高中数学公式及知识点总结大全(精华版).doc

1、第 1页（共 10页） 高中文科数学公式及知识点速记高中文科数学公式及知识点速记 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设 2121 ,xxbaxx、那么 ,)(0)()( 21 baxfxfxf在上是增函数； ,)(0)()( 21 baxfxfxf在上是减函数. (2)设函数)(xfy 在某个区间内可导，若0)( x f，则)(xf为增函数；若0)( x f，则)(xf为减 函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x，都有)()(xfxf，则)(xf是偶函数； 对于定义域内任意的x，都有)()(xfxf，则)(xf是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。

2、3、函数)(xfy 在点 0 x处的导数的几何意义 函数)(xfy 在点 0 x处的导数是曲线)(xfy 在)(,( 00 xfxP处的切线的斜率)( 0 x f ，相应的切线方 程是)( 000 xxxfyy. *二次函数： （1）顶点坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa ； （2）焦点的坐标为 2 41 (,) 24 bacb aa 4、几种常见函数的导数 C0； 1 )( nn nxx；xxcos)(sin ；xxsin)(cos ； aaa xx ln)( ； xx ee )(； ax x a ln 1 )(log ； x x 1 )(ln 5、导数的运算法则 （1） ()uv

3、uv.（2） ()uvuvuv.（3） 2 ( )(0) uuvuv v vv . 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数 yf x的极值的方法是：解方程 0fx当 0 0fx时： (1) 如果在 0 x附近的左侧 0fx，右侧 0fx，那么 0 f x是极大值； (2) 如果在 0 x附近的左侧 0fx，右侧 0fx，那么 0 f x是极小值 指数函数、对数函数 分数指数幂 (1) m nm n aa（0,am nN ，且1n ）. (2) 11 m n m nm n a a a （0,am nN ，且1n ）. 根式的性质 （1）当n为奇数时， nn aa； 当n为偶数时， ,0

4、| ,0 nn a a aa a a . 有理指数幂的运算性质 第 2页（共 10页） (1)(0, ,) rsr s aaaar sQ . (2)()(0, ,) rsrs aaar sQ. (3)()(0,0,) rrr aba b abrQ. 注： 若 a0，p 是一个无理数，则 a p表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数 指数幂都适用. .指数式与对数式的互化式:log b a NbaN(0,1,0)aaN . .对数的换底公式 : log log log m a m N N a (0a ,且1a ,0m ,且1m,0N ). 对数恒等式： logaN aN(0a ,

5、且1a ,0N ). 推论loglog m n a a n bb m (0a ,且1a ,0N ). 常见的函数图象 ? k0 ? y=kx+b ? o ? y ? x ? a0 ? y=a ? x ? 2 ? +bx+c ? o ? y ? x ? -1 ? -2 ? 1 ? 2 ? y=x+ ? 1 ? x ? o ? y ? x ? 0a1 ? 1 ? y= ? a ? x ? o ? y ? x ? 0a1 ? 1 ? y=lo ? g ? a ? x ? o ? y ? x 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式 22 sincos1，tan= co

6、s sin . 9、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） k的正弦、余弦，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号； 2 k的正弦、余弦，等于的余名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号。 1 sin 2sink ，cos 2cosk，tan 2tankk 2 sinsin ，coscos ，tantan 3 sinsin ，coscos，tantan 4 sinsin ，coscos ，tantan 口诀：函数名称不变，符号看象限 5 sincos 2 ，cossin 2 6 sincos 2 ，cossin 2 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限 10、和角与差角公式 si

7、n()sincoscossin; cos()coscossinsin; 第 3页（共 10页） tantan tan() 1tantan . 11、二倍角公式 sin2sincos. 2222 cos2cossin2cos11 2sin . 2 2tan tan2 1tan . 公式变形： ; 2 2cos1 sin,2cos1sin2 ; 2 2cos1 cos,2cos1cos2 22 22 12、 函数sin()yx的图象变换 的图象上所有点向左 （右） 平移个单位长度， 得到函数sinyx的图象； 再将函数sinyx 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 倍（纵坐标不变） ，

8、得到函数sinyx的图象； 再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变） ，得到函数 sinyx 的图象 数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 倍（纵坐标不变） ，得到函数 sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数 sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍 （横坐标不变） ，得到函数sinyx 的图象 13. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sinyx cosyxtanyx 图象 定义域 RR , 2 x xkk 值域1,11,1 R 最值当2

