2021年浙江省高考数学试题（及答案）.doc

1、20212021 年浙江省高考数学试题年浙江省高考数学试题 一一 选择题选择题 1. 设集合1Ax x，12Bxx ，则AB （） A.1x x B.1x x C.11xx D.12xx 【答案】D 2. 已知aR，13ai ii，(i为虚数单位)，则a （） A.1B. 1C.3D. 3 【答案】C 3. 已知非零向量, ,a b c ，则“a c b c ”是“ab ”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A. 3 2 B. 3C. 3 2 2 D. 3 2 【答案

2、】A 5. 若实数x，y满足约束条件 10 0 2310 x xy xy ，则 1 2 zxy的最小值是（） A.2B. 3 2 C. 1 2 D. 1 10 【答案】B 6. 如图已知正方体 1111 ABCDABC D，M，N分别是 1 A D， 1 D B的中点，则（） A. 直线 1 A D与直线 1 D B垂直，直线/ /MN平面ABCD B. 直线 1 A D与直线 1 D B平行，直线MN 平面 11 BDD B C. 直线 1 A D与直线 1 D B相交，直线/ /MN平面ABCD D. 直线 1 A D与直线 1 D B异面，直线MN 平面 11 BDD B 【答案】A 7

3、. 已知函数 2 1 ( ), ( )sin 4 f xxg xx，则图象为如图的函数可能是（） A. 1 ( )( ) 4 yf xg xB. 1 ( )( ) 4 yf xg x C.( ) ( )yf x g xD. ( ) ( ) g x y f x 【答案】D 8. 已知, 是互不相同的锐角，则在sincos,sincos ,sincos三个值中，大于 1 2 的个数的最 大值是（） A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C 9. 已知,R,0a bab，函数 2 R()f xaxb x.若(),( ),()f stf sf st成等比数列，则平面上 点, s t的轨迹是（） A

4、. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线 【答案】C 10. 已知数列 n a满足 11 1,N 1 n n n a aan a .记数列 n a的前n项和为 n S，则（） A. 100 3 2 1 SB. 100 34SC. 100 9 4 2 SD. 100 9 5 2 S 【答案】A 二二 填空题填空题 11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小 正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是 3，4，记大正方形的面积为 1 S， 小正方形的面积为 2 S，则 1 1 S S _. 【答案

5、】25 12. 已知Ra，函数 2 4,2 ( ) 3,2, xx f x xa x 若63ff ，则a _. 【答案】2 13. 已知多项式 34432 1234 (1)(1)xxxa xa xa xa，则 1 a _， 234 aaa_. 【答案】(1).5;(2).10. 14. 在ABC中，60 ,2BAB，M是BC的中点， 2 3AM ，则AC _， cosMAC_. 【答案】(1).2 13(2). 2 39 13 15. 袋中有 4 个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是 红球的概率为 1 6 ，一红一黄的概率为 1 3 ，则m n_，

6、E_. 【答案】(1). 1(2). 8 9 16. 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ，焦点 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c(0)c ，若过 1 F的直线和圆 2 22 1 2 xcyc 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 2 PFx轴，则该直线的斜率是_， 椭圆的离心率是_. 【答案】(1). 2 5 5 (2). 5 5 17. 已知平面向量, , ,(0)a b c c 满足1,2,0,0aba babc .记向量d 在, a b 方向上的投影 分别为x，y，d a 在c 方向上的投影为z，则 222 xyz的最小值为_. 【答案】 2 5 三三 解答题解答题

7、 18. 设函数 sincos (R)f xxx x. （1）求函数 2 2 yfx 的最小正周期； （2）求函数( ) 4 yf x fx 在0, 2 上的最大值. 【详解】 （1）由辅助角公式得( )sincos2sin 4 f xxxx ， 则 22 2 333 2sin2sin1 cos 21 sin2 2442 yfxxxxx ， 所以该函数的最小正周期 2 2 T ; （2）由题意， 2sin2sin2sinsin 444 yf x fxxxxx 2 22 2sinsincos2sin2sincos 22 xxxxxx 1 cos222222 2sin2sin2cos2sin 2

8、2222242 x xxxx ， 由0, 2 x 可得 3 2, 444 x ， 所以当2 42 x 即 3 8 x 时，函数取最大值 2 1 2 . 19. 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是平行四边形， 120 ,1,4,15ABCABBCPA ， M，N分别为,BC PC的中点，,PDDC PMMD. （1）证明：ABPM； （2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 15 6 【解析】 【分析】 （1）要证ABPM，可证DCPM，由题意可得，PDDC，易证DMDC，从而DC 平面PDM，即有DCPM，从而得证； （2）取AD中点E，根

