2021年江苏省扬州市中考数学试卷真题（及答案）.doc

1、第 1页（共 30页） 2021 年江苏省扬州市中考数学试卷年江苏省扬州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，在每小题所给出的四个选项中分，在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （3 分）实数 100 的倒数是（） A100B100CD 2 （3 分）把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（） A五棱锥B五棱柱C六棱锥D六棱柱 3 （3 分）下列生

2、活中的事件，属于不可能事件的是（） A3 天内将下雨 B打开电视，正在播新闻 C买一张电影票，座位号是偶数号 D没有水分，种子发芽 4 （3 分）不论 x 取何值，下列代数式的值不可能为 0 的是（） Ax+1Bx21CD （x+1）2 5 （3 分）如图，点 A、B、C、D、E 在同一平面内连接 AB、BC、CD、DE、EA，若BCD 100，则A+B+D+E（） A220B240C260D280 6 （3 分）如图，在 44 的正方形网格中有两个格点 A、B，连接 AB，在网格中再找一个 格点 C，使得ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点 C 的个数是（） 第 2页（共 30页） A2

3、B3C4D5 7 （3 分）如图，一次函数 yx+的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，把直线 AB 绕点 B 顺时针旋转 30交 x 轴于点 C，则线段 AC 长为（） A+B3C2+D+ 8 （3 分）如图，点 P 是函数 y（k10，x0）的图象上一点，过点 P 分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为点 A、B，交函数 y（k20，x0）的图象于点 C、D，连 接 OC、OD、CD、AB，其中 k1k2下列结论：CDAB；SOCD； SDCP，其中正确的是（） ABCD 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.

4、不需写出解答过程，请把答案直不需写出解答过程，请把答案直 第 3页（共 30页） 接填写在答题卡相应位置上）接填写在答题卡相应位置上） 9 （3 分）2021 年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中 输入“扬州世界园艺博览会”约有 3020000 个相关结果，数据 3020000 用科学记数法表 示为 10 （3 分）计算：2021220202 11（3 分） 在平面直角坐标系中， 若点 P （1m， 5m） 在第二象限， 则整数 m 的值为 12 （3 分）已知一组数据：a、4、5、6、7 的平均数为 5，则这组数据的中位数是 13 （3 分）扬州雕版印刷技艺历史

5、悠久，元代数学家朱世杰的算学启蒙一书曾刻于扬 州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题： “今有良马日行二百四十里， 驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天 走 240 里，慢马每天走 150 里，慢马先走 12 天，试问快马几天追上慢马？答：快马 天追上慢马 14 （3 分）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为 10cm 的正方形，该果罐侧面积为 cm2 15 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 是 AB 的中点，过点 D 作 DEBC， 垂足为点 E，连接 CD，若 CD5，BC8，则 DE 16 （3 分）如图，在 A

6、BCD 中，点 E 在 AD 上，且 EC 平分BED，若EBC30，BE 10，则 ABCD 的面积为 第 4页（共 30页） 17 （3 分）如图，在ABC 中，ACBC，矩形 DEFG 的顶点 D、E 在 AB 上，点 F、G 分 别在 BC、 AC 上， 若 CF4， BF3， 且 DE2EF， 则 EF 的长为 18 （3 分）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列： 图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，将其中所有能被 3 整除的数按从小到大 的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第 33 个数为 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分，

7、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤）必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分）计算或化简： （1） （）0+|3|+tan60 （2） （a+b）（+） 20 （8 分）已知方程组的解也是关于 x、y 的方程 ax+y4 的一个解，求 a 的值 21 （8 分）为推进扬州市“青少年茁壮成长工程” ，某校开展“每日健身操”活动，为了解 学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结 果绘制成如下尚不完整的统计图表： 第 5页（共 30页） 抽样调查各类喜欢程度人数统计表 喜

