第六章 §6.2 等差数列及其前n项和.pptx
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1、大一轮复习讲义 第六章数列 6.2等差数列及其前n项和 考试要求 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决 相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.等差数列的有关概念等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第 项起,每一项减去它的前一项所得的差 都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这
2、个常数叫做等 差数列的公差,通常用字母 表示,定义表达式为_ 或 . (2)等差中项 知识梳理 同一个常数 二 anan1d(常数) (n2,nN*)an1and(常数)(nN*) d 2.等差数列的有关公式等差数列的有关公式 (1)通项公式:an . (2)前n项和公式:Sn 或Sn . 3.等差数列的常用性质等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:anam (n,mN*). (2)若an为等差数列, 且klmn(k, l, m, nN*), 则 . (3)若an是等差数列,公差为d,则ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公 差为 的等差数列. a1(n1)d (nm)d akalam
3、an md (4)数列Sm,S2mSm,S3mS2m,也是等差数列. (5)S2n1(2n1)an. (6)等差数列an的前n项和为Sn, 为等差数列. 1.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗? 微思考 提示不一定.当公差d0时,Snna1,不是关于n的二次函数. 2.若数列的前n项和为SnAn2BnC(A0),则这个数列一定是等差数 列吗? 提示不一定.当C0时是等差数列. 题组一思考题组一思考辨析辨析 基础自测 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)等差数列an的单调性是由公差d决定的.() (2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.
4、 () (3)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an1anan2. () (4)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p,q为常数),则数列an 一定是等差数列.() 题组二教材题组二教材改编改编 2.已知在等差数列an中,a23,a35,则a9_.17 解析da3a22, a9a36d56(2)17. 解析a4a820, a13da17d20, 即a15d10, a7a16d12, 得d2. 3.已知在等差数列an中,a4a820,a712,则d_.2 4.已知an是等差数列,其前n项和为Sn,若a32,且S630,则S9 _.126 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.(多
5、选)设an是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S8, 则下列结论正确的是 A.dS5D.S6与S7均为Sn的最大值 解析S6S5a6S5, 则a60,S7S6a7S6, 则a70, 则da7a60,S8S7a8S7,a80, 则a9S9, 由a70,a60知S6,S7是Sn中的最大值. 从而ABD均正确. 解析|a3|a9|, |a12d|a18d|, 可得a15d, a6a15d0, 且a10,a50, 故Sn取最大值时n的值为5或6. 6.在等差数列an中,|a3|a9|,公差d0,则使数列an的前n项和Sn取 最大值的正整数n的值是_. 5或6 TIXINGTUPO HEXINTANJ
6、IU2题型突破 核心探究 题型一等差数列基本量的运算 自主演练 1.(多选)(2019全国改编)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S40, a55,则下列选项正确的是 A.a2a30 B.an2n5 C.Snn(n4) D.d2 a1a4a2a30,A正确; a5a14d5, a1a4a1a13d0, an3(n1)22n5,B正确,D错误; 2.(2020全国)记Sn为等差数列an的前n项和.若a12,a2a62,则 S10_.25 解析设等差数列an的公差为d, 则a2a62a16d2. 因为a12,所以d1. 3.(2020上海)已知an是公差不为零的等差数列,且a1a10a9, 则
7、_. 解析a1a10a9,a1a19da18d, 即a1d, a10a19d8d, 4.(2020新高考全国)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列 得到数列an,则an的前n项和为_.3n22n 解析方法一(观察归纳法) 数列2n1的各项为1,3,5,7,9,11,13,; 数列3n2的各项为1,4,7,10,13,. 观察归纳可知,两个数列的公共项为1,7,13,是首项为1,公差为6 的等差数列, 则an16(n1)6n5. 方法二(引入参变量法) 令bn2n1,cm3m2,bncm, 则2n13m2,即3m2n1,m必为奇数. 令m2t1,则n3t2(t1,2,3,). atb3t2c
8、2t16t5,即an6n5. 以下同方法一. 思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn, 知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”). (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d. 题型二等差数列的判定与证明 师生共研 例1(2021烟台模拟)已知在数列an中, a11, an2an11(n2, nN*). (1)记bnlog2(an1),判断bn是否为等差数列,并说明理由; 解bn是等差数列,理由如下: b1log2(a11)log221, 当n2时,bnbn1log2(an1)log2(an11) bn是以1为首项,1
9、为公差的等差数列. (2)求数列an的通项公式. 解由(1)知,bn1(n1)1n, an1 2n, an2n1. 2 n b 由已知得,(n2)an(n1)an12(n2)(n1), 判断数列an是等差数列的常用方法 (1)定义法:对任意nN*,an1an是同一常数. (2)等差中项法:对任意n2,nN*,满足2anan1an1. (3)通项公式法:对任意nN*,都满足anpnq(p,q为常数). (4)前n项和公式法:对任意nN*,都满足SnAn2Bn(A,B为常数). 思维升华 当n1时,上式不成立, (2)求数列an的通项公式. 题型三等差数列性质的应用 多维探究 命题点1等差数列项的
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