2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）.doc

1、数学试题 第 1页（共 19页） 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考卷） 压轴题解读 8.有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球甲 表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件 “两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则 A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立 C乙与丙相互独立D丙与丁相互独立 【命题意图】考查相互独立事件的概率，考查逻辑推理，数学运算的能力 【答案】B 【解析】设甲、乙、丙、丁事件的发生概率分别为( ), ( ), ( ),

2、 (),P A P B P CP D 115561 ( ), ( ), ( ), () 666 6366 66 P AP BP CP D , 111111 ()0, (), (), ()0 66366636 P ACP ADP BCP D, 跟聚相互独立事件的性质，知 1 ()( )() 36 P ADP AP D，故选 B. 12.在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 1ABAA，点P满足 1 BPBCBB ，其中0,1，0,1， 则 A当1 时， 1 AB P的周长为定值 B当1 时，三棱锥 1 PABC的体积为定值 C当 1 2 时，有且仅有一个点P，使得 1 APBP D当 1 2

3、 时，有且仅有一个点P，使得 1 AB 平面 1 AB P 【命题意图】考查空间几何体的体积，线线，线面的垂直，考查逻辑推理，空间想象能力 【答案】BD 【解析】对于A，当1时，点P在线段 1 CC上，此时 1 AB P的周长为 11 ABB PAP， 当点P为 1 CC的中点时， 1 AB P的周长为52， 当点P在点 1 C处时， 1 AB P的周长为2 21， 故周长不为定值，故选项A错误； 数学试题 第 2页（共 19页） 对于B，当1时，点P在线段 11 BC上， 因为 11/ / BC平面 1 ABC， 所以直线 11 BC上的点到平面 1 ABC的距离相等， 又 1 ABC的面积

4、为定值， 所以三棱锥 1 PA BC的体积为定值，故选项B正确； 对于C，当 1 2 时，取线段BC， 11 BC的中点分别为M， 1 M，连结 1 M M， 则点P在线段 1 M M上， 当点P在 1 M处时， 1111 AMBC， 111 AMB B， 又 1111 BCB BB ，所以 11 AM 平面 11 BBC C， 数学试题 第 3页（共 19页） 又 1 BM 平面 11 BBC C，所以 111 AMBM，即 1 APBP， 同理，当点P在M处， 1 APBP，故选项C错误； 对于D，当 1 2 时，取 1 CC的中点 1 D， 1 BB的中点D，则点P在线的 1 DD上，

5、当点P在点 1 D处时，取AC的中点E，连结 1 A E，BE， 因为BE 平面 11 ACC A，又 1 AD 平面 11 ACC A，所以 1 ADBE， 在正方形 11 ACC A中， 11 ADAE， 又 1 BEAEE ，BE， 1 AE 平面 1 A BE， 故 1 AD 平面 1 A BE，又 1 AB 平面 1 A BE，所以 11 ABAD， 在正方体形 11 ABB A中， 11 A BAB， 又 11 ADABA ， 1 AD， 1 AB 平面 11 AB D，所以 1 A B 平面 11 AB D， 因为过定点A与定直线 1 A B垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一

6、个点P，使得 1 A B 平面 1 AB P，故选项D正确 数学试题 第 4页（共 19页） 故选：BD 16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规格为 20 dm 12 dm的长方形纸，对折 1 次共可以得到10 dm 12 dm，20 dm6 dm两种规格的图形，它们 的面积之和 2 1 240 dmS ，对折 2 次共可以得到5dm 12 dm，10 dm6 dm，20 dm3dm三种规格的 图形，它们的面积之和 2 2 180 dmS ，以此类推则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为 _；如果对折n次，那么 1 n k k S _ 2 dm 【

7、命题意图】考查数学建模，数列求和，错位相减法，考查数学建模，数学运算能力 【答案】5， 3 240(3) 2 n 【解析】对折 3 次共可以得到 33 12,56,103,20, 22 dmdmdmdmdmdmdmdm 4 种规格的图形，面积之和 2 3=4 30=120 Sdm； 对折 4 次共可可以得到 5533 12,6,53,10,20, 4224 dmdmdmdmdmdmdmdmdmdm 五种规格的图形， 2 4=5 15=75 Sdm； 可以归纳对折 n 次可得 n+1 种规格的图形 2 240 =(n+1)=75 2 n n Sdm 则 12 123 1 2341 =240 22

