第二章 §2.3 幂函数与二次函数.docx
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1、2.3幂函数与二次函数幂函数与二次函数 考试要求1.了解幂函数的概念.2.结合函数 yx,yx2,yx3,y1 x, 1 2 yx的图象,了 解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等 式之间的关系解决简单问题 1幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,形如 yx的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,是常数 (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数yxyx2yx3 1 2 yx yx 1 图象 性 质 定义域RRRx|x0 x|x0 值域Ry|y0Ry|y0y|y0 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性 在 R 上单 调递增 在(,0
2、 上单调递减; 在(0,) 上单调递增 在R上单调 递增 在0,)上 单调递增 在(,0) 和(0,) 上单调递减 公共点(1,1) 2.二次函数的图象和性质 解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0 时,y0,故幂函数的图象一定经过第一象限,一定不 过第四象限 2二次函数的解析式有哪些常用形式? 提示(1)一般式:yax2bxc(a0); (2)顶点式:ya(xm)2n(a0); (3)零点式:ya(xx1)(xx2)(a0) 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 1 3 3yx 是幂函数() (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则
3、交点一定是原点() (3)二次函数 yax2bxc(a0),xm,n的最值一定是4acb 2 4a .() (4)二次函数 yx2mx1 在1,)上单调递增的充要条件是 m2.() 题组二教材改编 2已知幂函数 f(x)kx的图象过点 1 2, 2 2 ,则 k等于() A.1 2 B1C.3 2 D2 答案C 解析由幂函数的定义,知 k1, 2 2 k 1 2 . k1,1 2.k 3 2. 3.如图是yxa;yxb;yxc在第一象限的图象,则 a,b,c 的大小关系为() Acba Babc Cbca Dacb 答案D 4函数 g(x)x22x(x0,3)的值域为_ 答案1,3 解析由 g
4、(x)x22x(x1)21,x0,3, 得 g(x)在0,1上是减函数, 在1,3上是增函数, 所以 g(x)ming(1)1, 因为 g(0)0,g(3)3, 所以 g(x)在 x0,3上的值域为1,3 题组三易错自纠 5幂函数 2 1023 ( ) aa f xx (aZ)为偶函数,且 f(x)在区间(0,)上是减函数,则 a 等于 () A3B4C5D6 答案C 解析因为 a210a23(a5)22, 2 (5)2 ( ) a f xx (aZ)为偶函数, 且在区间(0,)上是减函数, 所以(a5)220,从而 a4,5,6, 又(a5)22 为偶数,所以只能是 a5,故选 C. 6函数
5、 yx2ax1 在区间1,2内单调,则实数 a 的取值范围是_ 答案(,24,) 解析函数 yx2ax1 的对称轴为 xa 2, 则a 21 或 a 22,解得 a2 或 a4. 题型一 幂函数的图象与性质 1若幂函数的图象经过点 2,1 4 ,则它的单调递增区间是() A(0,)B0,) C(,)D(,0) 答案D 解析设 f(x)x, 则 21 4, 2, 即 f(x)x 2, 它是偶函数, 单调递增区间是(, 0) 故 选 D. 2已知幂函数 2 23 (2()2 nn f xnnx (nZ)的图象关于 y 轴对称,且在(0,)上单调 递减,则 n 的值为() A3B1C2D1 或 2
6、答案B 解析由于 f(x)为幂函数,所以 n22n21,解得 n1 或 n3,经检验只有 n1 符合 题意,故选 B. 3若幂函数 yx 1,yxm与 yxn在第一象限内的图象如图所示,则 m 与 n 的取值情况为 () A1m0n1B1n0m1 2 C1m0n1 2 D1n0m0 时, yx在(0, )上单调递增, 且 01 时, 图象上凸, 0m1. 当0 时,yx在(0,)上单调递减 不妨令 x2,由图象得 2 12n,则1n0. 综上可知,1n0m32a0或32aa10或a1032a, 解得 a1 或2 3a 3 2. 思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第
7、一象限为六个区域, 即 x1,y1,yx 所分区域根据0,01 的取值确定位置后,其余象限 部分由奇偶性决定 (2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较 题型二 求二次函数的解析式 例 1 (1)函数 f(x)满足下列性质:定义域为 R,值域为1,);图象关于 x2 对称; 对任意 x1,x2(,0),且 x1x2,都有fx1fx2 x1x2 0.请写出函数 f(x)的一个解析式 _(只要写出一个即可) 答案f(x)x24x5(答案不唯一) 解析由二次函数的对称性、值域及单调性可得 f(x)的解析式可以为 f(x)(x2)21, 此时 f(x)图象的对称
8、轴为 x2,开口向上,满足, 因为对任意 x1,x2(,0),且 x1x2,都有fx1fx2 x1x2 4ac;c0;ac0;b0;abc0. 答案 解析由题图知,a0,c0,b0,ac0,故正确;又由题图知 f(1)0,即 abc0,故正确 命题点 2二次函数的单调性 例 3 函数 f(x)ax2(a3)x1 在区间1, )上单调递减, 则实数 a 的取值范围是() A3,0)B(,3 C2,0D3,0 答案D 解析当 a0 时,f(x)3x1 在1,)上单调递减,满足题意 当 a0 时,f(x)的对称轴为直线 x3a 2a , 由 f(x)在1,)上单调递减,知 a0, 3a 2a 1,
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