非线性方程数值解法及其应用.docx

1、1 非线性方程数值解法及其应用 摘要：数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。 本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。是直接从方程出发，逐步缩 小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。我将从二分法、 Steffensen 加速收敛法、Newton 迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。 关键字：非线性方程；二分法；Steffensen 加速收敛法；代数 Newton 法；弦截法 随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各 行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形

2、设计，高科技研究等都离不开 科学计算。因此经常需要求非线性方程f(x) = O的根。方程 f(x) = O 的根叫做函数 f(x) 的零点。由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间a , b上连续，且 f(a) f(b)0，则 f(x) =O 在开区间(a,b)内至少有一个实根。这时称 a,b为方程 f(x) = O的根的存在区间。本 32 文主要是对f(x)=2x 2x -5在区间1.2的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程 数值解法的四种方法，从而得到在实际问题中遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。 二、非线性方程的数值解法 1、二分法 二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区间，

3、把有根的小区间再平分为两个 更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。如此继续下去，直到求出满足精度要求的 近似值。 设函数 f(x)在区间a,b上连续，且 f(a) f(b)O，则a,b是方程 f(x)=O 的根的存 *1 在区间，设其内有一实根，记为x。取区间a,b的中点Xk(a b)，并计算f(为)，则 2 必有下列三种情况之一成立： (1)f (xj= O,捲就是方程的根x*； (2) f(a) f(xjO,方程的根x位于区间a,X1之中，此时令 aa, d =为； f( xj f(b)rH 口叵区/ 七* 3C fit田 B 曰同口， 3 ts -I.P| + 一? r_l *磷於

4、逼 1 Iturtcl lomlcAerr, yc = e tTen CT,. % 0 dalt -a.) 2 3yb=eval上上At tix hi. max 1 1+roundlC f Loe-Loc CdeIt al)/Iog j ,: - it 3a=0 10n= c : 丄丄】b=c; 12.忙忙 泮口泮口 J1 b=c : 1 47 侗侗el鼻孕鼻孕 16o; 1Tyw=ye； 113 And it foa0) disp; return; else tol=1; fa=subs(sym(f),fi ndsym(sym(f),a); fb=subs(sym(f),fi ndsym(s

5、ym(f),b); root=a-(b-a)*fa./(fb-fa); while (toleps) r1=root; fx=subs(sym(f),fi ndsym(sym(f),r1); s=fx*fa; if(s=0) root=r1; else if(s0) root=b-(r1-b)*fb/(fx-fb); else root=a-(r1-a)*fa/(fx-fa); end end tol=abs(root-r1) end end 弦截法的 MATLA 实现及分析： 采用弦截法求方程f (x) = 2x32x2- 5在区间1,2上的根。首先编写程序：function f=f(x)

6、f=2*xA3+4*xA2-10;在命令窗口输入：root=Secant(f ,1,2,0.00001)，得结果 x=1.0929. 弦截法的手算： 程: k0123456 xn 1 _ xn XnXz f (Xn) - f(xn4) f (Xn) (n =1,2,).取x0=1,x1=2,可以得以下手算过 12 Xk 12 1.05 1.07339 6733 1.0935728171.0929214981.092930127 f(Xk)-119-0.47957 -0.2221 45244 7.413770614 X10 1.0513822x10* _5.624806 10 四、四种方法的比较

7、分析 当方程在a,b上有唯一实根时二分法肯定是收敛，程序简单，且易于估计误差的大 小。但它的缺点是不能求方程具有偶重根和复根。从计算结果可以看出，Steffensen 加速收 敛法、代数 Newton 法、弦截法的结果都比之前的二分法要精确。Steffensen 加速收敛法的收 敛速度是最快的，最慢的是二分法。 从整体上看，Steffensen 加速收敛法的方法最快有比较 精确，Steffensen 加速 收敛法相对其他方法是最好的方法。Stefensen 加速收敛法：优点是 不收敛的迭代函数一般经加速后也能获得收敛，加速效果较为明显；缺点是要先将其变形， 在使用时不方便。代数 Newton

8、法：优点是加速效果明显，同样可使不收敛的迭代格式获得收 敛，速度快；缺点是这种方法至少要是二阶收 敛的，而在重根附近是线性收敛的且重根收敛 速度较慢，当选取X0时要选在某根的附近时才能收敛到这个根，有时会发生一个根跳向另 一个根附近的情况。 五、总结 在实际工程应用或者“计算方法”课程的学习中，往往会遇到大量的非线性方程的求解。 在理论上有解而又无 法用手工计算的数学问题，在科学研究和工程技术中都要用到各种计算 方法。例如在地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字设计中都有计算方法的踪影。 通过对非线性方程的数 值解法的分析得知：非线性方程的数值解法是直接从方程出发，逐步 缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。因此对于非 线性方程的数值解法具有相当强的实际意义。 六、参考文献 1刘玲，王正盛.数值计算方法M.科学出版社，2010. 2李庆扬，关治，白峰杉.数值计算原理M.清华大学出版社，2000. 3孙璐.基于非线性方程的典型数值解法的研究与分析J.科技资讯，2009. 4卢翼飞.非线性方程几种数值解法的MATLAB 程序J. 岳阳职业技术学院学报， 2008.