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1、试卷第 1页，总 5页 2021 年全国高考甲卷数学（文）试题年全国高考甲卷数学（文）试题 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题一、单选题 1设集合1,3,5,7,9 ,27MNxx，则MN （） A7,9B5,7,9C3,5,7,9D1,3,5,7,9 2为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收 入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（） A该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6% B该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10% C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过

2、6.5 万元 D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 3已知 2 (1)32izi，则z （） A 3 1 2 i B 3 1 2 i C 3 2 iD 3 2 i 4下列函数中是增函数的为（） A f xx B 2 3 x fx C 2 f xxD 3 f xx 5点3,0到双曲线 22 1 169 xy 的一条渐近线的距离为（） 试卷第 2页，总 5页 A 9 5 B 8 5 C 6 5 D 4 5 6青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录 法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录表的数据 V 的满

3、足 5lgLV已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数 据为（） （1010 1.259 ） A1.5B1.2C0.8D0.6 7在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E，F，G该正方体截去三棱锥 A EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ） ABC D 8在ABC中，已知120B ， 19AC ，2AB ，则BC （） A1B 2 C 5 D3 9记 n S为等比数列 n a的前 n 项和.若 2 4S ， 4 6S ，则 6 S （） A7B8C9D10 10将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0

4、不相邻的概率为（） A0.3B0.5C0.6D0.8 11若 cos 0,tan2 22sin ，则tan（） 试卷第 3页，总 5页 A 15 15 B 5 5 C 5 3 D 15 3 12 设 fx是定义域为 R 的奇函数， 且1fxfx.若 11 33 f ， 则 5 3 f （） A 5 3 B 1 3 C 1 3 D 5 3 二、填空题二、填空题 13若向量, a b 满足3,5,1aaba b ，则b _. 14已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为30则该圆锥的侧面积为_. 15已知函数 2cosf xx的部分图像如图所示，则 2 f _. 16已知 12 ,F F为椭圆 C：

5、 22 1 164 xy 的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点对称 的两点，且 12 PQFF，则四边形 12 PFQF的面积为_ 三、解答题三、解答题 17甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机 床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品二级品合计 甲机床15050200 试卷第 4页，总 5页 乙机床12080200 合计270130400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： 2 2 () ()()()(

6、) n adbc K a b c d a c b d 2 P Kk0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 18记 n S为数列 n a的前 n 项和，已知 21 0,3 n aaa，且数列 n S是等差数列， 证明： n a是等差数列. 19已知直三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AAB B为正方形，2ABBC，E，F 分 别为AC和 1 CC的中点， 11 BFAB. （1）求三棱锥FEBC的体积； （2）已知 D 为棱 11 AB上的点，证明：BF DE. 20设函数 22 ( )3ln1f xa xaxx，其中0a . （1）讨论 fx的单调性； （

7、2）若 yf x的图像与x轴没有公共点，求 a 的取值范围. 试卷第 5页，总 5页 21抛物线 C 的顶点为坐标原点 O焦点在 x 轴上，直线 l：1x 交 C 于 P，Q 两点， 且OPOQ已知点2,0M，且M与 l 相切 （1）求 C，M的方程； （2） 设 123 ,A A A是 C 上的三个点， 直线 12 A A， 13 A A均与M相切判断直线 23 A A与 M的位置关系，并说明理由 22在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 2cos （1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点 A 的直角坐标为1,0，

8、M 为 C 上的动点，点 P 满足 2APAM ，写出 的轨迹 1 C的参数方程，并判断 C 与 1 C是否有公共点 23已知函数( )2 , ( )2321f xxg xxx （1）画出 yf x和 yg x的图像； （2）若 f xag x，求 a 的取值范围 答案第 1页，总 17页 参考答案参考答案 1B 【分析】 求出集合N后可求MN. 【详解】 7 , 2 N ，故5,7,9MN， 故选：B. 2C 【分析】 根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定 ABD,以各组的中间值作为代表乘 以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算 后即可

9、判定 C. 【详解】 因为频率直方图中的组距为 1， 所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率 即可作为总体的相应比率的估计值. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%,故 A 正 确； 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计值为0.040.02 30.1010% ,故 B 正确； 该地农户家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间的比例估计值为 0.100.140.20 20.6464%50%,故 D 正确； 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 3 0.024 0.045 0.106 0.147 0.208

