第二章 §2.7　函数与方程.docx

1、2.7函数与方程函数与方程 考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在性定理，并能简单应 用.3.了解用二分法求方程的近似解 1函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于函数 yf(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点 (2)函数零点与方程实数解的关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 (3)函数零点存在性定理 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么，函 数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c

2、)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根 2二分法 对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 000)的图象 与 x 轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点 零点个数210 微思考 1函数 f(x)满足什么条件，才能保证 f(x)在(a，b)上有唯一零点 提示f(x)在(a，b)上连续且单调，而且 f(a)f(b)0，则 f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点 2能否用二分法求任意方程的近似解 提示不能用二分法求方程的近似解应具备两个条件，一是方程对应的函数在零点附近连 续不断，二是该零点左、右的函数值异号 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(

3、请在括号中打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点() (2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)f(b)0，则 f(x)在(a，b)上没有零点() (4)二次函数 yax2bxc(a0)在 b24ac0 时没有零点() 题组二教材改编 2下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是() 答案C 解析对于选项 C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分 法求解 3已知函数 yf(x)的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表： x123456 y124.4357414.556.7123.6

4、则函数 yf(x)在区间1,6上的零点至少有() A2 个B3 个C4 个D5 个 答案B 解析由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数 f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零 点，所以 yf(x)在1,6上至少有 3 个零点 4若函数 f(x)x24xa 存在两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是_ 答案(，4) 题组三易错自纠 5函数 f(x)ax2x1 有且仅有一个零点，则实数 a 的值为() A1 4 B0C.1 4 D0 或1 4 答案D 解析当 a0 时，f(x)x1，令 f(x)0 得 x1， 故 f(x)只有一个零点为1. 当 a0 时，则14a0，a1

5、4. 综上有 a0 或1 4. 6若函数 f(x)axb 有一个零点 2，则函数 g(x)bx2ax 的零点是_ 答案0，1 2 解析由题意知 2ab0， 则 b2a， 令 g(x)bx2ax0， 得 x0 或 xa b 1 2， 所以 g(x)的零点为 0，1 2. 题型一 函数零点所在区间的判定 1(2021开封模拟)函数 f(x)xln x3 的零点所在的区间为() A(0,1)B(1,2) C(2,3)D(3,4) 答案C 解析f(x)在(0，)上单调递增， 且 f(2)ln 210， 故 f(x)在(2,3)上有唯一零点，故选 C. 2若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(x

6、b)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区 间() A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内 C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内 答案A 解析函数 yf(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于 abc，则 ab0，a c0，bc0，f(b)(bc)(ba)0.所以 f(a)f(b)0，f(b)f(c)0， f(x)1 3 1 x x3 3x ， 令 f(x)0 x3， f(x)00 x0，f(1) 1 30， f(x)在 1 e ，1 内无零点 又 f(e)e 310，f(x)在(1，e)内有零点 4已知 2a3b4，方程 logaxxb 的解 x0(n，n

7、1)，nN*，则 n_. 答案2 解析方程 logaxxb 的解， 即为函数 f(x)logaxxb 的零点， x0为 f(x)logaxxb 的零点， 2a3b4， f(x)在(0，)上单调递增， 又 f(2)loga22b0， x0(2,3)，即 n2. 思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数 yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否 有 f(a)f(b)0.若有，则函数 yf(x)在区间(a，b)内必有零点 (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断 题型二 函数零点个数的判定 例 1 (1)函数

8、f(x)2xx32 在区间(0,1)内的零点个数是() A0B1C2D3 答案B 解析方法一f(0)f(1)(1)110，且函数在定义域上单调递增且连续， 函数 f(x)在区间(0,1)内有且只有 1 个零点 方法二设 y12x，y22x3， 在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示， 在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为 f(x)的零点个数 故函数 f(x)在区间(0,1)内有且只有 1 个零点 (2)已知函数 yf(x)是周期为 2 的周期函数，且当 x1，1时，f(x)2|x|1，则函数 F(x) f(x)|lg x|的零点个数是() A9B10C11D18 答案B 解析由函数 yf(