8、22 n kn n k n SSSS 记 123 2341 2222 n n n T 1 则 2341 12341 222222 n nn nn T 2 数学试题 第 5页（共 19页） 1与2相减可得 12311 112111133 222222222 nnn nnn nn TTT 故 1 33 22 n n n T ，故 2 1 3 2402403 2 n kn n k n STdm . 21（12 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知点 1( 17, 0)F ， 2( 17, 0) F，点M满足 12 |2MFMF记M的 轨迹为C （1）求C的方程； （2）设点T在直线 1 2 x 上，

9、过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且 | | |TATBTPTQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和 【命题意图】考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，考查逻辑推理，数学运算能力 【解析】（1） 12 17,| 221,CMFMFaa 又 222 cab，则 2 16b ，则 2 2 1(1) 16 y xx. （2）设 1 , 2 TM 直线 AB 的倾斜角为 1 Q，直线 PQ 倾斜角为 2 Q， 则直线 AB 参数方程 1 1 1 cos, 2 sin xt ymt 与 2 2 1(1) 16 y xx联立 则 2222 1111 16cossin16cos2si

10、n(12)0ttm， 则 2 22 11 (12) | 16cossin m TA TB ，同理 2 2222 1122 22 22 (12) |16cossin16cossin 16cossin m TP TQ 22 12 coscos，又 AB 与 TQ 为不同直线，则 12 coscos， 于是 12 则 12 0kk 22（12 分）已知函数( )(1ln )f xxx 数学试题 第 6页（共 19页） （1）讨论( )f x的单调性； （2）设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab，证明： 11 2e ab 【命题意图】考查利用导数研究函数的单调性，证明不等式，考查逻辑推理

11、，数学运算的能力 【解析】（1）首先 x0，( )lnfxx ， 当0,1x时，( )0,( )fxf x递增；当1,x时，( )0,( )fxf x递减. 观察端点， 0000 2 1 1 ln lim( )limlimlim0 11xxxx x x f xx xx 令 0 (0)lim( )0, x ff x 则( )f x在 x=0 处连续，容易发现( )0f e . （2） 111111 lnlnlnlnbaabab aaabbb ，令 1212 11 ,xxxx ab ，不妨设 12 xx 则由（1）知： 12 01xxe ， 待证结论 12 2.xxe 下面证明 12 2xx 令(

12、 )( )(2),0,1 ,( )ln( (2)0,g xf xfx xg xxx 所以( )g x在0,1上递增，所以 111 0(1)()()(2)gg xg xfx 即 112 (2)()()fxf xf x，又( )f x在1,上递减，所以 12 2,xx即 12 2xx. 方法一：再证明： 12 xxe，当 2 1xe时，结论显然； 当 2 1,xee时， 121222 ()()()()xexf xf exf xf ex， 2 1,xee 令( )( )(),(1, )h xf xf ex xee， ( )ln( (),h xx ex 而( )()0,1h xx exe， 则( )h

13、 x递减， 则( )h x在1,ee上先减后增， 故( )0,1,h xxee ，则 2 ()0,h x即 22 ()()f xf ex 故 12 ()(),f xf ex结合当0,1x时，( )f x递增，有 12, xex即 12 xxe.证毕. 数学试题 第 7页（共 19页） 方法二：( )f x在,0e的切线( ) xex， 令( )( )( )2ln,0,F xf xxxxxe xe， ( )1 ln0,F xx 所以( )F x递增，( )( )0F xF e，所以0,xe，( )( )f xx 令 12 ()(),tf xf x则 2222 ()()tf xxextxe 又 1

14、111 ()(1 ln),0,1tf xxxx 所以 111 (1 ln)txxx，即 122 xxtxe .证毕. 压轴题模拟 1 （2021山东省山东省青岛二中高三模拟青岛二中高三模拟） ）某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为赛制为 3 局局 2 胜制胜制， 若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是 1 1 2 pp ，记比赛的最终局数为随机变量，记比赛的最终局数为随机变量X， 则（则（） A 2 (2)P XpB(3)(1)P Xpp C 5 () 2 E X D 1 () 4 D X 【答案】【答案