9、 2 xk k 当2xkk时，既无最大值也无最小值 函 数 性 质 第 4页（共 10页） 时， max 1y；当 2 2 xk k 时， min 1y max 1y；当2xk k 时， min 1y 周期性22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 在2,2 22 kk k 上是增函数；在 3 2,2 22 kk k 上是减函数 在2,2kkk上是增 函数；在2,2kk k 上是减函数 在, 22 kk k 上是增函数 对称性 对称中心,0kk 对称轴 2 xkk 对称中心,0 2 kk 对称轴xkk 对称中心,0 2 k k 无对称轴 14、辅助角公式 )sin(cossin 22 xbaxb

10、xay其中 a b tan 15.正弦定理：2 sinsinsin abc R ABC （R 为ABC外接圆的半径）. 2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC: :sin:sin:sina b cABC 16.余弦定理 222 2cosabcbcA; 222 2cosbcacaB; 222 2coscababC. 17.面积定理 （1） 111 222 abc Sahbhch（ abc hhh、 、分别表示 a、b、c 边上的高）. （2） 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB. 18、三角形内角和定理 在ABC 中，有()ABCCAB 222 CAB 2

11、22()CAB. 19、a与b的数量积(或内积) cos|baba 第 5页（共 10页） 20、平面向量的坐标运算 (1)设 A 11 ( ,)x y，B 22 (,)xy,则 2121 (,)ABOBOAxx yy . (2)设a= 11 ( ,)x y,b= 22 (,)xy，则ba= = 2121 yyxx. (3)设a=),(yx，则 22 yxa 21、两向量的夹角公式 设a= 11 ( ,)x y,b= 22 (,)xy，且0b，则 1212 2222 1122 cos | | x xy ya b ab xyxy (a = 11 ( ,)x y,b = 22 (,)xy). 22

12、、向量的平行与垂直 设a = 11 ( ,)x y,b = 22 (,)xy，且b 0 ba/ab 1221 0 x yx y. )0(aba0ba 1212 0 x xy y. *平面向量的坐标运算 (1)设a = 11 ( ,)x y,b = 22 (,)xy，则a + +b = = 1212 (,)xxyy. (2)设a = 11 ( ,)x y,b = 22 (,)xy，则a - -b = = 1212 (,)xxyy. (3)设 A 11 ( ,)x y，B 22 (,)xy,则 2121 (,)ABOBOAxx yy . (4)设a =( , ),x yR，则a = =(,)xy.

13、 . (5)设a = 11 ( ,)x y,b = 22 (,)xy，则a b = = 1212 x xy y. 三、数列 23、数列的通项公式与前 n 项的和的关系 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn ( 数列 n a的前 n 项的和为 12nn saaa). 24、等差数列的通项公式 * 11 (1)() n aanddnad nN； 25、等差数列其前 n 项和公式为 1 () 2 n n n aa s 1 (1) 2 n n nad 2 1 1 () 22 d nad n. 26、等比数列的通项公式 1* 1 1 () nn n a aa qqnN q ； 27、等比数列前

14、 n 项的和公式为 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q 或 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q qs na q . 四、不等式 28、xy yx 2 。必须满足一正（yx,都是正数） 、二定（xy是定值或者yx 是定值） 、三相等（yx 第 6页（共 10页） 时等号成立）才可以使用该不等式） （1）若积xy是定值p，则当yx 时和yx 有最小值p2； （2）若和yx 是定值s，则当yx 时积xy有最大值 2 4 1 s. 五、解析几何 29、直线的五种方程 （1）点斜式 11 ()yyk xx(直线l过点 111 ( ,)P x y，且斜率为k) （2

15、）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距). （3）两点式 11 2121 yyxx yyxx ( 12 yy)( 111 ( ,)P x y、 222 (,)P xy( 12 xx). (4)截距式1 xy ab (ab、分别为直线的横、纵截距，0ab 、) （5）一般式0AxByC(其中 A、B 不同时为 0). 30、两条直线的平行和垂直 若 111 :lyk xb， 222 :lyk xb 121212 |,llkk bb ; 1212 1llk k . 31、平面两点间的距离公式 ,A B d 22 2121 ()()xxyy(A 11 ( ,)x y，B 22 (,)xy)

16、. 32、点到直线的距离 00 22 |AxByC d AB (点 00 (,)P xy,直线l：0AxByC). 33、 圆的三种方程 （1）圆的标准方程 222 ()()xaybr. （2）圆的一般方程 22 0 xyDxEyF( 22 4DEF0). （3）圆的参数方程 cos sin xar ybr . * 点与圆的位置关系：点 00 (,)P xy与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种 若 22 00 ()()daxby，则dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内. 34、直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种: 0相离r

