第八章 §8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

1、8.4直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 考试要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和 圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 1直线 AxByC0 与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系的判断 位置关系相交相切相离 公共点个数2 个1 个0 个 判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离 d|AaBbC| A2B2 dr 代数法：由 AxByC0 xa2yb2r2 消元得到一元二次方程根的判别式 00r1r2dr1r2|r1r2|d r1r2d|r1r2|(r1r2) 0d0相交 0内切或外切 0内含或外离. 微思考 1过一点圆

2、的切线有几条？ 提示应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在 圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条 2用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？ 提示不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程 组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况 3当两圆相交时，怎样求两圆公共弦所在直线的方程？ 提示两圆方程相减得到的直线方程即为两圆公共弦所在的直线的方程 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号内打“”或“”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心() (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线()

3、(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切() (4)过圆 O：x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0 xy0yr2.() 题组二教材改编 2直线 yx1 与圆 x2y21 的位置关系为() A相切B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离 答案B 3直线 l：3xy60 与圆 x2y22x4y0 相交于 A，B 两点，则 AB_. 答案10 4两圆 x2y22y0 与 x2y240 的位置关系是_ 答案内切 题组三易错自纠 5(多选)直线 xym0 与圆 x2y22x10 有两个不同交点的一个充分不必要条件是 () A0m1B1m0 Cm1D3m0，

4、得3m1. m|0m1m|3m1，m|1m0m|3m1， 0m1 和1m2，点 A(3,5)在圆外显然，当切线斜率不存在时，直线 与圆相切，即切线方程为 x30，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为 y5k(x3)， 即 kxy53k0.又圆心为(1,2)，半径 r2，而圆心到切线的距离 d|32k| k212， 即|32k|2 k21，k 5 12， 故所求切线方程为 5x12y450 或 x30. 题型一 直线与圆的位置关系 例 1 (1)(多选)已知圆 C：(x1)2(y2)225，直线 l：(2m1)x(m1)y7m40.则以 下几个命题正确的有() A直线 l 恒过定点(3,1)B直

5、线 l 与圆 C 相切 C直线 l 与圆 C 恒相交D直线 l 与圆 C 相离 答案AC 解析将直线 l 的方程整理为 xy4m(2xy7)0， 由 xy40， 2xy70， 解得 x3， y1. 则无论 m 为何值，直线 l 过定点(3,1)，故直线 l 与圆 C 恒相交，故 AC 正确 (2)若圆 x2y2r2(r0)上恒有 4 个点到直线 l：xy20 的距离为 1，则实数 r 的取值范围 是() A( 21，)B( 21， 21) C(0， 21)D(0， 21) 答案A 解析计算得圆心到直线 l 的距离为 2 2 21，如图直线 l：xy20 与圆相交，l 1，l2与 l 平行，且与

6、直线 l 的距离为 1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线 l2的距离 21. 思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系 (2)代数法：联立方程之后利用判断 (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 跟踪训练 1 (1)已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O 的位置关系是 () A相切B相交 C相离D不确定 答案B 解析因为 M(a，b)在圆 O：x2y21 外， 所以 a2b21，而圆心 O 到直线 axby1 的距离 d|a0b01| a2b2 1 a2b20)相交， 则 r

7、的取值范围是 () A0r1B0r1 答案D 解析圆心到直线的距离 d 1 cos2sin21，故 r1. 题型二 圆的切线、弦长问题 命题点 1切线问题 例 2 (1)(2020银川模拟)与 3x4y0 垂直，且与圆(x1)2y24 相切的一条直线是() A4x3y6B4x3y6 C4x3y6D4x3y6 答案B 解析设与直线 3x4y0 垂直的直线方程为 l：4x3ym0， 直线 l 与圆(x1)2y24 相切，则圆心(1,0)到直线 l 的距离为半径 2，即|4m| 5 2， 所以 m6 或 m14，所以 4x3y60，或 4x3y140，结合选项可知 B 正确 (2)(2019浙江)已

8、知圆 C 的圆心坐标是(0，m)，半径长是 r.若直线 2xy30 与圆 C 相切于 点 A(2，1)，则 m_，r_. 答案25 解析方法一设过点 A(2， 1)且与直线 2xy30 垂直的直线方程为 l： x2yt0， 所以22t0，所以 t4，所以 l：x2y40，令 x0，得 m2，则 r 202122 5. 方法二因为直线 2xy30 与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为 A(2，1)，所以 m1 0221，所以 m2，r 20 2122 5. 命题点 2弦长问题 例 3 (1)(多选)已知圆 M 的一般方程为 x2y28x6y0，则下列说法中正确的是() A圆 M 的圆心为(4