8、欢程度人数 A非常喜 欢 50 人 B比较喜 欢 m 人 C无所谓n 人 D不喜欢16 人 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是； （2）扇形统计图中表示 A 程度的扇形圆心角为，统计表中 m； （3）根据抽样调查的结果，请你估计该校 2000 名学生中大约有多少名学生喜欢“每日 健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢） 22 （8 分）一张圆桌旁设有 4 个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙 2 人等可能 地坐到、中的 2 个座位上 （1）甲坐在号座位的概率是； （2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率 第 6页（共 30页） 23 （10 分）为保障新冠

9、病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率 比原先提高了 20%，现在生产 240 万剂疫苗所用的时间比原先生产 220 万剂疫苗所用的 时间少 0.5 天问原先每天生产多少万剂疫苗？ 24 （10 分）如图，在ABC 中，BAC 的角平分线交 BC 于点 D，DEAB，DFAC （1）试判断四边形 AFDE 的形状，并说明理由； （2）若BAC90，且 AD2，求四边形 AFDE 的面积 25 （10 分）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，BAD90，CBCD，连接 BD，以点 B 为圆心，BA 长为半径作B，交 BD 于点 E （1）试判断 CD 与B 的位置关系，并说

10、明理由； （2）若 AB2，BCD60，求图中阴影部分的面积 26 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（ 1，0） 、B（3，0） ，与 y 轴交于点 C 第 7页（共 30页） （1）b，c； （2）若点 D 在该二次函数的图象上，且 SABD2SABC，求点 D 的坐标； （3）若点 P 是该二次函数图象上位于 x 轴上方的一点，且 SAPCSAPB，直接写出点 P 的坐标 27 （12 分）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段 BC2，使用作图工具作BAC30，尝试操作后思考： （1）这样的点 A 唯一吗？ （

11、2）点 A 的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 A 的位置不唯一，它在以 BC 为弦 的圆弧上（点 B、C 除外） ，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 1） （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决 该弧所在圆的半径长为； ABC 面积的最大值为； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图 1 所示 的弓形内部，我们记为 A，请你利用图 1 证明BAC30 （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图 2，已知矩形 ABCD 的边 长 AB2，BC3，点 P 在直线 CD 的左侧，且 tanDPC

12、 线段 PB 长的最小值为； 若S PCDS PAD，则线段PD长 第 8页（共 30页） 为 28 （12 分）甲、乙两汽车出租公司均有 50 辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对 话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费 3000 元，那么 50 辆汽车可以全部租出如果 每辆汽车的月租费每增加 50 元，那么将少租出 1 辆汽车另外，公司为每辆租出的汽车 支付月维护费 200 元 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费 3500 元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付 月维护费共计 1850 元 说明：汽车数量为整数；月利润月租车费月维护费；两公司月利润差月 利润较高公司的利润月利润较低

13、公司的利润 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： （1）当每个公司租出的汽车为 10 辆时，甲公司的月利润是元；当每个公司 租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等； （2）求两公司月利润差的最大值； （3）甲公司热心公益事业，每租出 1 辆汽车捐出 a 元（a0）给慈善机构，如果捐款后 甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为 17 辆时，甲公司 剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求 a 的取值范围 第 9页（共 30页） 2021 年江苏省扬州市中考数学试卷年江苏省扬州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共

14、有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，在每小题所给出的四个选项中分，在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （3 分）实数 100 的倒数是（） A100B100CD 【解答】解：100 的倒数为， 故选：C 2 （3 分）把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（） A五棱锥B五棱柱C六棱锥D六棱柱 【解答】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形， 则该几何体为五棱锥， 故选：A

15、 3 （3 分）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（） A3 天内将下雨 B打开电视，正在播新闻 C买一张电影票，座位号是偶数号 D没有水分，种子发芽 【解答】解：A、3 天内将下雨，是随机事件； B、打开电视，正在播新闻，是随机事件； C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件； D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件； 故选：D 第 10页（共 30页） 4 （3 分）不论 x 取何值，下列代数式的值不可能为 0 的是（） Ax+1Bx21CD （x+1）2 【解答】解：A、当 x1 时，x+10，故不合题意； B、当 x1 时，x210，故不合题意； C、分子是 1，而 10，