15、】C 【解析】赛制为 3 局 2 胜制，比赛没有平局，因此随机变量X的可能值为 2 或 3， 222 (2)(1)221P Xpppp，A 错； 222 (3)(1)(1)(1)(1) (1)22P Xp ppp pppp pppp ，B 错； 2222 15 ()2(221)3( 22 )2222() 22 E Xppppppp ， 因为 1 1 2 p，所以 5 ()(2, ) 2 E X ，C 正确； 记 2 222ppt， 5 (2, ) 2 t， 2222 ()4 (221)9 ( 22 )1010456E Xppppppt ， 数学试题 第 8页（共 19页） 2222 51 ()

16、()()56() 24 D XE XEXttt ， 因为 5 (2, ) 2 t，所以 1 () 4 D X ，D 错 故选：C 2（湖南省株洲市湖南省株洲市 2021 届高三下学期教学质量统一检测届高三下学期教学质量统一检测（二二）数学试题数学试题）高铁是当代中国重要的一高铁是当代中国重要的一 类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有， 两条路线可走，路线两条路线可走，路线穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布穿过市区，路程较短但交通拥挤，

17、所需时间（单位为分钟）服从正态分布 50,100N；路线；路线走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分 布布60,16N，若住同一地方的甲若住同一地方的甲、乙两人分别有乙两人分别有70分钟与分钟与64分钟可用分钟可用，要使两人按时到达车站的要使两人按时到达车站的 可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（） A、B、C、D、 【答案】【答案】B 【解析】 对于甲， 若有70分钟可走， 走第一条线路赶到的概率为 7050 702 10 P X ， 走第二条线路赶到的概率为

18、 7060 702.5 4 P X ， 22.5 ，所以甲应走线路； 对于乙，若有64分钟可走，走第一条线路的概率为 6450 641.4 10 P X ， 走第二条线路赶到的概率为 6460 641 4 P X ， 1.41 ，所以乙应走线路.故选：B. 3 （江苏省泰州中学江苏省泰州中学 2021 届高三下学期四模数学试题届高三下学期四模数学试题）如图如图，在正方体在正方体 1111 ABCDABC D，中中，E 是棱是棱 11 AB的中点，的中点，P是线段是线段 1 AC（不含端点）上的一个动点，那么在点（不含端点）上的一个动点，那么在点P的运动过程中，下列说法的运动过程中，下列说法 中

19、正确的有（中正确的有（） 数学试题 第 9页（共 19页） A存在某一位置，使得直线存在某一位置，使得直线PE和直线和直线 1 BB相交相交 B存在某一位置，使得存在某一位置，使得/BC平面平面AEP C点点 1 A与点与点 1 B到平面到平面PBE的距离总相等的距离总相等 D三棱锥三棱锥 1 CPBE的体积不变的体积不变 【答案】【答案】BCD 【解析】对于 A，假设存在，则 1 , ,B B E P四点共面，而点P不在平面 1 BB E内，故 A 错误 对于 B，因为/BC AD，所以/BC平面AED，所以当P是直线 1 AC与平面AED的交点时就满足要 求，故 B 正确 对于 C，因为

20、11 AB的中点E在平面PBE内，所以点 1 A与点 1 B到平面PBE的距离总相等，故 C 正确 对于 D，连接 1 BC，交 1 BC于 O，则 O 为 1 BC中点， 所以 1 EOAC ，又EO 平面 1 BC E， 1 AC 平面 1 BC E， 所以 1 /AC平面 1 BC E，所以点P到平面 1 BC E的距离为定值， 从而三棱锥 1 PBC E的体积为定值，即三棱锥 1 CPBE的体积为定值，故 D 正确 数学试题 第 10页（共 19页） 故选：BCD 4 （百师联盟山东新高考百师联盟山东新高考 2021 届高三届高三 5 月冲刺卷月冲刺卷 （一一） 数学试题数学试题） 如