9、据题意可知，,ME DM PM两两垂直，所以以点M为坐标原点，建立空间直角 坐标系，再分别求出向量AN 和平面PDM的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出 【详解】 （1）在DCM中，1DC ，2CM ，60DCM ，由余弦定理可得 3DM ， 所以 222 DMDCCM ，DMDC由题意DCPD且PDDMD，DC平面PDM， 而PM 平面PDM，所以DCPM，又/ /ABDC，所以ABPM （2）由PMMD，ABPM，而AB与DM相交，所以PM 平面ABCD，因为 7AM ，所以 2 2PM ，取AD中点E，连接ME，则,ME DM PM两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示， 建立空间直

10、角坐标系, 则(3,2,0),(0,0,2 2),( 3,0,0)APD,(0,0,0),( 3, 1,0)MC 又N为PC中点，所以 313 35 ,2 ,2 2222 NAN . 由（1）得CD 平面PDM，所以平面PDM的一个法向量(0,1,0)n 从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为 5 |15 2 sin 6|2725 2 44 AN n AN n 【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明ABPM，可以考虑DCPM， 题中与DC有垂直关系的直线较多，易证DC 平面PDM，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第 一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公

11、式即可计算得出 20. 已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 9 4 a ，且 1 439 nn SS . （1）求数列 n a的通项； （2）设数列 n b满足3(4)0 nn bna，记 n b的前n项和为 n T，若 nn Tb对任意 Nn 恒成立， 求的范围. 【答案】 （1） 3 3 ( ) 4 n n a ； （2）31 . 【解析】 【分析】 （1）由 1 439 nn SS ，结合 n S与 n a的关系，分1,2nn讨论，得到数列 n a为等比数列， 即可得出结论； （2）由3(4)0 nn bna结合(1)的结论，利用错位相减法求出 n T， nn Tb对任意 Nn

12、恒成立，分 类讨论分离参数，转化为与关于n的函数的范围关系，即可求解. 【详解】 （1）当1n 时， 121 4()39aaa， 22 92727 49, 4416 aa ， 当2n 时，由 1 439 nn SS ， 得 1 439 nn SS ，得 1 43 nn aa 1 2 273 0,0, 164 n n n a aa a ， 又 2 1 3 , 4 n a a a 是首项为 9 4 ，公比为 3 4 的等比数列， 1 933 ( )3 ( ) 444 nn n a ； （2）由3(4)0 nn bna，得 43 (4)( ) 34 n nn n ban ， 所以 234 33333

13、 3210(4) 44444 n n Tn ， 2413 333333 321(5)(4) 444444 nn n Tnn ， 两式相减得 2341 1333333 3(4) 4444444 nn n Tn 1 1 93 1 164 93 (4) 3 44 1 4 n n n 111 99333 4(4) 44444 nnn nn ， 所以 1 3 4( ) 4 n n Tn ， 由 nn Tb得 1 33 4( )(4) ( ) 44 nn nn 恒成立， 即(4)30nn恒成立， 4n 时不等式恒成立； 4n时， 312 3 44 n nn ，得1； 4n 时， 312 3 44 n nn

14、 ，得3 ； 所以31 . 【点睛】易错点点睛： （1）已知 n S求 n a不要忽略1n 情况； （2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负 零讨论，如（2）中(4)30nn恒成立，要对40,40,40nnn讨论，还要注意40n 时，分离参数不等式要变号. 21. 如图，已知F是抛物线 2 20ypx p的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且2MF ， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与AB两点，斜率为 2 的直线l与直线,MA MB AB，x轴依次交于点P，Q， R，N，且 2 RNPNQN，求直线l在x轴上截距的范围. 【答案】 （1） 2 4yx； （2）, 74

15、374 3,11, . 【解析】 【分析】 （1）求出p的值后可求抛物线的方程. （2）设:1AB xty， 1122 ,A x yB xy，,0N n，联立直线AB的方程和抛物线的方程后可得 1212 4,4y yyyt ，求出直线,MA MB的方程，联立各直线方程可求出, PQR yyy，根据题设条件可 得 2 2 2 134 1 21 nt n t ，从而可求n的范围. 【详解】 （1）因为2MF ，故2p ，故抛物线的方程为： 2 4yx. （2）设:1AB xty， 1122 ,A x yB xy，,0N n， 所以直线: 2 y l xn，由题设可得1n 且 1 2 t . 由 2