16、则0，故符合题意； D、当 x1 时， （x+1）20，故不合题意； 故选：C 5 （3 分）如图，点 A、B、C、D、E 在同一平面内连接 AB、BC、CD、DE、EA，若BCD 100，则A+B+D+E（） A220B240C260D280 【解答】解：连接 BD， BCD100， CBD+CDB18010080， A+ABC+E+CDE360CBDCDB36080280， 故选：D 6 （3 分）如图，在 44 的正方形网格中有两个格点 A、B，连接 AB，在网格中再找一个 格点 C，使得ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点 C 的个数是（） 第 11页（共 30页） A2B3C4D

17、5 【解答】解：如图：分情况讨论： AB 为等腰直角ABC 底边时，符合条件的 C 点有 0 个； AB 为等腰直角ABC 其中的一条腰时，符合条件的 C 点有 3 个 故共有 3 个点， 故选：B 7 （3 分）如图，一次函数 yx+的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，把直线 AB 绕点 B 顺时针旋转 30交 x 轴于点 C，则线段 AC 长为（） A+B3C2+D+ 【解答】解：一次函数 yx+的图像与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B， 令 x0，则 y，令 y0，则 x， 则 A（，0） ，B（0，） ， 则OAB 为等腰直角三角形，ABO45， 第 12页（共 30页） A

18、B2， 过点 C 作 CDAB，垂足为 D， CADOAB45， ACD 为等腰直角三角形，设 CDADx， ACx， 旋转， ABC30， BC2CD2x， BDx， 又 BDAB+AD2+x， 2+xx， 解得：x+1， ACx（+1）， 故选：A 8 （3 分）如图，点 P 是函数 y（k10，x0）的图象上一点，过点 P 分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为点 A、B，交函数 y（k20，x0）的图象于点 C、D，连 接 OC、OD、CD、AB，其中 k1k2下列结论：CDAB；SOCD； SDCP，其中正确的是（） 第 13页（共 30页） ABCD 【解答】解：PBy 轴，P

19、Ax 轴，点 P 在上，点 C，D 在上， 设 P（m，） ， 则 C（m，） ，A（m，0） ，B（0，） ，令， 则，即 D（，） ， PC，PD， ，即， 又DPCBPA， PDCPBA， PDCPBC， CDAB，故正确； PDC 的面积，故正确； SOCDS四边形OAPBSOCASDPC 第 14页（共 30页） ，故错误； 故选：B 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.不需写出解答过程，请把答案直不需写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上）接填写在答题卡相应位置上） 9 （3 分）2021 年扬州世

20、界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中 输入“扬州世界园艺博览会”约有 3020000 个相关结果，数据 3020000 用科学记数法表 示为3.02106 【解答】解：将 3020000 用科学记数法表示为 3.02106 故答案为：3.02106 10 （3 分）计算：20212202024041 【解答】解：2021220202 （2021+2020） （20212020） 40411 4041 故答案为：4041 11（3 分） 在平面直角坐标系中， 若点 P （1m， 5m） 在第二象限， 则整数 m 的值为2 【解答】解：由题意得：， 解得：， 整数 m 的值为

21、 2， 故答案为：2 12 （3 分）已知一组数据：a、4、5、6、7 的平均数为 5，则这组数据的中位数是5 【解答】解：这组数据的平均数为 5， 则， 解得：a3， 将这组数据从小到大重新排列为：3，4，5，6，7， 观察数据可知最中间的数是 5， 则中位数是 5 故答案为：5 第 15页（共 30页） 13 （3 分）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的算学启蒙一书曾刻于扬 州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题： “今有良马日行二百四十里， 驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天 走 240 里，慢马每天走 150 里，慢马先走

22、 12 天，试问快马几天追上慢马？答：快马20 天追上慢马 【解答】解：设快马行 x 天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日， 依题意，得：240 x150（x+12） ， 解得：x20， 快马 20 天追上慢马， 故答案为：20 14 （3 分）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为 10cm 的正方形，该果罐侧面积为 100cm2 【解答】解：由题意得圆柱的底面直径为 10cm，高为 10cm， 侧面积1010100(cm2) 故答案为：100 15 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 是 AB 的中点，过点 D 作 DEBC， 垂足为点 E，连接 CD，若 CD5，

