人教版数学6年级上册详细教案：第5单元圆的面积综合应用.docx

1、第课时圆的面积综合应用 1.让学生结合具体情景认识与圆相关的组合图形的特征,掌握“外方内圆”和 “外圆内方”的图形的面积计算方法。 2.在解决实际问题的过程中,通过独立思考、合作探究、讨论交流等活动,培 养学生分析问题和解决问题的能力。 3.渗透传统文化的教育,通过体验图形和生活的联系感受数学的价值,提升学 习的兴趣。 【重点】 掌握“外方内圆”和“外圆内方”的图形面积计算方法。 【难点】 对组合图形进行分析。 【教师准备】PPT 课件、实物展台 1.教师介绍:古时候,由于人们的活动范围狭小,往往凭自己的直觉认识世界, 看到眼前的地面是平的,以为整个大地是平的,并且把天空看做是倒扣着的一口巨

2、大的锅。我国古代有“天圆如张盖,地方如棋局”的说法。虽然这种说法是错误的, 却产生了深远的影响,尤其体现在建筑设计上。 (课件展示图片)师生共同分析,抽象出基本的图形。 预设 生 1:第一个图案的外面是正方形、里面是圆形。 生 2:第二个图案的外面是圆形、里面是近似的正方形。 生 3:第三个图案的外面是长方形、里面是圆形。 生 4:第四个图案的外面是正方形、里面是圆形。 生 5:第五个图案的外面是圆形、里面是正方形。 2.了解特征。 (课件出示教材例 3 中的雕窗插图) 师:观察这两个雕窗图案,说说这两种设计有什么联系和区别? 预设 生 1:它们都是由圆和正方形组合而成的。 生 2:第一个图案

3、的外面是正方形、里面是圆形。 生 3:第二个图案的外面是圆形、里面是正方形。 师:根据它们的特征,我们可以分别称为“外方内圆”和“外圆内方”。 3.回顾旧知,引入新课。 (1)师:回忆一下,正方形、圆及圆环的面积计算公式是什么? 预设 生 1:圆的面积公式是:S=r2。 生 2:正方形的面积公式是:S=a2。 生 3:圆环的面积公式是:S=(R2-r2)。 (2)师:观察“外方内圆”和“外圆内方”的两种图案,我们怎样才能计算出正方形和 圆形之间的那部分面积呢?这节课我们就来探索这类问题的解决方法。(板书课 题) 由两个方面的知识导入,一是图案的特征,二是正方形、圆和圆环的 计算方法。这样能让学

4、生发现生活中的问题,也为学生的新知学习做好铺垫,即解 决这类问题就如计算圆环的面积方法那样,用外面的图形面积减去里面的图形面 积。并且学生已经掌握了正方形和圆的面积计算方法,通过迁移和类推能很好地 理解和掌握解决问题的方法。 师:前面我们已经学习了圆环的面积计算方法,试着解决下面的问题。 (课件出 示) 求下面图形中阴影部分的面积。(单位:cm) 师:遇到难题了吗? 预设 生:第二个图和前面的不一样。 师:我们先来解决第 1 个图的阴影部分的面积。 预设 生 1:先算出外圆的面积是 3.1442=50.24(cm2);再算出内圆的面积是 3.1422=12.56(cm2);最后用外圆的面积减去

5、内圆的面积是 50.24-12.56=37.68(cm2)。 生 2:我是用公式:S=(R2-r2)来计算的,3.14(42-22)=37.68(cm2)。 师:第二个图中阴影部分的面积不会计算吗?小组讨论交流,看能不能找到解 决的方法。 预设 生:可以用外面正方形的面积减去里面圆的面积。 师:真棒!能够运用知识的迁移和类比来解决新问题。 师:这些图案来自于中国古建筑的设计。 (课件出示) 师:观察这些图案,你能抽象出其中的基本图形吗? 预设 生:第一个图案的外面是正方形、里面是圆形。 师:下面的这两个图案,有什么异同? 师:根据它们的特征,我们可以分别称为“外方内圆”和“外圆内方”。今天我们