16、 1 4 xty yx 可得 2 440yty，故 1212 4,4y yyyt ， 因为 2 RNPNQN，故 2 111 1+1+1+ 444 RPQ yyy ，故 2 RPQ yyy. 又 1 1 :1 1 y MA yx x ，由 1 1 1 1 2 y yx x y xn 可得 1 11 21 22 P ny y xy ， 同理 2 22 21 22 Q ny y xy ， 由 1 2 xty y xn 可得 21 21 R n y t ， 所以 2 21 2211 212121 = 212222 nnyny txyxy ， 整理得到 2 2 12 2211 1 21 12222 y

17、 yn t nxyxy ， 2 22 21 21 4 21 22 22 t yy yy 22 2 22 2 2121 21211221 4 2121 34+ +2+4 42 tt ty yyy yyy yy yyy 故 2 2 2 134 1 21 nt n t ， 令21st，则 1 2 s t 且0s ， 故 2 22 222 3424241133 1+4 444 21 tss ssss t ， 故 2 13 14 1 n n n 即 2 1410 1 nn n ， 解得 74 3n 或7 4 31n 或1n . 故直线l在x轴上的截距的范围为 74 3n 或7 4 31n 或1n . 【

18、点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方 程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题 转化为常见函数的范围问题. 22. 设a，b为实数，且1a ，函数 2 R() x f xabxex （1）求函数 fx的单调区间； （2）若对任意 2 2be ，函数 fx有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当a e 时，证明：对任意 4 be ，函数 fx有两个不同的零点 12 ,x x，满足 2 21 2 ln 2 bbe xx eb . (注：2.71828e 是自然对数的底数) 【答案】(1)0

19、b 时， ( )f x在R上单调递增； 0b 时，函数的单调减区间为,log ln a b a ，单调增区 间为log, ln a b a ； (2) 2 1,e ； (3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性； (2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数 a 的取 值范围； (3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立. 【详解】(1) 2 ( ),( )ln xx f xbfaxeaxab ， 若0b ，则( )ln0 x fxaab ，所以 ( )

20、f x在R上单调递增； 若0b ， 当,log ln a b x a 时， 0,fxf x单调递减， 当log, ln a b x a 时， 0,fxf x单调递增. 综上可得，0b 时， ( )f x在R上单调递增； 0b 时，函数的单调减区间为,log ln a b a ，单调增区间为log, ln a b a . (2) ( )f x有 2 个不同零点 2 0 x abxe 有 2 个不同解 ln2 0 xa ebxe 有 2 个不同的解， 令lntxa，则 2 2 0,0 lnln t t bbee eet aat t ， 记 2 22 22 (1) ( ),( ) tt tt e t

21、ee eee te g tg t ttt ， 记 2 ( )(1),( )(1)10 tttt h te te h te tee t ， 又(2)0h，所以(0,2)t时，( )0,(2,)h tt时，( )0h t ， 则( )g t在(0,2)单调递减，(2,)单调递增， 2 2 (2),ln ln bb gea ae ， 22 2 22,ln,21 b beaae e . 即实数a的取值范围是 2 1,e . (3) 2 ,( ) x ae f xebxe有 2 个不同零点，则 2x eebx ，故函数的零点一定为正数. 由(2)可知有 2 个不同零点，记较大者为 2 x，较小者为 1

22、x， 12 22 4 12 xx eeee be xx ， 注意到函数 2x ee y x 在区间 0,2上单调递减，在区间2,上单调递增， 故 12 2xx，又由 52 4 5 ee e 知 2 5x ， 1 222 1 11 22 x eeee bx xxb ， 要证 2 21 2 ln 2 bbe xx eb ，只需 2 2 ln e xb b ， 22 2 22 2 xx eee b xx 且关于b的函数 2 ln e g bb b 在 4 be 上单调递增， 所以只需证 2 2 2 2 22 2 2 ln5 2 x x e xe xx xe ， 只需证 2 2 2 2 2 2 2 lnln0 2 x x x e xe e xe ， 只需证 2 lnln20 2 x e x x e ， 2 4 2 e ，只需证 4 ( )lnln2 x x h xx e 在5x 时为正， 由于 11 ( )44410 xxx h xxeee xx x ，故函数 h x单调递增， 又 54 520 (5)ln5l 20 n2ln0 2 h ee ，故 4 ( )lnln2 x x h xx e 在5x 时为正， 从而题中的不等式得证.