21、图如图， 在正方体在正方体 1111 ABCDABC D 中中，E，F分别是分别是 11 AD， 11 C D的中点的中点，G为线段为线段BC上的动点上的动点(不含端点不含端点)，则下列结论中正确的是则下列结论中正确的是 （） A/AC平面平面EFG B存在点存在点G使得使得EFFG C存在点存在点G使得异面直线使得异面直线AB与与EG所成的角为所成的角为 60 D三棱锥三棱锥 1 GEFD的体积为定值的体积为定值 【答案】【答案】ABD 【解析】如图，易证/EF AC，AC 平面EFG，则有/AC平面EFG，故 A 正确； 设CD中点为M，若G为BC中点，则有ACMG，ACMF，MGMFM，

22、 则AC 平面MFG，则ACFG， 数学试题 第 11页（共 19页） 因为/EF AC，所以EFFG，故 B 正确； 设正方体棱长为 2，取 11 BC中点为N，连接EN， 因为/EN AB，所以异面直线AB与EG所成的角即为NEG， 在直角三角形NEG中， 5 tan3 2 NGNB ENEN ，即60，故 C 错误； 易知点G到平面 1 EFD的距离为定值，则三棱锥 1 GEFD的体积为定值，故 D 正确. 故选：ABD 5（2021济南市济南市山东省实验中学高三月考）山东省实验中学高三月考）大衍数列来源于乾坤谱中对易传大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十大衍之数五十” 的推论的推

23、论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾都代表太极衍生过程中曾 经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题，其前经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题，其前 10 项依项依 次是次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第，则此数列的第 50 项为项为_，前，前2n项和项和 2n S_.(附：附： 2222 121 123 6 n nn n ) 【答案】【答案】1250 141 3 n nn 【解析】 设

24、该数列为 n a. 因为 42 6aa ， 64 10aa， 86 14aa， 所以当2n 时， 222 412 nn aan ， 从而当2n 时， 2 22 12 61422 2 n nn aann ， 所以 2 2 2 n an. 又 2 2a 适合上式，所以 2 2 2 n an， 于是 2 50 2 251250a. 数学试题 第 12页（共 19页） 因为 31 4aa， 53 8aa， 75 12aa， 所以当2n 时， 2123 41 nn aan ， 从而当2n 时， 1 2 21 12 41422 2 n nn aannn ， 所以 2 21 22 n ann . 又 1 0

25、a 适合上式，所以 2 21 22 n ann ， 于是 2 212 42 nn aann ， 所以 21234212nnn Saaaaaa 2222 412321 23nn 1211 42 62 n nnn n 141 3 n nn . 故答案为：1250， 141 3 n nn . 6（2021山东山东枣庄滕州一中高三模拟）枣庄滕州一中高三模拟）“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三 丈丈”其白话意译为其白话意译为：“现有一善织布的女子现有一善织布的女子，从第从第 2 天开始天开始，每天比前一天多织相同数量的布每天比前一天多织

26、相同数量的布，第一第一 天织了天织了 5 尺布尺布，现在一个月现在一个月（按按 30 天计算天计算）共织布共织布 390 尺尺”则每天增加的数量为则每天增加的数量为_尺尺，设该女子设该女子 一个月中第一个月中第 n 天所织布的尺数为天所织布的尺数为 n a，则，则 14151617 aaaa_ 【答案】【答案】 16 29 52 【解析】设从第 2 天开始,每天比前一天多织 d 尺布, 则 30 30 29 30 5390 2 Sd , 解得 16 29 d ,即每天增加的数量为 16 29 ， 数学试题 第 13页（共 19页） 141516171111 13141516aaaaadadad

27、ad 1 458ad 16 4 55852 29 ，故答案为 16 29 ，52. 7（2021济南市济南市山东省实验中学高三月考山东省实验中学高三月考）已知抛物线已知抛物线D的顶点是椭圆的顶点是椭圆 22 1 43 xy 的中心的中心，焦点焦点 与该椭圆的右焦点重合与该椭圆的右焦点重合. （1）求抛物线）求抛物线D的方程；的方程； （2）已知动直线已知动直线l过点过点4,0P，交抛物线交抛物线 D 于于 A、B 两点两点，是否存在垂直于是否存在垂直于x轴的直线轴的直线m被以被以AP 为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存