17、d; 0相切rd; 0相交rd. 弦长= 22 2dr 其中 22 BA CBbAa d . 35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 椭圆： 22 22 1(0) xy ab ab ， 222 bca， 离心率 2 2 1 cb e aa 0,b0)， 222 bac，离心率1 a c e，渐近线方程是x a b y. 第 7页（共 10页） 抛物线：pxy2 2 ，焦点)0 , 2 ( p ,准线 2 p x。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离. 36、双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x 渐近线方程： 22 22

18、0 xy ab x a b y. (2)若渐近线方程为x a b y0 b y a x 双曲线可设为 2 2 2 2 b y a x . (3)若双曲线与1 2 2 2 2 b y a x 有公共渐近线，可设为 2 2 2 2 b y a x （0，焦点在 x 轴上，0， 焦点在 y 轴上）. 37、抛物线pxy2 2 的焦半径公式 抛物线 2 2(0)ypx p焦半径 2 | 0 p xPF.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。 ） 38、过抛物线焦点的弦长pxx p x p xAB 2121 22 . 六、立体几何 39.证明直线与直线的平行

19、的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 40证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 41.证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 42证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 43证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为

20、该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 44证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直； 45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积=rl2，表面积= 2 22rrl 圆椎侧面积=rl，表面积= 2 rrl 1 3 VSh 柱体 （S是柱体的底面积、h是柱体的高）. 1 3 VSh 锥体 （S是锥体的底面积、h是锥体的高）. 球的半径是R，则其体积 3 4 3 VR,其表面积 2 4SR 46、若点 A 111

21、 ( ,)x y z，点 B 222 (,)xyz，则 ,A B d=|ABAB AB 222 212121 ()()()xxyyzz 47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法） 48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。 正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。 第 8页（共 10页） 七、概率统计 49、平均数、方差、标准差的计算 平均数平均数: : n xxx x n 21 方差方差: :)()()( 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n s n 标准差标准差: :)()()( 1 22 2 2 1 xxxxxx n s n 5

22、0、回归直线方程（了解即可） yabx，其中 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y b xxxnx aybx .经过（x，y）点。 51、独立性检验 )()()( )( 2 2 dbcadcba bdacn K （了解即可） 52、古典概型的计算（必须要用列举法 、列表法 、树状图 的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗 漏） 八、复数 53、复数的除法运算 22 )()( )( )( dc iadbcbdac dicdic dicbia dic bia . 54、复数zabi的模|z=|abi= 22 ab. 55、复数的相等：,abicd

23、iac bd.（, , ,a b c dR） 56、复数zabi的模（或绝对值）|z=|abi= 22 ab. 57、复数的四则运算法则 (1)()()()()abicdiacbd i; ; (2)()()()()abicdiacbd i; ; (3)()()()()abi cdiacbdbcad i; ; (4) 2222 ()()(0) acbdbcad abicdii cdi cdcd . 58、复数的乘法的运算律 对于任何 123 ,z zzC，有 交换律: 1221 zzzz. 结合律: 123123 ()()zzzzzz. 分配律: 1231213 ()zzzzzzz. 九、参数方

24、程、极坐标化成直角坐标 55、 y x sin cos )0(tan 222 x x y yx 十、命题、充要条件 充要条件（记p表示条件，q表示结论） 第 9页（共 10页） 原 命 题 若 p则 q 否 命 题 若 p则 q 逆 命 题 若 q则 p 逆 否 命 题 若 q则 p 互 为 逆 否 互 逆否 互 为 逆否 互 互 逆 否 互 （1）充分条件：若pq，则p是q充分条件. （2）必要条件：若qp，则p是q必要条件. （3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 56.真值表 十一、直线与平面的位置关系 空间点、直线、

25、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 三个公理： （1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 （2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 （3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边

26、分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直 线中的一条上； 两条异面直线所成的角； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 没

27、有公共点 直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质 非或且 真真假真真 真假假真假 假真真真假 假假真假假 共面直线 ( 0 ,) 2 第 10页（共 10页） 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 直线与平面、平面

28、与平面平行的性质直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线 L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面互相垂直，记作 L， 直线 L 叫做平面的垂线，平面叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂 足。 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 直线与平面直线与平面、平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。