10、0.209 0.10 10 0.10 11 0.04 12 0.02 13 0.02 14 0.027.68 (万元)，超过 6.5 万元，故 C 错误. 综上，给出结论中不正确的是 C. 故选：C. 【点睛】 本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值， 属基础题，样本的频率可作为总体的 频率的估计值， 样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 2页，总 17页 以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于 频率 组距 组距 . 3B 【分析】 由已知得 32 2 i z i ，根据复数除法运算法则

11、，即可求解. 【详解】 2 (1)232izizi ， 32(32 )233 1 2222 iiii zi ii i . 故选：B. 4D 【分析】 根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】 对于 A， f xx 为R上的减函数，不合题意，舍. 对于 B， 2 3 x fx 为R上的减函数，不合题意，舍. 对于 C， 2 f xx在,0为减函数，不合题意，舍. 对于 D， 3 f xx为R上的增函数，符合题意， 故选：D. 5A 【分析】 首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可. 【详解】 由题意可知，双曲线的渐近线方程为： 22 0 169

12、 xy ，即3 40 xy， 结合对称性，不妨考虑点3,0到直线340 xy的距离： 909 59 16 d . 故选：A. 答案第 3页，总 17页 6C 【分析】 根据,L V关系，当4.9L 时，求出lgV，再用指数表示V，即可求解. 【详解】 由5lgLV，当4.9L 时，lg0.1V ， 则 1 0.1 10 10 11 10100.8 1.25910 V . 故选：C. 7D 【分析】 根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断. 【详解】 由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示， 所以其侧视图为 故选：D 8D 【分析】 利用余弦定理得到关于 BC 长

13、度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】 设,ABc ACb BCa， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 4页，总 17页 结合余弦定理： 222 2cosbacacB 可得： 2 194 2cos120aa ， 即： 2 2150aa ，解得：3a （5a 舍去） ， 故3BC . 故选：D. 【点睛】 利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角； (2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形 9A 【分析】 根据题目条件可得 2 S， 42 SS， 64 SS成等比数列，从而求出 6

14、4 1SS，进一步求出答 案. 【详解】 n S为等比数列 n a的前 n 项和， 2 S， 42 SS， 64 SS成等比数列 2 4S ， 42 642SS 64 1SS， 64 11 67SS . 故选：A. 10C 【分析】 利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】 解：将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，可以是： 00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100， 共 10 种排法， 答案第 5页，总 17页 其中 2 个 0 不相邻的排列方法为： 01011,01101,01110,10101,101

15、10,11010， 共 6 种方法， 故 2 个 0 不相邻的概率为 6 =0.6 10 ， 故选：C. 11A 【分析】 由二倍角公式可得 2 sin22sincos tan2 cos21 2sin ， 再结合已知可求得 1 sin 4 ， 利用同 角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 cos tan2 2sin 2 sin22sincoscos tan2 cos21 2sin2sin ， 0, 2 ，cos0， 2 2sin1 1 2sin2sin ，解得 1 sin 4 ， 2 15 cos1 sin 4 ， sin15 tan cos15 . 故选：A. 【点睛】 关键点睛：本题考

16、查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin. 12C 【分析】 由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 5 3 f 的值. 【详解】 由题意可得： 5222 1 3333 ffff ， 而 21111 1 33333 ffff ， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 6页，总 17页 故 51 33 f . 故选：C. 【点睛】 关键点点睛： 本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行 转化是解决本题的关键. 133 2 【分析】 根据题目条件，利用a b 模的平方可以得出答案 【详解】 5ab 22 22 292

17、25ababa bb 3 2b r . 故答案为：3 2. 1439 【分析】 利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案. 【详解】 2 1 630 3 Vh 5 2 h 2 222 513 6 22 lhr 13 639 2 Srl 侧 . 故答案为：39. 答案第 7页，总 17页 15 3 【分析】 首先确定函数的解析式，然后求解 2 f 的值即可. 【详解】 由题意可得： 31332 ,2 41234 TT T ， 当 13 12 x 时， 1313 22,2 126 xkkkZ ， 令1k 可得： 6 ， 据此有： 5 2cos 2,2cos 22cos

18、3 62266 fxxf . 故答案为： 3 . 【点睛】 已知 f(x)Acos(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难 的是求待定系数和，常用如下两种方法： (1)由 2 T 即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点” 横坐标 x0，则令x00(或x0)，即可求出. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形 解出和，若对 A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 8页，总 17页 168 【分析】 根据已知