28、在，说明理由的方程；如果不存在，说明理由. 【解析】（1）由题意，设抛物线方程为 y22px（p0）， 由椭圆 22 1 43 xy 知， 222 431cab ，所以 c1， 抛物线的焦点为（1，0）， 2 p 1，即 p2， 抛物线 D 的方程为 y24x. （2）设存在直线 m：xa 满足题意， 11 ,A x y， 则圆心 11 4 (,) 22 xy M ，过 M 作直线 xa 的垂线，垂足为 E， 设直线 m 与圆 M 的一个交点为 G，可得|EG|2|MG|2|ME|2， 即|EG|2|MA|2|ME|2 22 2 111 (4)4 () 42 xyx a 22 22 11 11

29、 (4)(4)1 (4) 44 xx ya xa 22 1111 4(4)(3)4xxa xaaxaa， 当 a3 时，|EG|23，此时直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为定值2 3， 数学试题 第 14页（共 19页） 因此存在直线 m：x3 满足题意. 8（浙江省嘉兴市海宁市浙江省嘉兴市海宁市 2021 届高三下学期届高三下学期 5 月适应考试数学试题月适应考试数学试题）抛物线抛物线 2 :2C ypx的焦点的焦点为为 F，准线为准线为, l P是抛物线上一点是抛物线上一点，过过 F 的直线交抛物线于的直线交抛物线于 A，B 两点两点，直线直线 AP BP 分别交准线分

30、别交准线l于于 M N.当当/ /ABl，点，点 P 恰好与原点恰好与原点 O 重合时，重合时，MNF的面积为的面积为 4. （1）求抛物线）求抛物线 C 的方程；的方程； （2）记）记 12 , PMNPAB SS SS P 点的横坐标与点的横坐标与 AB 中点的横坐标相等，若中点的横坐标相等，若 12 |SPFS，求，求的的 最小值最小值. 【解析】（1）由题设，当/ /ABl且 P 恰好与原点 O 重合，MNF的面积为 4， 2MNABp，即 1 4 2 MNF SMN p ，可得2p ， 抛物线 C 的方程为 2 4yx. （2）由题意，可设AB为1xky， 11 (,)A x y，

31、22 (,)B xy， 联立抛物线方程，整理得： 2 440yky ，显然0 ， 12 4yyk， 12 4y y ，则 2 1212 ()242xxk yyk， P的横坐标与 AB 中点的横坐标相等， 2 12 21 2 p xx xk ，则 2 |122 p PFxk ，若P在第一象限，则 22 (21,2 21)Pkk ， 可得P到AB的距离 22 2 2|21| 1 kkk d k ， 数学试题 第 15页（共 19页） 22 212 1 | | |21| 2 SdAByykkk， 由上知： 2 22 1 2 1 2 21 :(21)2 21 (21) yk PA yxkk xk ，

32、2 22 2 2 2 2 21 :(21)2 21 (21) yk PB yxkk xk ， 令1x ，有 2 22 1 2 1 2 21 ( 22)2 21 (21) M yk ykk xk ， 2 22 2 2 2 2 21 ( 22)2 21 (21) N yk ykk xk ， 22 2 12 22 12 2 212 21 | | 2(1)| (21)(21) MN ykyk yyk xkxk 2222 2 1221 22 12 (2 21)(21)(2 21)(21) | 2(1)| (21)(21) ykxkykxk k xkxk 222 1221 12 (2 21)(2 )(2

33、21)(2 )1 | 2| (2 )(2 ) ykykykykk kykyk 22222 12121221 2 1212 (22 21421)(22 21421)1 | 2| 2 ()4 y ykykykky ykykykkk ky yk yyk 222 2121 2 (22 21)()(21)()1 | 2| 4(1) kkyykkyyk kkk ， 22 2 1 1 (1)|21|1 | | 2| MN kkkyy SyyPF k ， 12 |SPFS知： 222 22 21 12 2(1) |21| = | |21| | kkkyy yykkk k ， 22 22 222 2(1)11