9、，3) B圆 M 被 x 轴截得的弦长为 8 C过原点的最短弦长为 8 D圆 M 被 y 轴截得的弦长为 6 答案ABD 解析圆 M 的一般方程为 x2y28x6y0， 则(x4)2(y3)225.圆的圆心坐标为(4，3)，半径为 5.过原点的最短弦长为 6，选项 C 不正确ABD 均正确 (2)过点 P(0,2)引一条直线 l 交圆(x1)2y24 于 A，B 两点，若 AB2 3，则直线 l 的方程 为_ 答案x0 或 3x4y80 解析当直线 l 的斜率不存在时， 其方程为 x0， 可求出它与圆(x1)2y24 的两交点坐标 分别为(0， 3)，(0， 3)，所以弦长 AB2 3，满足题

10、意当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx2，即 kxy20. 如图，设圆心为 C，点 D 是弦 AB 的中点，连结 CD，AC， 则 CDAB.在 RtADC 中，ADC90，ACr2，AD1 2AB 3， 故 CD AC2AD2 431，即 |k2| 1k21，解得 k 3 4， 这时直线 l 的方程为 3x4y80. 故所求直线方程为 x0 或 3x4y80. 思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法 (2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形 (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题 跟踪

11、训练 2 (1)已知过原点的直线 l 与圆 C：x2y26x50 相交于不同的两点 A，B，且线 段 AB 的中点坐标为 D(2， 2)，则弦长为() A2B3C4D5 答案A 解析将圆 C：x2y26x50 整理，得其标准方程为(x3)2y24，所以圆 C 的圆心坐 标为(3,0)，半径为 2.因为线段 AB 的中点坐标为 D(2， 2)，所以 CD 12 3，所以 AB 2 432. (2)过直线y2x3上的点作圆C： x2y24x6y120的切线， 则切线长的最小值为() A. 19B2 5C. 21D. 55 5 答案A 解析圆的方程可化为(x2)2(y3)21，要使切线长最小，只需直

12、线 y2x3 上的点和 圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，3)到直线 y2x3 的距离 d，d2233 5 2 5，故切线长的最小值为 d2r2 19. (3)过点(2,0)引直线 l 与圆 x2y22 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 面积取最大 值时，直线 l 的斜率为_ 答案 3 3 解析由题意可得，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 yk(x2)， 即 kxy2k0，当AOB 面积取最大值时，OAOB，此时圆心 O 到直线的距离为 d1， 由点到直线的距离公式得 d |2k| 1k21k 3 3 . 题型三 圆与圆的位置关系 例

13、4 已知两圆 x2y22x6y10 和 x2y210 x12ym0.求： (1)m 取何值时两圆外切？ (2)求 m45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 解两圆的标准方程分别为 (x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m， 圆心分别为 M(1,3)，N(5,6)， 半径分别为 11和 61m. (1)当两圆外切时， 512632 11 61m. 解得 m2510 11. (2)两圆的公共弦所在直线的方程为 (x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0，即 4x3y230. 由圆的半径、 弦长、 弦心距间的关系， 不难求得公共弦的长为 2 112 |43323| 4

14、232 2 2 7. 思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之 间的关系，一般不采用代数法 (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2，y2项得到 跟踪训练 3 (1)已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是() A内切B相交 C外切D相离 答案B 解析由题意得圆 M 的标准方程为 x2(ya)2a2， 圆心(0， a)到直线 xy0 的距离 d a 2， 所以 2a2a 2 2 2 2，解得 a2，圆 M，圆 N 的圆心距 M

15、N 2小于两圆半径之和 12， 大于两圆半径之差 1，故两圆相交 (2)若圆 x2y2a2与圆 x2y2ay60 的公共弦长为 2 3，则 a_. 答案2 解析两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a2ay60.原点到a2ay60的距离为d | 6 aa|. 公共弦长为 2 3，a2( 3)2| 6 aa|2， a24，a2. 公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中，曾研究了众多 的平面轨迹问题，其中有如下结果： 到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆如图，点 A，B 为两定点，动点 P 满 足 PAPB. 则1 时，动点 P 的轨迹为直线；当0

16、且1 时，动点 P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗 尼斯圆 证明：设 AB2m(m0)，PAPB，以 AB 的中点为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标 系， 则 A(m,0)，B(m,0) 又设 P(x，y)，则由 PAPB 得 xm2y2 xm2y2， 两边平方并化简整理得(21)x22m(21)x(21)y2m2(12) 当1 时，x0，轨迹为线段 AB 的垂直平分线； 当0 且1 时， x 21 21m 2y2 42m2 212，轨迹为以点 21 21m，0为圆心，| 2m 21|为半 径的圆 上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理 例 1 在平面直角坐标系 xOy 中，设点