9、x)的性质，画出函数 yf(x)的图象，如图，再作出函数 y|lg x|的图象， 由图可知，yf(x)与 y|lg x|共有 10 个交点， 故原函数有 10 个零点 思维升华 函数零点个数的判定有下列几种方法 (1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点 (2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0)， yln x(x0)的图象，如图所示由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2. (2)函数 ylg|x|sin x 的零点个数为_ 答案6 解析在平面直角坐标系中，分别作出 ylg|x|与 ysin x 的图

10、象， 如图所示， 由图可知，两函数图象共有 6 个交点，故原函数有 6 个零点 题型三 函数零点的应用 命题点 1根据函数零点个数求参数 例 2 已知函数 f(x) exa，x0， 2xa，x0 (aR)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实数 a 的取 值范围是() A(0,1B1，) C(0,1)D(，1 答案A 解析画出函数 f(x)的大致图象如图所示 因为函数 f(x)在 R 上有两个零点， 所以 f(x)在(， 0和(0，)上各有一个零点当 x0 时，f(x)有一个零点，需 00 时，f(x)有 一个零点，需a0.综上，0a1. 命题点 2根据函数零点范围求参数 例 3 函数

11、f(x)x2xkx2 在区间(1,2)内有零点，则实数 k 的取值范围是_ 答案(0,3) 解析令 f(x)0， x2xkx20， 即 k2x2 x， 即 yk 与(x)2x2 x，x(1,2)的图象有交点， 又(x)2x2 x在(1,2)上单调递增， 且(1)0，(2)3. 0k0 且 a1)的两个零点是 m，n，则( ) Amn1Bmn1 C0mn1，mn，画出函数 y|logax|，y 1 2 x的图象如图 所示， 结合图象可知 0m1，且logam 1 2 m，logan 1 2 n，以上两式两边相减可得 loga(mn) 1 2 n 1 2 m0，所以 0mn1， 若关于x的方程f(

12、x) 2a(aR)恰有两个不同的实根，则实数 a 的取值范围为() A. 1 2，1B. 1 2 C. 3 8， 1 2 (1，)DR 答案C 解析作出函数 f(x)的图象如图， 因为关于 x 的方程 f(x)2a 恰有两个不同实根， 所以 y2a 与函数 yf(x)的图象恰有两个交点，结合图象， 得 2a2 或3 41 或3 8a 1 2. 课时精练课时精练 1函数 f(x)ln x 2 x1的零点所在的区间是( ) A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5) 答案B 解析函数 f(x)ln x 2 x1在(1，)上单调递增，且在(1，)上连续因为 f(2)ln 2 20，所以 f(2

13、)f(3)0，所以函数的零点所在的区间是(2,3) 2(2021青岛模拟)已知 xa 是函数 1 2 ( )2log x f xx的零点，若 0 x00 Cf(x0)0Df(x0)的符号不确定 答案C 解析 1 2 ( )2log x f xx在(0，)上单调递增，且 f(a)0， 又 0 x0a，f(x0)f(a)0，即 f(x0)0. 3函数 f(x)xcos 2x 在区间0,2上的零点的个数为() A2B3C4D5 答案D 解析借助余弦函数的图象求解 f(x)xcos 2x0 x0 或 cos 2x0， 又 cos 2x0 在0,2 上有 4， 3 4 ， 5 4 ， 7 4 ，共 4

14、个根，故原函数有 5 个零点 4(2020济宁模拟)若函数 f(x)2x2 xa 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是 () A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2) 答案C 解析由条件可知 f(1)f(2)0， 即(22a)(41a)0，即 a(a3)0， 解得 0a0 有两个不同的零点，则实数 a 的取值可能为() A1B.1 2 C1D2 答案BC 解析当 x0 时，由 f(x)ln x0，得 x1. 因为函数 f(x)有两个不同的零点， 则当 x0 时，函数 f(x)2xa 有一个零点 令 f(x)0，得 a2x. 因为 02x201， 所以 00， 若 x1