23、BC8，则 DE3 【解答】解:ACB90,DEBC, DEAC, 第 16页（共 30页） 点 D 是 AB 的中点， E 是 BC 的中点,AB2CD10, AC2DE, BC8, AC6, DE3 故答案为 3 16 （3 分）如图，在 ABCD 中，点 E 在 AD 上，且 EC 平分BED，若EBC30，BE 10，则 ABCD 的面积为50 【解答】解：过点 E 作 EFBC，垂足为 F， EBC30，BE10， EFBE5， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DECBCE， 又 EC 平分BED，即BECDEC， BCEBEC， BEBC10， 四边形 ABCD 的面

24、积BCEF10550， 故答案为：50 第 17页（共 30页） 17 （3 分）如图，在ABC 中，ACBC，矩形 DEFG 的顶点 D、E 在 AB 上，点 F、G 分 别在 BC、AC 上，若 CF4，BF3，且 DE2EF，则 EF 的长为 【解答】解：DE2EF，设 EFx，则 DE2x， 四边形 DEFG 是矩形， GFAB， CGFCAB， ，即， AB， AD+BEABDE， ACBC， 在ADG 和BEF 中， ， ADGBEF（AAS） ， ADBE， 在BEF 中，BE2+EF2BF2， 即， 解得：x或（舍） ， EF， 故答案为： 18 （3 分）将黑色圆点按如图所示

25、的规律进行排列： 第 18页（共 30页） 图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，将其中所有能被 3 整除的数按从小到大 的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第 33 个数为1275 【解答】解：第个图形中的黑色圆点的个数为：1， 第个图形中的黑色圆点的个数为：3， 第个图形中的黑色圆点的个数为：6， 第个图形中的黑色圆点的个数为：10， 第 n 个图形中的黑色圆点的个数为， 则这列数为 1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91， 其中每 3 个数中，都有 2 个能被 3 整除， 332161， 163+250， 则第 33 个被 3 整除的数为原数列中

26、第 50 个数，即1275， 故答案为：1275 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤）必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分）计算或化简： （1） （）0+|3|+tan60 （2） （a+b）（+） 【解答】解： （1）原式 4； （2）原式 第 19页（共 30页） ab 20 （8 分）已知方程组的解也是关于 x、y 的方程 ax+y4 的一个解，求 a 的值 【解答】解：方程组， 把代入得：2(y1)+y7， 解

27、得：y3，代入中， 解得：x2， 把 x2，y3 代入方程 ax+y4 得，2a+34， 解得：a 21 （8 分）为推进扬州市“青少年茁壮成长工程” ，某校开展“每日健身操”活动，为了解 学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结 果绘制成如下尚不完整的统计图表： 抽样调查各类喜欢程度人数统计表 喜欢程度人数 A非常喜 欢 50 人 B比较喜 欢 m 人 C无所谓n 人 D不喜欢16 人 根据以上信息，回答下列问题： 第 20页（共 30页） （1）本次调查的样本容量是200； （2）扇形统计图中表示 A 程度的扇形圆心角为90，统计表中 m94； （3）根

28、据抽样调查的结果，请你估计该校 2000 名学生中大约有多少名学生喜欢“每日 健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢） 【解答】解： （1）168%200， 则样本容量是 200； （2）36090， 则表示 A 程度的扇形圆心角为 90； 200（18%20%100%）94， 则 m94； （3）1440 名， 该校 2000 名学生中大约有 1440 名学生喜欢“每日健身操”活动 22 （8 分）一张圆桌旁设有 4 个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙 2 人等可能 地坐到、中的 2 个座位上 （1）甲坐在号座位的概率是； （2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率 【解答】

29、解： （1）丙坐了一张座位， 甲坐在号座位的概率是； （2）画树状图如图： 第 21页（共 30页） 共有 6 种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有 4 种， 甲与乙相邻而坐的概率为 23 （10 分）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率 比原先提高了 20%，现在生产 240 万剂疫苗所用的时间比原先生产 220 万剂疫苗所用的 时间少 0.5 天问原先每天生产多少万剂疫苗？ 【解答】解：设原先每天生产 x 万剂疫苗， 由题意可得：， 解得：x40， 经检验：x40 是原方程的解， 原先每天生产 40 万剂疫苗 24 （10 分）如图，在ABC 中

