平面几何-《动态解析高考数学综合题》平面解析几何.doc

1、第五章第五章 直线与圆直线与圆 直线与圆是几何中最基础和最重要的两种图形，是代数方法在几何研究中的应 用的开始. 对于这部分内容，学生应该深刻领会并熟练应用数形结合的思想方法， 既要注重代数运算的简洁，也要充分利用几何图形的性质，还要认真考虑代数式的 几何意义，在对参数的讨论过程中不要遗漏某些特殊值所表示的特殊情况. 近年来，这一部分内容在高考试题中通常属于基础题，难度中等，但解答问题 使用的方法会直接影响到运算量的多少以及问题解答的正确率. 第一节第一节 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 1. 直线的直线的x-截距与截距与y-截距之间的关系截距之间的关系 例例 1 （09 华南师大附中

2、3 月）已知直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等， 且到点（1，2）的距离为2，求直线l的方程. 【动感体验】 要全面考虑可能成立的各种情况. 已知直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等 的条件应考虑截距可能为零或不为零两种情况. 如图 5.1.1 所示，点P在以A（1，2）为圆心、半径为2的圆上，直线（记 为l）经过点P且与圆A相切. 则该l到点（1，2）的距离为恒为2. 打开文件“09 华南师大附中 3 月.zjz” ，拖动点P，观察可能出现直线l在x轴、 y轴上截距的绝对值相等的情况. 图 5.1.1 【思路点拨】 对于满足条件的直线其截距为零和不为零两种情况分别讨论. 【动态解析】 图

3、5.1.2-5.1.7 所示六种情况下，经过点P的直线在x轴、y轴上截距的绝对值 均相等. 图 5.1.2图 5.1.3 图 5.1.4图 5.1.5 图 5.1.6图 5.1.7 可设满足条件的直线的方程为bkxy. 当0b时，由点到直线的距离公式得：2 1 |2| 2 k k ，解得62k或 62k. 当0b时，则直线l的斜率k为 1 或者-1，由点到直线的距离公式得： 2 1 |2| 2 k bk ，当1k时，解得1b或3b；当1k时，解得5b或 1b. 因此所求直线的方程为：xy)62(，或xy)62(，或1 xy， 或3 xy，或5xy，或1xy. 【简要评注】 从本题的题设条件，很

4、容易选择利用直线的截距式方程表示直线进行求解，但 要注意避免遗漏直线经过原点的情况. 在这里我们首先考虑到直线到点A的距离为 2，再寻找满足要求的直线，就容易分类了. 有时候利用直线的截距式在绘制直线时非常方便，但答案通常写成斜截式. 2. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 例例 2 （06 湖南理 10）若圆01044 22 yxyx上至少有三个不同的点 到直线0:byaxl的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是（） 。 A 412 ，B 12 5 12 ，C 36 ，D 2 0 ， 方法一方法一： 【动感体验】 方程01044 22 yxyx可化为18)2()2( 22 yx，该圆

5、的圆心 为（2，2） 、半径为23，圆心在直线xy 上.0:byaxl是一条过原点的直 线，系数ba,决定其倾斜角. 令 b a k，则l的方程为：kxy . 考虑k变化时与 直线kxy 平行并与之距离为22的两条直线与圆交点的个数. 打开文件“06 湖 南理 10.zjz” ，实线表示直线kxy ，虚线是两条到直线kxy 的距离等于22， 通过拖动点P或者动画按钮可以改变k的值， 如图 5.1.8-5.1.12 所示为其中的几种情 况. 图 5.1.8图 5.1.9 图 5.1.10图 5.1.11 图 5.1.12 【思路点拨】 改变k的值考虑当圆上恰好有三个点到直线l的距离为22时，两条

6、平行线与 圆的位置关系. 这时两平行线应该其一与圆相切另一与圆相交，而圆心到直线l的 距离恰好为2，由此不难确定直线l的倾斜角的取值范围. 【动态解析】 注意到22OC，当圆心到直线l的距离CD恰好为2时，如图 5.1.8、图 5.1.11 所示， 6 COD. 由此不难确定若圆01044 22 yxyx上至少 有三个不同的点到直线l的距离为22时,直线l的倾斜角的取值范围是 12 5 12 ，. 所以选择B. 方法二：方法二： 【动感体验】 方程01044 22 yxyx可化为18)2()2( 22 yx，可知该圆的 圆心为（2，2） 、半径为23. 进入文件“06 湖南理 10.zjz”第

7、二页，点C是方程 01044 22 yxyx所在圆的圆心. 点P是圆C上的动点，OPCD 与 D，因此可以用直线OP表示方程0byax对应的直线l，其中. 拖动点P，观 察直线OP与圆C的位置关系，判断当圆C上至少有三个不同的点到直线OP的距 离为22时直线OP所应满足的条件，如图 5.1.13-5.1.16 所示，为其中的几种情形. 图 5.1.13图 5.1.14 图 5.1.15图 5.1.16 【思路点拨】 将圆上的点到直线的距离转化成为圆心到直线的距离. 【动态解析】 令 b a k，则l的方程为：kxy . 当直线OP在圆心C左上方时，若圆上正好有 3 个点到l的距离为22，如图