15、x2x3x4，且 f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)k， 则下列结论正确的是() Ax1x21Bx3x41 C1x42D0k0， 作出其函数图象如图所示： 由图可知，x1x22，2x11； 当 y1 时，|log2x|1，有 x1 2，2， 所以1 2x 31x42； 由 f(x3)f(x4)，得|log2x3|log2x4|， 即 log2x3log2x40， 所以 x3x41， 由图可知 0k0， x2x2，x0， 则 f(x)的零点为_ 答案1 和 1 解析令 f(x)0 得 x0， xln x0 或 x0， x2x20， 解得 x1 或 x1， f(x)的零点为1 和 1. 9已

16、知函数 f(x)|1x2|a，若 f(x)有四个零点，则实数 a 的取值范围是_ 答案(1,0) 解析函数 yf(x)有四个零点， 即 ya 与 y|1x2|有四个交点， 作出函数 y|1x2|的图象如图， 由图可知 0a1，即1a0， 若函数 yf(f(x)m)有四个零点，则实数 m 的取值范 围是_ 答案3，1) 解析令 f(x)0 x2 或 1. 令 f(f(x)m)0 得 f(x)m2 或 f(x)m1， f(x)2m 或 f(x)1m. 作出 yf(x)的图象，如图所示 yf(f(x)m)有四个零点， f(x)2m，f(x)1m 各有两个根， 12m4， 11m4， 解得3m0， g

17、20， 解得1 2m0) (1)作出函数 f(x)的图象； (2)当 0ab 且 f(a)f(b)时，求1 a 1 b的值； (3)若方程 f(x)m 有两个不相等的正根，求实数 m 的取值范围 解(1)函数 f(x)的图象如图所示 (2)因为 f(x)|1 1 x| 1 x1，x0，1， 11 x，x1， 故 f(x)在(0,1上单调递减，在(1，)上单调递增， 由 0ab 且 f(a)f(b)，得 0a1b， 且1 a11 1 b，所以 1 a 1 b2. (3)由函数 f(x)的图象可知，当 0m1 时，方程 f(x)m 有两个不相等的正根，即实数 m 的取 值范围为(0,1) 13(2

18、020长沙统考)已知函数 f(x)|ex1|1，若函数 g(x)f(x)2f(x)a有三个零点， 则实数 a 的取值范围是() A(2，1)B(1,0) C(0,1)D(1,2) 答案A 解析作出 f(x)的图象如图所示， 令 g(x)0， f(x)2 或 f(x)a， f(x)2 有一解， f(x)a 有两解 由图知 1a2， 即2a0)恰有三个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是_ 答案 1 2，1 解析f(x)为偶函数，且 T2， 当 x0,1时，f(x)2x， 作出函数 yf(x)的图象如图， 方程 axaf(x)0(a0)有三个解， 即 yf(x)与 yaxa 有三个交点， 又

19、yaxaa(x1)恒过定点(1,0)， 如图，kAB1，kAC1 2， 故1 2a1. 15对于函数 f(x)和 g(x)，设x|f(x)0，x|g(x)0，若存在，使得|1，则 称 f(x)与 g(x)互为“零点相邻函数”若函数 f(x)ex 1x2 与 g(x)x2ax1 互为“零点 相邻函数”，则实数 a 的取值范围是() A. 2，5 2B2，) C2,2D(，22，) 答案B 解析f(x)ex 1x2，f(x)在 R 上单调递增， 又 f(1)e0120， f(x)有唯一零点为 1， 令 g(x)的零点为 x0， 依题意知|x01|1，即 0 x02， 即函数 g(x)在(0,2)上

20、有零点， 令 g(x)0，则 x2ax10 在(0,2)上有解， 即 ax1 x在(0,2)上有解， x1 x2，当且仅当 x 1 x， 即 x1 时取等号，a2. 16定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x0 时，f(x) 2 x12，x0，1， 1|x3|，x1， 求函数 F(x) f(x)1 的所有零点之和 解由题意知，当 x0 时， f(x) 2 x12，x1，0， |x3|1，x，1， 作出函数 f(x)的图象如图所示， 设函数 yf(x)的图象与 y1 交点的横坐标从左到右依次为 x 1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称 性可知，x1x26，x4x56，x1x2x4x50， 令 2 x12 1 ，解得 x 3 1 12， 所以函数 F(x)f(x)1 的所有零点之和为 1 12.