发现什么规律?可以小组交流讨论。 预设 生:等式的左边是连续的几个奇数相加,右边是奇数个数的平方。 师:概括的能力不错! 5.归纳小结,概括规律。 从 1 开始几个连续奇数相加,和即是奇数个数的平方。(板书) 6.验证规律,巩固练习。 师:同学们,老师想考考你们,你们能用刚才发现的

8、规律直接写一写吗?(课件 出示) 1+3+5+7=()2 1+3+5+7+9+11+13=()2 ()=92 【参考答案】471+3+5+7+9+11+13+15+17 二、教学例 2 1.课件出示例 2 算式: 1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ 1 64+ 师:观察这个算式,说说你发现了什么。 预设 生 1:分子都是 1,分母依次乘 2。 生 2:后面每个数都是前一个数的1 2。 师:算式中的省略号表示什么意思? 预设 生:表示按这个规律,后面还有无数个数相加。 师:看来要计算出结果很难,准备怎样计算这道题呢? (学生尝试计算并交流) 2.学生汇报,教师引导。 1 2+

9、1 4= 3 4, 3 4+ 1 8= 7 8, 7 8+ 1 16= 15 16(板书算式) 师:观察上面的几个得数,说一说你有什么发现。 预设 生:我发现等号右边的分数的分子与分母相差 1。 师:不计算,你能直接根据规律说出后面的得数吗? 31 32, 63 64, 127 128(板书得数) 师:如果一直这样加下去,最后的得数是多少? 预设 生 1:一个一个加下去,等号右边的分数越来越接近 1。 生 2:如果最后一个加数用1 n表示,那么结果会是 n-1 n 。 生 3:和为 1 减去最后一个加数。 3.画图分析。(教师演示画图,并板书) 用一个圆表示“1”,先取它的一半表示它的1 2,

10、再取剩下部分的一半就是这个圆 的1 4,接着又取剩下部分的一半就是这个圆的 1 8,这样取得的分数不断加下去,结果 越来越接近整圆,即为“1”。 4.你能像老师这样,用其他的图形来表示吗? 学生独立画图表示,小组内交流。 投影展示部分学生的图形。(板书线段图) 5.得出结论。 1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ 1 64+=1 通过这道题的讲解,我们知道有些问题通过画图,解决起来更直观。 预设 生:我还是有点不理解,最后怎么是等于 1。 师:你是不是总觉得差那么一点点的,其实它是无限的。我们反过来思 考:1=1 2+ 1 2= 1 2+ 1 4+ 1 4= 1 2+ 1 4+

11、 1 8+ 1 8= 1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 16+ 练习 1 教材第 108 页“做一做”第 1,2 题。 (1)第 1 题。 学生独立完成,集体订正。指定学生说一说计算的方法。 预设 生:要把每一个算式分成两部分来看,比如:1+3+5+7+5+3+1,就分成 “1+3+5+7”和“5+3+1”这两部分,因为 1+3+5+7=42,5+3+1=32,所以 1+3+5+7+5+3+1=42+32。 (2)第 2 题。 根据题目要求数一数完成填空。 数形结合观察,你能从中发现什么变化规律? 预设 生 1:后一个图都比前一个图增加 1 个红色小正方形,2 个蓝色小正方形。 生

12、 2:红色小正方形个数2+6=蓝色小正方形个数 【参考答案】(教材第 108 页“做一做”)1.1+3+5+7+5+3+1=42+32=25 1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=72+62=852.第 6 个图形有 6 个红色小正 方形和 18 个蓝色小正方形第 10 个图形有 10 个红色小正方形和 26 个蓝色小 正方形 练习 2 完成相关习题。 师:通过这节课的学习,你有什么收获?你还有什么疑问? 预设 生:我们可以用数形结合来思考问题,这样更直观、更清楚明白。 作业 1 教材第 109 页练习二十二第 1,2,3 题。 作业 2 完成相关习题。 数与形 1=121

13、+3=221+3+5=32 从 1 开始几个连续奇数相加,和即是奇数个数的平方。 1 2+ 1 4= 3 4, 3 4+ 1 8= 7 8, 7 8+ 1 16= 15 16 31 32, 63 64, 127 128 1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ 1 64+=1 教学中,把学生放在主体地位,让学生进行操作活动,通过摆,再联系到数,把数 和形结合起来发现规律。这里的发现过程也是由学生自己和小组讨论交流所得, 有利于学生对规律的理解和掌握,为运用规律解决问题做好铺垫。对 1 2, 1 4, 1 8, 1 16, 1 32, 1 64之和的计算,由引导,再放手让学生进行画图

14、活动,以巩固对极限 思想的了解。在对极限思想的理解中,应从正反两个方面加以引导和解释。 在对极限思想的理解上,没有引导好,致使学生还存在疑问。 再教时,要把握住极限思想的核心,并且在教学中尽量让学生去讨论交流,发 现和理解极限思想。 鸡兔同笼,从上面看, 共有 10 个头,从下面看,共有 26 只脚,鸡、 兔各有 几只? 名师点拨我们可用表示头,画 10 个,用“|”表示脚。假设一声令下,笼子 里的鸡都不动,所有的兔子都表演“双脚拱月”,即变成了鸡,如下图。 从图中看出:10 只鸡应该有 210=20 只脚,而题中已知共有 26 只脚,显然少 了 26-20=6 只脚。由于每只兔子有两只脚不落

15、地,就是一只鸡比一只兔少 2 只脚, 那么几只兔少算了 6 只脚呢?62=3(只),所以应在 3 只鸡的图上画上两只脚,使它 们变成兔子。如下图。 从图中可以看出,笼中有 3 只兔,7 只鸡。 解答假设全是鸡:102=20(只),26-20=6(只)。 兔:6(4-2)=3(只),鸡:10-3=7(只)。 答:鸡有 7 只,兔有 3 只。 【知识拓展】有些应用题,要求两个或两个以上的未知量,思考时可以假设 所求的未知量是同一种量,然后按“假设”进行推算,并对照已知条件把其中的矛盾 加以分析,寻求突破点。像这类问题都可以用“鸡兔同笼”的方法求解。 数形结合 我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合

16、”百般好,割裂分家万事非。 “数”与“形” 反映了事物两个方面的属性。 作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致可分为两种情形,或借助数的精 确性来阐明形的某些属性,或借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系,即数形 结合包括两个方面:第一种情形是“以数解形”,而第二种情形是“以形助数”。“以数 解形”就是有些图形太过于简单,直接观察却看不出什么规律,这时就需要给图形 赋值,如边长、角度等。 极限思想 所谓极限思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极 限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法构思一个与它 有关的变量,确认该变量通过无限过程的结果就是所求的未知

17、量;最后用极限计算 来得到结果。 极限的思想可以追溯到古代,刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原 始的极限思想的应用;古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想。到了 16 世纪,荷兰 数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何 直观,大胆地运用极限思想思考问题,放弃了归谬法的证明。 如此,他就在无意中“指 出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。 到了 18 世纪,罗宾斯、 达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限 作为微积分的基础概念,并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义 是:“一个量是另一个量的极限,假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”, 它接近于极限的正确定义。 到了 19 世纪,法国数学家柯西在前人工作的基础上,比较完整地阐述了极限 概念及其理论。后来,维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义。