17、 A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a2)，若存在点 P， 使得 PA 2PB，PCPD，则实数 a 的取值范围是_ 答案2 21,2 21 解析设 P(x，y)，则 x12y2 2 x32y2，整理得(x5)2y28，即动点 P 在以 (5,0)为圆心，22为半径的圆上运动另一方面，由 PCPD 知动点 P 在线段 CD 的垂直平 分线 ya1 上运动，因而问题就转化为直线 ya1 与圆(x5)2y28 有交点所以|a 1|2 2.故实数 a 的取值范围是2 21,2 21 例 2 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l：y2x4，设圆 C 的半径

18、为 1， 圆心在 l 上 (1)若圆心 C 也在直线 yx1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程； (2)若圆 C 上存在点 M，使 MA2MO，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 解(1)联立 yx1， y2x4， 得圆心为 C(3,2) 切线的斜率存在，设切线方程为 ykx3. 圆心 C 到切线的距离 d|3k32| 1k2 r1， 得 k0 或 k3 4. 故所求切线方程为 y3 或 3x4y120. (2)设点 M(x，y)，由 MA2MO， 知 x2y322 x2y2， 化简得 x2(y1)24. 即点 M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2 为半径的圆， 可记为圆 D. 又

19、因为点 M 也在圆 C 上，故圆 C 与圆 D 的关系为相交或相切 故 1CD3， 其中 CD a22a32. 解得 0a12 5 . 即圆心 C 的横坐标 a 的取值范围是 0，12 5 . 课时精练课时精练 1直线 l：mxy1m0 与圆 C：x2(y1)25 的位置关系是() A相交B相切 C相离D不确定 答案A 解析方法一由题意知，圆心(0,1)到直线 l 的距离 d |m| m211 5，故直线 l 与圆相交 方法二直线 l：mxy1m0 过定点(1,1)， 因为点(1,1)在圆 x2(y1)25 的内部， 所以直线 l 与圆相交 2圆 O1：x2y22x0 和圆 O2：x2y24y

20、0 的位置关系是() A相离B相交C外切D内切 答案B 解析圆 O1的圆心坐标为(1,0)，半径长 r11，圆 O2的圆心坐标为(0,2)，半径长 r22，所 以两圆的圆心距 d 5，而 r2r11，r1r23，则有 r2r1d0，a2， 圆心到直线 xy40 的距离 d|114| 2 2 2. 则弦长为 2 2a22 222 a615，故15a0)上存在点 P， 且点 P 关于直线 xy0 的对称点 Q 在圆 C2：(x2)2(y1)21 上，则 r 的取值范围是 _ 答案 21， 21 解析圆 C1关于直线 xy0 对称的圆 C3的方程为(x1)2y2r2(r0)，则圆 C3与圆 C2存

21、在公共点，所以|r1| 2r1，所以 r 21， 21 15已知直线 l：xy10 截圆：x2y2r2(r0)所得的弦长为 14，点 M，N 在圆上， 且直线 l：(12m)x(m1)y3m0 过定点 P，若 PMPN，则 MN 的取值范围为() A2 2，2 3B2 2，2 2 C 6 2， 6 3D 6 2， 6 2 答案D 解析由题意得，2r21 2 14，解得 r2，因为直线 l：(12m)x(m1)y3m0 过定点 P，故 P(1,1)；设 MN 的中点为 Q(x，y)，则 OM2OQ2MQ2OQ2PQ2，即 4x2 y2(x1)2(y1)2，化简可得 x1 2 2 y1 2 23

22、2，所以点 Q 的轨迹是以 1 2， 1 2 为圆心， 6 2 为半径的圆， P 到圆心 1 2， 1 2 的距离为 2 2 ， 所以 PQ 的取值范围为 6 2 2 ， 6 2 2， MN 的取值范围为 6 2， 6 2 16已知圆 C 经过(2,4)，(1,3)两点，圆心 C 在直线 xy10 上，过点 A(0,1)且斜率为 k 的 直线 l 与圆 C 相交于 M，N 两点 (1)求圆 C 的方程； (2)请问AM AN 是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； 若OM ON 12(O 为坐标原点)，求直线 l 的方程 解(1)设圆 C 的方程为(xa)2(yb)2r2， 依题意

23、，得 2a24b2r2， 1a23b2r2， ab10， 解得 a2， b3， r1， 圆 C 的方程为(x2)2(y3)21. (2)AM AN 为定值 过点 A(0,1)作直线 AT 与圆 C 相切，切点为 T， 易得 AT27， AM AN |AM |AN |cos 0AT27， AM AN 为定值，且定值为 7. 依题意可知，直线 l 的方程为 ykx1，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，将 ykx1 代入(x2)2 (y3)21， 并整理，得(1k2)x24(1k)x70， x1x241k 1k2 ，x1x2 7 1k2， OM ON x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)14k1k 1k2 812，即4k1k 1k2 4，解得 k 1， 又当 k1 时，0，k1， 直线 l 的方程为 yx1.