8、5.1.13 所示， 则此时22223|CD. 又因为22|OC， 4 xOC， 所以在RtCDO中， 6 COD，所以 12 5 CODxOCxOD. 当直线OP在圆心C的右下方时，若圆上正好有 3 个点到l的距离为22，如 图 5.1.14 所示，则此时22223|CD. 又因为22|OC， 4 xOC，所以在RtCDO中， 6 COD，所以 12 CODxOCxOD. 因此当 12 5 12 xOD时，如图 5.1.15、图 5.1.16 所示，圆上有四个不同的 点到l的距离为22. 所以选择B. 【简要评注】 本题解答过程中要抓住两个关键：一、把圆上的点到直线的距离转化成为圆心 到直线

9、的距离；二、直线的特征：经过原点. 3. 直线与动圆的位置关系直线与动圆的位置关系 例例 3 （09 广东理 B19）已知曲线 2 :C yx与直线:20l xy交于两点 (,) AA A xy和(,) BB B xy，且 AB xx记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段 AB所围成的平面区域（含边界）为D设点 ( , )P s t是 2 :C yx上一点，且点P 与点A和点B均不重合 （I）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程； （II）若曲线 222 51 :240 25 G xaxyya与D有公共点，试求a的最 小值 （一）求点M的轨迹方程. 这里Q是定点，P是曲线C上

10、的动点，M是线段PQ的中点，M随P点而运 动. 既然曲线C是抛物线，可以猜测M的轨迹也是一条抛物线. 至于它轨迹方程， 就是求点M的坐标之间的关系. 注意到P点的坐标满足曲线C的方程，而点M的 坐标又可以通过P和Q点坐标来表示，因此这个轨迹方程不难求出. 事实上：由 , 02 , 2 yx xy 解得：1 A x，2 B x；1 A y，4 B y，因为Q是 线段AB的中点所以有) 2 5 , 2 1 (Q. 又),(yxM为PQ的中点， 所以有 2 2 1 s x ， 2 2 5 t y . 反解得 2 14 x s， 2 54 y t. 因为点P在曲线C上， 2 st （21s）. 将上式

11、代入得 2 ) 2 14 ( 2 54 xy ，化简得 4 5 ) 14( 8 1 2 xy. 用表示点M的坐标，则有 2 14 x s， 2 54 y t，即 2 ) 2 14 ( 2 54 xy ， 化简得 4 5 ) 14( 8 1 2 xy. 由21s，得 4 5 4 1 x. 所以点M的轨迹方程为： 4 5 ) 14( 8 1 2 xy（ 4 5 4 1 x） ，它表示一个 抛物线弧段，如图 5.1.17 所示. 图 5.1.17 （二）求a的最小值. 【动感体验】 很 明 显 222 51 :240 25 G xaxyya是 一 个 圆 的 方 程 . 可 化 为 222 ) 5

12、7 ()2()(yax，它表示一个半径为常数 5 7 而圆心为（a，2）的圆. 随 着a的变化，这是一个可以左右平行移动的圆. . 进入文件“09 广东理 B19.zjz”第二页，如图 5.1.18 所示，圆T表示方程 0 25 51 42 222 ayyaxx对应的曲线. 点T可以被拖动，水平移动圆T的 位置. 观察区域D与圆T有公共点的情况下，点T的横坐标a应满足的条件. 图 5.1.18 【思路点拨】 求圆与D有公共点时的a最小值，就是求圆与线段AB相切且位于线段左侧时 的a的值. 【动态解析】 如 图 5.1.19 所 示 ， 当 圆T经 过 点A时 ， 将A（ -1 ， 1 ） 代

13、入 222 ) 5 7 ()2()(yax解得： 5 62 1a或 5 62 1a（舍去）. 图 5.1.19 当 圆T与 直 线:20l xy相 切 时 ， 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 ： 5 7 2 |22| a ， 解得： 5 27 a或 5 27 a（舍去） . 此时切点坐标为 （ 10 27 ， 10 27 2） ，因为1 10 27 ，所以切点在线段AB内. 由此可知a的最小值为 5 27 a. 【简要评注】 本题中的动圆圆心在一条水平直线上移动，半径固定，因而比较容易了解圆与 区域、圆与直线的位置关系. 而最值是取在线段的端点的状态下还是圆与直线相切 的条件下，

14、这时本题重点要考察的内容. 直观的演示可以帮助我们探索与发现问题， 但只有从数学的角度进行推理和计算才能得到结论. 4. 求与圆有关的动态向量的数量积求与圆有关的动态向量的数量积 例例 4 （08 山东临沂）直线0CByAx与圆4 22 yx相交于NM、两 点，若 222 BAC，则ONOM （O为坐标原点）等于（）. A2B1C0D1 【动感体验】 圆4 22 yx是圆心为坐标原点半径为 2 的圆，设OM和ON之间的夹角为 ，根据向量的数量积的定义 cos4cos|ONOMONOM， 因此关键在于确定向量OM与ON之间的夹角的大小. 由 222 BAC得 到 ：1 | 22 BA C ， 这