30、，BAC 的角平分线交 BC 于点 D，DEAB，DFAC （1）试判断四边形 AFDE 的形状，并说明理由； （2）若BAC90，且 AD2，求四边形 AFDE 的面积 【解答】解： （1）四边形 AFDE 是菱形，理由是： DEAB，DFAC， 四边形 AFDE 是平行四边形， AD 平分BAC， FADEAD， DEAB， EDAFAD， 第 22页（共 30页） EDAEAD， AEDE， 平行四边形 AFDE 是菱形； （2）BAC90， 四边形 AFDE 是正方形， AD， AFDFDEAE2， 四边形 AFDE 的面积为 224 25 （10 分）如图，四边形 ABCD 中，AD

31、BC，BAD90，CBCD，连接 BD，以点 B 为圆心，BA 长为半径作B，交 BD 于点 E （1）试判断 CD 与B 的位置关系，并说明理由； （2）若 AB2，BCD60，求图中阴影部分的面积 【解答】解： （1）过点 B 作 BFCD，垂足为 F， ADBC， ADBCBD， CBCD， CBDCDB， ADBCDB 在ABD 和FBD 中， ， ABDFBD（AAS） ， BFBA，则点 F 在圆 B 上， 第 23页（共 30页） CD 与B 相切； （2）BCD60，CBCD， BCD 是等边三角形， CBD60 BFCD， ABDDBFCBF30， ABF60， ABBF，

32、ADDFABtan302， 阴影部分的面积SABDS扇形ABE 26 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（ 1，0） 、B（3，0） ，与 y 轴交于点 C （1）b2，c3； （2）若点 D 在该二次函数的图象上，且 SABD2SABC，求点 D 的坐标； （3）若点 P 是该二次函数图象上位于 x 轴上方的一点，且 SAPCSAPB，直接写出点 P 的坐标 第 24页（共 30页） 【解答】解： （1）点 A 和点 B 在二次函数 yx2+bx+c 图像上， 则，解得：， 故答案为：2，3； （2）连接 BC，由题意可得： A（1，

33、0） ，B（3，0） ，C（0，3） ，yx22x3， SABC6， SABD2SABC，设点 D（m，m22m3） ， |yD|26，即4|m22m3|26， 解得：m或，代入 yx22x3， 可得：y 值都为 6， D（，6）或（，6） ； （3）设 P（n，n22n3） ， 点 P 在抛物线位于 x 轴上方的部分， n1 或 n3， 第 25页（共 30页） 当点 P 在点 A 左侧时，即 n1， 可知点 C 到 AP 的距离小于点 B 到 AP 的距离， SAPCSAPB，不成立； 当点 P 在点 B 右侧时，即 n3， APC 和APB 都以 AP 为底，若要面积相等， 则点 B 和

34、点 C 到 AP 的距离相等，即 BCAP， 设直线 BC 的解析式为 ykx+p， 则，解得：， 则设直线 AP 的解析式为 yx+q，将点 A（1，0）代入， 则1+q0，解得：q1， 则直线 AP 的解析式为 yx+1，将 P（n，n22n3）代入， 即 n22n3n+1， 解得：n4 或 n1（舍） ， n22n35， 点 P 的坐标为（4，5） 27 （12 分）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段 BC2，使用作图工具作BAC30，尝试操作后思考： （1）这样的点 A 唯一吗？ （2）点 A 的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论

35、后汇报：点 A 的位置不唯一，它在以 BC 为弦 的圆弧上（点 B、C 除外） ，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 1） （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决 第 26页（共 30页） 该弧所在圆的半径长为2； ABC 面积的最大值为； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图 1 所示 的弓形内部，我们记为 A，请你利用图 1 证明BAC30 （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图 2，已知矩形 ABCD 的边 长 AB2，BC3，点 P 在直线 CD 的左侧，且 tanDPC 线段 PB 长的最小值为； 若S PCDS PAD，

