第五章 §5.2　平面向量基本定理及坐标表示.pptx

1、大一轮复习讲义 5.2平面向量基本定理及坐标表示 第五章平面向量、复数 考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 内容 索引 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内两个_的向量，那么对于这一平面内的任 一向量a， 一对实数1，2，使a_. 我们把不共线的向量e1，e2叫做表

2、示这一平面内所有向量的一组_. 2.平面平面向量的正交分解向量的正交分解 一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a1e12e2的形式，我们称为向 量a的分解.当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交 分解. 不共线 有且只有 基底 知识梳理 1e12e2 3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab ，ab ，a ， |a| . (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 ， | | . 4.平面向量共线的坐标表

3、示平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则ab . (x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1) (x2x1， y2y1) x1y2x2y10 1.若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？ 微思考 提示不一样.因为向量有方向，而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角 或锐角时，与直线的夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的 夹角不一样. 2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？ 提示不一定.两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的 任一向量. 题组一思考题组一思考辨析辨析 基础自测 1.判断下列结论是否

4、正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.() (2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.() (3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成 () (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.() 题组二教材题组二教材改编改编 2.(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正 确的是 3.已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐 标为_. (1,5) 得(4,1)(5x,6y)， _. 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对

5、角线AC，BD的交点，其中 可作为这一个平行四边形所在平面的一个基底的是 解析平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图， 6.(多选)已知向量a(1，2)，|b|4|a|，ab，则b可能是 A.(4,8) B.(4，8) C.(4，8) D.(4,8) TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一平面向量基本定理的应用 师生共研 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角 形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形 中，利用三角形法则列出向量间的关系. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，

6、并运 用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注 意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都 是唯一的. 思维升华 因为a与b不共线，所以由平面向量基本定理， 题型二平面向量的坐标运算 师生共研 解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8). 3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8) (1563，15324)(6，42). (2)求满足ambnc的实数m，n； 解方法一mbnc(6mn，3m8n)， 方法二abc0， abc， 又ambnc， mbncbc， 解设O为坐标原点， M(0,20). 引申探究 1.本例中条件不变，如何利用向量求线

7、段AB中点的坐标？ 解设O为坐标原点，P(x，y)是线段AB的中点， 2.本例中条件不变，如何利用向量求ABC的重心G的坐标？ 解设AB的中点为P，O为坐标原点， 向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行， 若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中 要注意方程思想的运用. 思维升华 (4,7) 设点B为(x，y)，则(2x,3y)2(1,2)， (2)如图所示，以e1，e2为基底，则a_. 2e1e2 解析以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则e1(1,0)，e2(1,1)，a(3,1)， 令axe1ye2，即(3,1)x(1,

8、0)y(1,1)， 题型三向量共线的坐标表示 多维探究 命题点1利用向量共线求参数 例3(1)(2021惠州调研)已知向量a(2,1)，b(x，1)，且ab与b共线， 则x的值为_. 2 解析a(2,1)，b(x，1)， ab(2x,2)， 又ab与b共线， (2x)(1)2x0， x2. (2)(2018全国)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，).若c(2a b)，则_. 解析由题意得2ab(4,2)， 因为c(1，)，且c(2ab)， 所以420， 命题点2利用向量共线求向量或点的坐标 解析因为点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)， 设M的坐标为(x，y)， 平面向量共线的

9、坐标表示问题的解题策略 (1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)， b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R). 思维升华 跟踪训练3(2020山东省文登二中模拟)平面内给定三个向量a(3,2)， b(1,2)，c(4,1). (1)若(akc)(2ba)，求实数k； 解akc(34k,2k)，2ba(5,2)， 由题意得2(34k)(5)(2k)0， 解设d(x，y)，则dc(x4，y1)， d的坐标为(3，1)或(5,3). KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.在如图所示的平

10、面直角坐标系中，向量 的坐标是 A.(2,2) B.(2，2) C.(1,1) D.(1，1) 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 解析因为A(2,2)，B(1,1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析对于A，C，D都有e1e2，所以只有B成立. 2.在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是 A.e1(0,0)，e2(1,2) B.e1(1,2)，e2(5，2) C.e1(3,5)，e2(6,10) D.e1(2，3)，e2(2,3) 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.(2021太原模拟

11、)设向量a(m,2)，b(1，m1)，且a与b的方向相反， 则实数m的值为 A.2 B.1 C.2或1 D.m的值不存在 解析向量a(m,2)，b(1，m1)， 因为ab，所以m(m1)21，解得m2或m1. 当m1时，a(1,2)，b(1,2)，a与b的方向相同，舍去； 当m2时，a(2,2)，b(1，1)，a与b的方向相反，符合题意， 故选A. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析各选

12、项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形. 假设A，B，C三点共线，则1(m1)2m0，即m1. 所以只要m1，A，B，C三点就可构成三角形，故选ABD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)设a是已知的平面向量且a0，关于向量a的分解，有如下四个命 题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是 A.给定向量b，总存在向量c，使abc B.给定向量b和c，总存在实数和，使abc C.给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc D.给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc 12345678910 11 12 13 14

13、 15 16 解析向量b，c和a在同一平面内且两两不共线， b0，c0， 给定向量a和b，只需求得其向量差ab， 即为所求的向量c， 故总存在向量c，使abc，故A正确； 当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底， 由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确； 取a(4,4)，2，b(1,0)， 无论取何值，向量b都平行于x轴，而向量c的模恒等于2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 要使abc成立，根据平行四边形法则，向量c的纵坐标一定为4， 故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误； 因为和为正数，所以b和c代表与原向量同向的且有固定长度的

14、向量， 这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来， 故不一定能使abc成立，故D错误. 故选AB. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.(2021合肥质检)已知向量a(1,3)，b(2，k)，且(a2b)(3ab)， 则实数k_. 6 解析a2b(3,32k)， 3ab(5,9k)， 由题意可得，3(9k)5(32k)，解得k6. 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.设向量a(3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|10，则向量b的坐 标为_. 解析不妨设向量b的坐标为b(3m,4m)(m0)， (6，8) 解得m2(m2舍去

15、)， 故b(6，8). 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.已知a(1,0)，b(2,1)， (1)当k为何值时，kab与a2b共线； 解kabk(1,0)(2,1)(k2，1)， a2b(1,0)2(2,1)(5,2). kab与a2b共线， 2(k2)(1)50， 12345678910 11 12 13 14 15 16

16、即2a3b(amb)， 8m3(2m1)0，即2m30， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解方法一如图，作平行四边形OB1CA1， 所以B1OC90. 所以4，2，所以6. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 所以6. 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图，以A为原点，AB

17、所在直线为x轴，AC所在 直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1,0)， C点的坐标为(0,2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设圆的半径为r， 又BAC的平分线交ABC的外接圆于点D， 则根据圆的性质得BDCDAB， 所以四边形ABDO为菱形， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.若，是平面内一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为 向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1) 下的坐标为(2,2)，则a在基底m(1

18、,1)，n(1,2)下的坐标为_. (0,2) 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为a在基底p，q下的坐标为(2,2)， 所以a2p2q(2,4)， 令axmyn(xy，x2y)， 所以a在基底m，n下的坐标为(0,2). 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.如图，已知ABC中，AB2，AC1，BAC120， AD为角平分线. (1)求AD的长度； 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为E，D，F三点共线， 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：