34、=2()4448 k kk kkk ，当且仅当 1k 时等号成立， 的最小值为 8. 9（2021山东即墨一中高三模拟山东即墨一中高三模拟）已知函数）已知函数 2 ln21f xxaxax，（，（0a ）. 数学试题 第 16页（共 19页） （1）当）当0a 时，求函数时，求函数 fx的极值；的极值； （2）函数）函数 fx在区间在区间 1,上存在最小值，记为 上存在最小值，记为 g a，求证：，求证： 1 2 4 g a a . 【解析】（1）当0a 时， lnf xxx，0 x ，则 1 1fx x ， 当0,1x， 0fx ；当1,x，所以 0fx . 所以当1x 时， fx取得极大值

35、为 11f ，无极小值. （2）由题可知 2 22112111 221 axaxaxx fxaxa xxx . 当0a 时，由（1）知，函数 fx在区间 1,上单调递减，所以函数 fx无最小值，此时不 符合题意； 当 1 2 a 时，因为1,x，所以210ax .此时函数 fx在区间1,上单调递增， 所以函数 fx无最小值，此时亦不符合题意； 当 1 0 2 a时，此时 1 1 2a . 函数 fx在区间 1 1, 2a 上单调递减，在区间 1 , 2a 上单调递增， 所以 min 111 ln1 224 fxf aaa ，即 11 ln1 24 g a aa 要证 111 ln12 244a

36、aa g a ，只需证当 1 0 2 a时， 11 ln10 22aa 成立 设 1 2 t a ， ln11h tttt ，由（1）知 10h th，所以 1 2 4 g a a 10（广东省汕头市（广东省汕头市 2021 届高三二模数学试题）已知函数届高三二模数学试题）已知函数 lnf xaxx，0a （1）若函数）若函数 1 ( )( ) 1 g xfx x (其中：其中： fx为为 fx的导数的导数)有两个极值点，求实数有两个极值点，求实数 a 的取值范的取值范 围；围； （2）当）当1a 时，求证：时，求证： sin1 x fxex. 数学试题 第 17页（共 19页） 【解析】（1

37、）依题意知：0,x，( )lnfxaxa, 1 ( )ln,(0,) 1 g xaxa x x , 2 2 (21) ( ) 1 axaxa g x x x , ( )g x有两个极值点, ( )g x在0 +，有两个变号零点, 令( )0g x 得： 2 (21)0 (0)axaxaa，, 关于x的一元二次方程有两个不等的正根，记为 12 ,x x, 12 12 0 0 0 xx xx 即： 410 21 0 a a a , 解得： 1 4 1 0 2 a a , 1 0 4 a , 故a的取值范围为： 1 0 4 ，. 法 1： (二)当1a ， ( )sin1 x f xex lnsin

38、1sinln10 xx xxexexxx 设( )sinln1 x M xexxx0 x ( )cos(ln1) x M xexx， ln2 x Mxex 数学试题 第 18页（共 19页） 先证1 x ex， 令( )1 x g xex，( )1 x g xe，当 x0 时，g(x)0, g(x)在0,+)上单调递增， 又g(0)=0, x0 时 g(x)0,即1 x ex. 再证ln1,xx 令 ln1h xxx, 11 1 x hx xx , 当 0 x0,h(x)单调递增；当 x1 时 h(x)0，命题得证； 法 2 （2）依题意，要证：lnesin1 x xxx, 当01x时，ln0

39、,1 sin0 x xxex ，故原不等式成立, 当1x 时，要证：lnesin1 x xxx, 即要证： lnsin10 x xxex , 数学试题 第 19页（共 19页） 令( )lnsin1,(1) x h xxxexx, 则( )lncos1 x h xxex, 1 sin x hxex x , 先证：1(1) x exx，, 即要证：10 (1) x exx ，, 令( )1,(1) x xexx，则( )1,(1) x xex, 当1x 时，( )0 x, ( ) x在( ) 1+，单调递增, ( )(1)20 xe, 即：1(1) x exx，, 当1x 时， 1 01 x ，sin1x , 111 sin(1)sinsin10 x hxexxxxx xxx , ( )h x在( ) 1+，单调递减, ( )(1)1cos10h xhe , ( )h x在( ) 1+，单调递减, ( )(1)1sin10h xhe , 即： lnsin10 x xxex , 故原不等式成立.