36、则线段PD长为 【解答】解： （1）设 O 为圆心，连接 BO，CO， BCA30， BOC60，又 OBOC， OBC 是等边三角形， OBOCBC2，即半径为 2； ABC 以 BC 为底边，BC2， 当点 A 到 BC 的距离最大时，ABC 的面积最大， 如图，过点 O 作 BC 的垂线，垂足为 E，延长 EO，交圆于 D， BECE1，DOBO2， OE， DE， ABC 的最大面积为； 第 27页（共 30页） （2）如图，延长 BA，交圆于点 D，连接 CD， 点 D 在圆上， BDCBAC， BACBDC+ACD， BACBDC， BACBAC，即BAC30； （3）如图，当点

37、P 在 BC 上，且 PC时， PCD90，ABCD2，ADBC3， tanDPC，为定值， 连接 PD，设点 Q 为 PD 中点，以点 Q 为圆心，PD 为半径画圆， 当点 P 在优弧 CPD 上时，tanDPC，连接 BQ，与圆 Q 交于 P， 此时 BP即为 BP 的最小值，过点 Q 作 QEBE，垂足为 E， 点 Q 是 PD 中点， 点 E 为 PC 中点，即 QECD1，PECEPC， BEBCCE3， BQ， PD， 第 28页（共 30页） 圆 Q 的半径为， BPBQPQ，即 BP 的最小值为； AD3，CD2，SPCDSPAD， 则， PAD 中 AD 边上的高PCD 中

38、CD 边上的高， 即点 P 到 AD 的距离和点 P 到 CD 的距离相等， 则点 P 到 AD 和 CD 的距离相等，即点 P 在ADC 的平分线上，如图， 过点 C 作 CFPD，垂足为 F， PD 平分ADC， ADPCDP45， CDF 为等腰直角三角形，又 CD2， CFDF， tanDPC， PF， PDDF+PF 28 （12 分）甲、乙两汽车出租公司均有 50 辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对 话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费 3000 元，那么 50 辆汽车可以全部租出如果 每辆汽车的月租费每增加 50 元，那么将少租出 1 辆汽车另外，公司为每辆租出的汽车

39、 支付月维护费 200 元 第 29页（共 30页） 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费 3500 元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付 月维护费共计 1850 元 说明：汽车数量为整数；月利润月租车费月维护费；两公司月利润差月 利润较高公司的利润月利润较低公司的利润 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： （1）当每个公司租出的汽车为 10 辆时，甲公司的月利润是48000元；当每个公司 租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等； （2）求两公司月利润差的最大值； （3）甲公司热心公益事业，每租出 1 辆汽车捐出 a 元（a0）给慈善机构，如果捐款后 甲公司剩余的

40、月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为 17 辆时，甲公司 剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）（5010）50+3000102001048000 元， 当每个公司租出的汽车为 10 辆时，甲公司的月利润是 48000 元； 设每个公司租出的汽车为 x 辆， 由题意可得：（50 x)50+3000 x200 x3500 x1850， 解得：x37 或 x1（舍） ， 当每个公司租出的汽车为 37 辆时，两公司的月利润相等； （2）设两公司的月利润分别为 y甲，y乙，月利润差为 y， 则 y甲（50 x)50+3000 x200 x， y乙35

41、00 x1850， 当甲公司的利润大于乙公司时，0 x37， yy甲y乙（50 x)50+3000 x200 x(3500 x1850) 50 x2+1800 x+1850， 当 x18 时，利润差最大，且为 18050 元； 当乙公司的利润大于甲公司时，37x50， yy乙y甲3500 x1850(50 x)50+3000 x+200 x 50 x21800 x1850， 对称轴为直线 x18， 当 x50 时，利润差最大，且为 33150 元； 第 30页（共 30页） 综上：两公司月利润差的最大值为 33150 元； （3）捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 则利润差为 y50 x2+1800 x+1850ax50 x2+(1800a)x+1850， 对称轴为直线 x， x 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为 17 辆时，月利润之差最大， ， 解得：50a150