第五章 §5.3 平面向量的数量积.pptx
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1、大一轮复习讲义 第五章平面向量、复数 5.3平面向量的数量积 考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量 的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心探究核心探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.向量的夹角向量的夹角
2、已知两个非零向量a和b,作 ,则_就是向量a与b 的夹角,向量夹角的范围是_. 知识梳理 AOB 0, 定义 设两个非零向量a,b的夹角为,则数量_叫做a与b的 数量积,记作ab 投影 _叫做向量a在b方向上的投影 _叫做向量b在a方向上的投影 几何 意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积 2.平面向量的数量积平面向量的数量积 |a|b|cos |a|cos |b|cos |b|cos 3.向量数量积的运算律向量数量积的运算律 (1)abba. (2)(a)b(ab)a(b). (3)(ab)c_.acbc 结论符号表示坐标表示 模|a|_|a|_ 夹角 cos _
3、ab的充要条件_ |ab|与|a|b|的关系|ab|_ 4.平面向量数量积的有关结论平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),a与b的夹角为. x1x2y1y20 ab0 |a|b| 1.两个向量的数量积大于0(或小于0),则夹角一定为锐角(或钝角)吗? 提示不一定.当夹角为0(或180)时,数量积也大于0(或小于0). 2.平面向量数量积运算常用结论有哪些? 提示(ab)2a22abb2. (ab)(ab)a2b2. a与b同向时,ab|a|b|. a与b反向时,ab|a|b|. 微思考 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两个向量的夹角
4、的范围是 .() (2)向量在另一个向量上的投影为数量,而不是向量.() (3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果 是向量.() (4)若abac(a0),则bc.() 题组一思考题组一思考辨析辨析 基础自测 题组二教材题组二教材改编改编 所以b(2ab)2abb218. 4.已知|a|5,|b|4,a与b的夹角120,则向量b在向量a方向上的 投影为_.2 解析由数量积的定义知,b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 120 2. 题组三易错自题组三易错自纠纠 5.已知a,b为非零向量,则“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条
5、件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析根据向量数量积的定义可知, 若ab0,则a与b的夹角为锐角或零角, 若a与b的夹角为锐角,则一定有ab0, 所以“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件. 解析在ABC中,由余弦定理得 TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一平面向量数量积的简单应用 多维探究 命题点1平面向量的模 例1(2020全国)设a,b为单位向量,且|ab|1,则|ab|_. 解析将|ab|1两边平方,得a22abb21. a2b21, 12ab11,即2ab1. 命题点2平面向量的夹角 例2(2020全国)已知向量a,b满足|a
6、|5,|b|6,ab6,则 cosa,ab等于 解析|ab|2(ab)2a22abb2 25123649, |ab|7, 命题点3平面向量的垂直 例3(2020全国)已知单位向量a,b的夹角为45,kab与a垂直, 则k_. 解析由题意知(kab)a0,即ka2ba0. 因为a,b为单位向量,且夹角为45, (1)求解平面向量模的方法 思维升华 (2)求平面向量的夹角的方法 解三角形法:把两向量的夹角放到三角形中. 跟踪训练1(1)(2020唐山模拟)已知e1,e2是两个单位向量,且|e1e2| ,则|e1e2|_.1 (2)(2019全国)已知非零向量a,b满足|a|2|b|,且(ab)b,
7、则a与b的 夹角为 解析设a与b的夹角为, (ab)b, (ab)b0, abb2, |a|b|cos |b|2, 又|a|2|b|, 整理可得(1)34cos 1209160, 例4(1)(2020新高考全国)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的 一点,则 A.(2,6) B.(6,2) C.(2,4) D.(4,6) 题型二平面向量数量积的综合运算 师生共研 解析如图,取A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系, 高考改编题已知P是边长为2的正方形ABCD内的一点,则 的 取值范围是_. 解析如图,取A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系, 则A(0,0),B(
8、2,0), (0,4) (2)(2019天津)在四边形ABCD中,ADBC,AB ,AD5,A 30,点E在线段CB的延长线上,且AEBE,则 _.1 解析方法一在等腰ABE中,易得BAEABE30,故BE2, 方法二在ABD中,由余弦定理可得 则cos cos(180ABD30)cos(ABD30) cosABDcos 30sinABDsin 30 在ABE中,易得AEBE2, 向量数量积综合应用的方法和思想 (1)坐标法. 把几何图形放在适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标, 这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决. (2)基向量法. 适当选取一组基底,写出向量
9、之间的联系,利用向量共线构造关于设定 未知量的方程来进行求解. (3)利用向量运算进行转化,化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题 是常规的解题思路和方法,以向量为载体考查三角形问题时,要注意正 弦定理、余弦定理等知识的应用. 思维升华 方法二如图, 以C为坐标原点,CA,CB所在的直线分别为x轴,y轴, 建立平面直角坐标系, 题型三平面向量的实际应用 多维探究 命题点1平面几何中的向量方法 例5已知平行四边形ABCD,证明:AC2BD22(AB2AD2). AC2BD22(AB2AD2). 命题点2向量在物理中的应用 例6若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态,已知 |F
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