6、就 尝试着解决有关它们的问题。(板书) 由复习巩固圆环的面积计算方法顺势迁移到“外方内圆”的面积计算 方法。这是类比思想的运用。 一、阅读与理解 1.课件出示“外方内圆”的图形。 (1)学生观察图形、 思考、 小组讨论:正方形与圆之间部分的面积是哪一部分? 怎样计算阴影部分的面积?(课件出示问题) (2)交流。 预设 生 1:正方形与圆之间部分的面积是阴影部分的面积,也就是正方形比 圆多的面积。 生 2:正方形的面积-圆的面积=正方形与圆之间部分的面积。 2.课件出示“外圆内方”的图形。 师:说说你的想法。 预设 生 1:正方形与圆之间部分的面积是阴影部分的面积,也就是圆比正方 形多的面积。

7、生 2:圆的面积-正方形的面积=正方形与圆之间部分的面积。 二、分析与解答 1.计算“外方内圆”的图形中正方形与圆之间部分的面积。 (1)师:计算圆和正方形的面积需要什么条件?你能找到吗? (2)学生独立计算,小组交流。 (3)汇报交流。 预设 生:22-3.1412=0.86(m2)。 师:我有一些不理解,谁来介绍思维过程? 预设 生:22求的是正方形的面积,因为正方形的边长是圆的直径,圆的半径是 1 m,那么它的直径就是 2 m,正方形的边长也就是 2 m。 圆的面积是 3.1412,最后 用正方形的面积 4 减去圆的面积 3.14,就得到阴影部分的面积是 0.86 m2。 (板书) 师:

8、嗯,思路清晰,解释合理,老师懂了,你们弄明白了吗? 先让学生看图理解阴影部分面积的算法,再独立尝试,最后交流时, 学生要表述出基本的思路,这样一次又一次巩固对“外方内圆”图形的理解。 (4)巩固练习。 求下面图形中阴影部分的面积。(单位: m) 学生独立解决,再全班交流。 【参考答案】66=36(m2)62=3(m)3.1432=28.26(m2) 36-28.26=7.74(m2) 2.计算“外圆内方”图形中正方形与圆之间部分的面积。 (1)师:尝试解决这个图中的阴影部分的面积。 (2)学生尝试,小组讨论。 (3)师:我看你们很多同学遇到了难题。说说有什么解决不了的问题,我们一起 讨论。 预

9、设 生:正方形的对角线等于圆的直径,正方形的边长求不出来。 师:我们还可以运用分割法,把正方形分成什么图形? 预设 生 1:两个三角形。 生 2:四个三角形。 师:再仔细思考,求三角形的面积有办法吗? 预设 生 1:分成两个三角形,每个三角形的底是圆的直径,高是圆的半径,可以 先求出一个三角形的面积,再乘 2。 生 2:分成四个三角形,每个三角形的底和高都是圆的半径,可以先求出一个三 角形的面积,再乘 4。 师:根据实际的问题,我们有时要转变思想,换个角度思考,也许就能找出解决 的办法。 师:独立解决问题吧! (4)学生独立计算,小组交流。 (5)汇报交流。 预设 生 1:我算的是分成两个三角

10、形的情况,先求出圆的面 积:3.1412=3.14(m2),再算出两个三角形的面积和,也就是里面正方形的面 积: 1 2 2 1 2=2(m2),最后用圆的面积减去里面正方形的面积,得到阴影部分 的面积:3.14-2=1.14(m2)。(板书) 生 2:分成四个三角形,每个三角形的底和高都是圆的半径,可以先求出一个三 角形的面积是半径乘半径乘1 2,即 11 1 2,那么四个三角形的面积 是 111 24=2(m 2),圆的面积是 3.14 m2,减去 2 m2,就是 1.14 m2。(板书) 先让学生尝试,学生会受前面“外方内圆”图形的影响,用圆的面积减 去正方形的面积,但是正方形的边长却没

11、有给出,学生会造成思维冲突,要寻求解 决的途径。教师适时加以引导,给学生的思维找到突破口,这样学生的记忆会很深 刻。寻求多种方法解题,可以提高学生的发散思维能力。 (6)巩固练习。 求下图中阴影部分的面积。 学生独立解决,全班交流。 【参考答案】52=10(cm)10522=50(cm2)3.1452=78.5(cm2) 78.5-50=28.5(cm2) 3.回顾与反思。 (1)如果“外方内圆”和“外圆内方”两种图形中的圆的半径都是 r,怎样计算呢? 学生先独立思考,并自己归纳。 (2)教师小结规律及方法:(板书) 外方内圆:(2r)2-3.14r2=0.86r2 外圆内方:3.14r2-