19、可得 12 PFPF， 设 12 |,|PFm PFn， 利用勾股定理结合8mn， 求出mn， 四边形 12 PFQF面积等于mn，即可求解. 【详解】 因为,P Q为C上关于坐标原点对称的两点， 且 12 | |PQFF，所以四边形 12 PFQF为矩形， 设 12 |,|PFm PFn，则 22 8,48mnmn， 所以 222 64()2482mnmmnnmn， 8mn ，即四边形 12 PFQF面积等于8. 故答案为：8. 17 （1）75%；60%； （2）能. 【分析】 本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可 【详解】 （1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为

20、 150 75% 200 , 乙机床生产的产品中的一级品的频率为 120 60% 200 . （2） 2 2 400 150 80 120 50400 106.635 270 130 200 20039 K , 故能有 99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异. 18证明见解析. 【分析】 先根据 21 SS求出数列 n S的公差d，进一步写出 n S的通项，从而求出 n a的 答案第 9页，总 17页 通项公式，最终得证. 【详解】 数列 n S是等差数列，设公差为d 212111 aaaaSS 111 (1) n Sanaan，()n N 1 2 n Sa n，()n N 当2

21、n 时， 2 2 11111 12 nnn aSSa na na na 当1n 时， 111 21=aaa ，满足 11 2 n aana， n a的通项公式为 11 2 n aana，()n N 111111 221=2 nn aaa naa naa n a是等差数列. 【点睛】 在利用 1nnn aSS 求通项公式时一定要讨论1n 的特殊情况. 19(1) 1 3 ；(2)证明见解析. 【分析】 (1)首先求得 AC 的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积； (2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面 垂直可得题中的结论. 【详解】 (1)如图所示

22、，连结 AF， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 10页，总 17页 由题意可得： 22 4 15BFBCCF ， 由于 ABBB1，BCAB， 1 BBBCB，故AB 平面 11 BCC B， 而BF 平面 11 BCC B，故AB BF， 从而有 22 453AFABBF ， 从而 22 9 12 2ACAFCF ， 则 222, ABBCACABBC，ABC为等腰直角三角形， 111 2 21 222 BCEABC Ss ， 111 1 1 333 F EBCBCE VSCF . (2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为 2 的正方体 1111 ABCM

23、ABC M，如图所示， 取棱,AM BC的中点,H G，连结 11 ,AH HG GB， 正方形 11 BCC B中，,G F为中点，则 1 BFBG， 答案第 11页，总 17页 又 111111 ,BFAB ABBGB， 故BF 平面 11 ABGH，而DE 平面 11 ABGH， 从而BF DE. 【点睛】 求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面， 例如三棱锥的三条侧棱两两垂直， 我们就选择其中的一个侧面作为底面， 另一条侧棱作为高来求体积 对于空间中垂直关系 （线 线、线面、面面）的证明经常进行等价转化. 20 （1） fx的减区间为 1 0, a ，增区间为 1 ,+ a

24、 ； （2） 1 a e . 【分析】 （1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性. （2）根据 10f及（1）的单调性性可得 min0fx，从而可求 a 的取值范围. 【详解】 （1）函数的定义域为0,， 又 23 (1) ( ) axax fx x ， 因为0,0ax，故230ax， 当 1 0 x a 时，( )0fx ；当 1 x a 时，( )0fx ； 所以 fx的减区间为 1 0, a ，增区间为 1 ,+ a . （2）因为 2 110faa 且 yf x的图与x轴没有公共点， 所以 yf x的图象在x轴的上方， 由（1）中函数的单调性可得 min 11 33ln33l

25、nf xfa aa ， 故33ln0a即 1 a e . 【点睛】 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 12页，总 17页 方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离 后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化. 21 （1）抛物线 2 :C yx，M方程为 22 (2)1xy； （2）相切，理由见解析 【分析】 （1）根据已知抛物线与1x 相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性 设出,P Q坐标，由OPOQ，即可求出p；由圆M与直线1x 相切，求出半径，即可 得出结论； （2）先考虑 12 A A斜率不存

26、在，根据对称性，即可得出结论；若 121323 ,A A A A A A斜率存在， 由 123 ,A A A三点在抛物线上，将直线 121223 ,A A A A A A斜率分别用纵坐标表示，再由 1212 ,A A A A与圆M相切，得出 2323 ,yyyy与 1 y的关系，最后求出M点到直线 23 A A的 距离，即可得出结论. 【详解】 （1）依题意设抛物线 2 00 :2(0), (1,),(1,)C ypx pPyQy， 2 0 ,1120,21OPOQOP OQypp ， 所以抛物线C的方程为 2 yx， (0,2),MM与1x 相切，所以半径为1， 所以M的方程为 22 (2)

