高中数学数列知识点整理.docx
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1、数列数列 1、数列中 n a与 n S之间的关系: 1 1 , (1) ,(2). n nn Sn a SSn 注意通项能否合并。 2、等差数列: 定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即 n a 1n a=d , (n2,nN ) , 那么这个数列就叫做等差数列。 等差中项:若三数aAb、 、成等差数列 2 ab A 通项公式: 1 (1)() nm aandanm d 或( n apnq pq、 是常数). 前n项和公式: 1 1 1 22 n n n nn aa Snad 常用性质: 若 Nqpnmqpnm,,则 qpnm aaaa; 下标为等差数列的项
2、, 2mkmkk aaa ,仍组成等差数列; 数列ban(b,为常数)仍为等差数列; 若 n a、 n b是等差数列,则 n ka、 nn kapb(k、p是非零常数)、 * ( ,) p nq ap qN 、 ,也成等差数列。 单调性: n a的公差为d,则: ) 0d n a为递增数列; ) 0d n a为递减数列; ) 0d n a为常数列; 数列 n a为等差数列 n apnq(p,q 是常数) 若等差数列 n a的前n项和 n S,则 k S、 kk SS 2 、 kk SS 23 是等差数列。 3、等比数列 定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那
3、么这个数 列就叫做等比数列。 等比中项:若三数ab、 G、成等比数列 2 ,Gab(ab同号) 。反之不一定成立。反之不一定成立。 通项公式: 1 1 nn m nm aa qa q 前n项和公式: 1 1 1 11 n n n aq aa q S qq 常用性质 若 Nqpnmqpnm,,则 mnpq aaaa; , 2mkmkk aaa 为等比数列,公比为 k q(下标成等差数列,则对应的项成等比数列) 数列 n a(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;正项等比数列 n a;则 lg n a是公差为lgq的等差等差数列; 若 n a是等比数列,则 2 nn caa, 1 n a ,
4、( ) r n arZ是等比数列,公比依次是 2 1 . r qqq q , 单调性: 11 0,10,01aqaq或 n a为递增数列; 11 0,010,1 n aqaqa 或 为递减数列; 1 n qa 为常数列; 0 n qa为摆动数列; 既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 若等比数列 n a的前n项和 n S,则 k S、 kk SS 2 、 kk SS 23 是等比数列. 4、非等差、等比数列通项公式的求法非等差、等比数列通项公式的求法 类型类型观察法观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析, 寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项。 类型类型公
5、式法:公式法:若已知数列的前n项和 n S与 n a的关系,求数列 n a的通项 n a可用 公式 1 1 , (1) ,(2) n nn Sn a SSn 构造两式作差求解。 用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二” ,即分段式;另一种是“合二 为一” ,即 1 a和 n a合为一个表达, (要先分1n 和2n两种情况分别进行运算,然后验证 能否统一) 。 类型类型累加法:累加法: 形如形如)( 1 nfaa nn 型的递推数列型的递推数列(其中)(nf是关于n的函数)可构造: 1 12 21 (1) (2) . (1 . ) nn nn aaf n aaf n aaf 将上述1n
6、个式子两边分别相加,可得: 1 (1)(2). (2)(1),(2) n af nf nffan 若( )f n是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; 若( )f n是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; 若( )f n是关于n的二次函数,累加后可分组求和; 若( )f n是关于n的分式函数,累加后可裂项求和. 类型类型累乘法:累乘法: 形如形如 1 ( ) nn aaf n 1 ( ) n n a f n a 型的递推数列型的递推数列(其中)(nf是关于n的函数)可构造: 1 1 2 2 1 (1) ( . 2) (1 . ) n n n n a f n a a f n
7、a a f a 将上述1n个式子两边分别相乘,可得: 1 (1)(2) .(2) (1),(2) n af nf nffan 有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 类型类型构造数列法:构造数列法: 形如形如qpaa nn 1 (其中(其中, p q均为常数且均为常数且0p )型的递推式:型的递推式: (1)若1p 时,数列 n a为等差数列; (2)若0q 时,数列 n a为等比数列; (3 3)若若1p 且且0q时时,数列数列 n a 为线性递推数列为线性递推数列,其通项可通过待定系数法其通项可通过待定系数法构造等比构造等比 数列数列来求来求. .方法有如下两种: 法一:
8、法一:设 1 () nn ap a ,展开移项整理得 1 (1) nn apap ,与题设 1nn apaq 比较系数(待定系数法)得 1 ,(0)() 111 nn qqq pap a ppp 1 () 11 nn qq ap a pp ,即 1 n q a p 构成以 1 1 q a p 为首项, 以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式 求出 1 n q a p 的通项整理可得. n a 法二:法二:由qpaa nn 1 得 1 (2) nn apaq n 两式相减并整理得 1 1 , nn nn aa p aa 即 1nn aa 构成以 21 aa为首项,以p为公比的等比数列.求
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