12、1 2 2r r 2=1.14r2 (3)师:当 r=1 时,计算的结果是多少?与前面的计算一样吗?说明什么? 生:当 r=1 时,计算结果分别是 0.86 m2,1.14 m2,一样,说明我们的计算公式正 确,计算也正确。 练习 1 教材第 70 页“做一做”。 学生读题,理解题意。 独立完成,指名两位同学上台板演。 集体订正。 【参考答案】 外面的圆面积:3.14(242)2=452.16(cm2)内部的正方形面 积:24(242)22=288(cm2)452.16-288=164.16(cm2) 练习 2 完成相关习题。 师:这节课我们分析了与“外方内圆”和“外圆内方”两种图形有关的面积

13、问题。 你学会了吗?说说你的收获,还有什么疑问? 生 1:我觉得“外方内圆”的这种图形中的圆与正方形之间的面积比较好计算, “外圆内方”的这种图形中的圆与正方形之间的面积不太好计算。 我还有一点迷糊。 生 2:我的收获是,对于特殊的图形面积,我们不能直接用公式计算出来时,就 要进行转化,转化成求我们所熟悉的、能解决的图形的面积。 生 3: 作业 1 教材第 72 页练习十五第 9,10,11 题。 作业 2 完成相关习题。 圆的面积综合应用 外方内圆:正方形的面积-圆的面积=正方形与圆之间部分的面积 正方形的面积:22=4(m2) 圆的面积:3.1412=3.14(m2) 正方形与圆之间部分的

14、面积:4-3.14=0.86(m2) (2r)2-3.14r2=0.86r2 外圆内方:圆的面积-正方形的面积=正方形与圆之间部分的面积 方法一:正方形的面积:方法二:正方形的面积: 1 2 2 1 2=2(m2)111 24=2(m 2) 圆的面积:圆的面积: 3.1412=3.14(m2)3.1412=3.14(m2) 正方形与圆之间部分的面积:正方形与圆之间部分的面积: 3.14-2=1.14(m2)3.14-2=1.14(m2) 3.14r2- 1 2 2r r 2=1.14r2 1.通过引导学生经历解决问题的全过程,积累解决问题的经验。 整节课,教师教学的主线就是解决问题的三大步骤:

15、阅读与理解、分析与解答 和回顾与反思。学生在进行这样有序的思考问题后,会形成解决问题的基本流程, 逐步养成较好的解题习惯,同时提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题 的能力。 2.学习过程中以学生为主体,教师适时引导。 本课时,教师用问题引导、独立尝试、小组讨论、全班交流等形式,让课堂活 跃起来,并且该放则放、该扶则扶,适时引导。比如在“外圆内方”图形的引导时,教 师先放手让学生独立解决,当形成问题冲突时,教师引导学生用分割法来思考问题, 学生会很快找到解决问题的途径,即把正方形分成两个相同的三角形或四个相同 的三角形。这样既能提高学生思考问题的能力,也能带给学生成功的体验。 分析、引导过

16、程中,有点杂乱。 再教这个内容时,教师要根据本班实际情况,适时调整分析时所提出的问题, 问题跨度不要太大,每个问题所涵盖的范围不要太广,要让学生的回答既有较强的 指向性,又有发散思维的空间。 妈妈准备给家里的圆形餐桌买一块正方形桌布,量得圆形桌面的直径 是 1.4 米,餐桌的高是 1.2 米。要使这块正方形桌布的四角正好接触地面,正方形 桌布垂下的面积应是多少? 名师点拨根据题意,正方形桌布的对角线长度应该包括桌面直径的长度 和两边从桌面到地面的长度,从而计算出面积。(如图所示) 解答1.4+1.22=3.8(米) 3.83.8222-3.14(1.42)2=5.6814(平方米) 答:正方形桌布垂下的面积应是 5.6814 平方米。 “拿破仑分地”问题 法国皇帝拿破仑是一位著名的军事家。他从一名军官成为一国之君,东征西 讨,战功赫赫。他对数学也有浓厚的兴趣,他喜欢思考与讨论数学问题。在圣赫勒 拿岛上,拿破仑曾与自愿陪同他的前宫廷大臣卡萨斯讨论一些智力问题。 一天,他给卡萨斯出了一道智力题,那是他当年随军远征时见过的一块形状奇 异的土地(如图(1)。他曾发誓:谁能将它分成形状相同的两块地,就赏给谁。然而, 当时没有人能做到。卡萨斯也考虑了好几个晚上,仍未解得此题。当拿破仑告诉 他后,他看到题目的解法竟然如此简单而后悔不已(如图(2)。 中国古代建筑图案欣赏