27、1xy； （2）设 111222333 (),(,),(,)A x yA xyA xy 若 12 A A斜率不存在，则 12 A A方程为1x 或3x ， 若 12 A A方程为1x ，根据对称性不妨设 1(1,1) A， 则过 1 A与圆M相切的另一条直线方程为1y ， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 3 A，不合题意； 若 12 A A方程为3x ，根据对称性不妨设 12 (3, 3),(3,3),AA 答案第 13页，总 17页 则过 1 A与圆M相切的直线 13 A A为 3 3(3) 3 yx ， 又 1 3 13 3 1313 3 113 ,0 33 A A yy ky

28、xxyyy ， 33 0,(0,0)xA，此时直线 1323 ,A A A A关于x轴对称， 所以直线 23 A A与圆M相切； 若直线 121323 ,A A A A A A斜率均存在， 则 1 21 323 121323 111 , A AA AA A kkk yyyyyy ， 所以直线 12 A A方程为 11 12 1 yyxx yy ， 整理得 1212 ()0 xyyyy y， 同理直线 13 A A的方程为 1313 ()0 xyyyy y， 直线 23 A A的方程为 2323 ()0 xyyyy y， 12 A A与圆M相切， 12 2 12 |2| 1 1() y y yy

29、 整理得 222 12121 (1)230yyy yy ， 13 A A与圆M相切，同理 222 13131 (1)230yyy yy 所以 23 ,yy为方程 222 111 (1)230yyy yy 的两根， 2 11 2323 22 11 23 , 11 yy yyyy yy ， M到直线 23 A A的距离为： 2 1 2 231 2 2 1 23 2 1 3 |2| |2|1 2 1() 1() 1 y y yy y yy y 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 14页，总 17页 22 11 2 222 1 11 |1|1 1 1 (1)4 yy y yy

30、 ， 所以直线 23 A A与圆M相切； 综上若直线 1213 ,A A A A与圆M相切，则直线 23 A A与圆M相切. 【点睛】 关键点点睛： （1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转 化为只与纵坐标（或横坐标）有关； （2）要充分利用 1213 ,A A A A的对称性，抽象出 2323 ,yyyy与 1 y关系，把 23 ,yy的关系转化为用 1 y表示. 22 （1） 2 2 22xy； （2）P 的轨迹 1 C的参数方程为 322cos 2sin x y （为 参数） ，C 与 1 C没有公共点. 【分析】 （1）将曲线 C 的极坐标方程化为 2 2

31、 2 cos，将 cos ,sinxy代入可得； （2）设,P x y，设22cos ,2sinM，根据向量关系即可求得 P 的轨迹 1 C的 参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得. 【详解】 （1）由曲线 C 的极坐标方程2 2cos可得 2 2 2 cos， 将cos ,sinxy代入可得 22 2 2xyx，即 2 2 22xy， 即曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 22xy； （2）设,P x y，设22cos ,2sinM 2APAM ， 1,222cos1,2sin22cos2,2sinxy， 则 122cos2 2sin x y ，即 322cos 2sin x y ，

32、 答案第 15页，总 17页 故 P 的轨迹 1 C的参数方程为 322cos 2sin x y （为参数） 曲线 C 的圆心为 2,0，半径为 2，曲线1 C的圆心为 32,0，半径为 2， 则圆心距为3 2 2 ， 32 222 ，两圆内含， 故曲线 C 与 1 C没有公共点. 【点睛】 关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M的参数坐标，利用向量关系求 解. 23 （1）图像见解析； （2） 11 2 a 【分析】 （1）分段去绝对值即可画出图像； （2） 根据函数图像数形结和可得需将 yf x向左平移可满足同角， 求得yf xa过 1 ,4 2 A 时a的值可求. 【详解】

33、 （1）可得 2,2 ( )2 2,2 x x f xx xx ，画出图像如下： 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 16页，总 17页 3 4, 2 31 ( )232142, 22 1 4, 2 x g xxxxx x ，画出函数图像如下： （2）() |2|f xaxa， 如图，在同一个坐标系里画出 ,f xg x图像， yf xa是 yf x平移了a个单位得到， 则要使()( )f xag x，需将 yf x向左平移，即0a ， 当yf xa过 1 ,4 2 A 时， 1 |2| 4 2 a，解得 11 2 a 或 5 2 （舍去） ， 则数形结合可得需至少将 yf x向左平移 11 2 个单位， 11 2 a. 答案第 17页，总 17页 【点睛】 关键点睛： 本题考查绝对值不等式的恒成立问题， 解题的关键是根据函数图像数形结合求解.