15、 说 明 原 点O到 直 线 0CByAx的距离等于 1. 因此可以将直线0CByAx看作是经过单位 圆上一点并且与单位圆相切的动直线. 打开文件“08 山东临沂.zjz” ，如图 5.1.20 所 示，拖动点P，观察直线0CByAx与圆4 22 yx两个交点NM、的变 化规律. 图 5.1.20 【思路点拨】 分析条件 222 BAC的几何意义，研究与夹角有关的几何关系. 【动态解析】 因为直线0CByAx过点P且与单位圆相切，所以OP垂直且平分MN. 在RtOPM中，1OP，2OM，所以 3 POM， 3 2 MON. 图 5.1.21 所以2 3 2 cos4cos4cos| ONOMO

16、NOM. 因此选择 A. 【简要评注】 解决本题的关键在于在熟练掌握向量的数量积概念的前提下挖掘条件 222 BAC，从而确定直线0CByAx的特征以求出向量之间的夹角. 5. 与直线截距有关的不等关系与直线截距有关的不等关系 例例 5 （08 全国 I 理 10）若直线1 xy ab 通过点(cossin)M，则（）. A 22 1abB 22 1ab C 22 11 1 ab D 22 11 1 ab 【动感体验】 由(cossin)M，想到单位圆，M是这个单位圆上的动点. 条件直线 1 xy ab 通过点(cossin)M，实际上是说直线和单位圆有公共点，其中隐含圆 心到直线的距离与单位

17、圆的半径1的关系. 打开文件 “08全国I理10.zjz” ， 如图5.1.22 所示，经过点M和点N的直线表示方程1 xy ab 对应的直线，点P和点Q分别 是直线与x轴、y轴的交点. 拖动点N可以任意改变直线性质特征，研究四个选项 所表示的几何意义以及成立的可能性. 图 5.1.22 【思路点拨】 在直角三角形POQ中考虑斜边上的高与单位圆半径之间的关系. 【动态解析】 图 5.1.23 和图 5.1.24 说明 22 1ab和 22 1ab两种情况都可能成立. 图 5.1.23图 5.1.24 当直线1 xy ab 与圆O相切时，如图 5.1.25 所示，直角三角形POQ斜边上的 高线等

18、于圆O的半径 1. 图 5.1.25图 5.1.26 而其他情况下，如图 5.1.25 所示，直角三角形POQ斜边上的高线小于圆O的 半径 1. 通过面积公式可以求得直角三角形POQ斜边上的高等于 22 ba ba ，由 1 22 ba ba 化简得：1 11 22 ba . 因此答案选择 D. 进入文件“08 全国 I 理 10.zjz”的第二页，如图 5.1.27 所示，则给出直线与单 位圆没有公共点的情况，这时1 22 ba ba OM，由此1 11 22 ba ，即选项 C 表明的关系. 图 5.1.27 【简要评注】 本题中ba、为截距，恰好是直线与两坐标轴的交点及原点所构成的直角三

19、角 形的直角边长，因此设法在POQRt中找出 22 ba 及 22 11 ba 的几何意义是解决 问题的关键. 本节小结本节小结 研究直线与圆的位置关系，通常转换为圆心与直线的距离问题. 此外，充分利 用代数式的所表示的几何性质，能够提高我们的解题效率、减少出错率和计算量. 拓展练习拓展练习 1. （06 湖南理 10 改编）若圆 222 )5()3(ryx上有且仅有两点到直线 0234 yx的距离为 1，则半径r的取值范围是. 2. （08 辽宁理 3）圆 22 1xy与直线2ykx没有公共点的充要条件是 (). A.(2,2)k B.(,2)( 2,)k C.(3, 3)k D.(,3)(

20、 3,)k 3. （08 安徽文 10）若过点(4 0)A ，的直线l与曲线 22 (2)1xy有公共点， 则直线l的斜率的取值范围为（）. A(33)，B33， C 33 33 ，D 33 33 ， 4. （08 宁夏、海南文 20）已知mR，直线l： 2 (1)4mxmym和圆C： 22 84160 xyxy （）求直线l斜率的取值范围； （）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为 1 2 的两段圆弧？为什么？ 第二节第二节 直线系与圆系直线系与圆系 1. 动直线与动圆的位置关系动直线与动圆的位置关系 例例 1 （06 江西理 16）已知圆M：1)sin()cos( 22 yx，直线 kxyl

21、：，下面四个命题： A对任意实数k与，直线l和圆M相切； B对任意实数k与，直线l和圆M有公共点； C对任意实数，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切； D对任意实数k，必存在实数，使得直线l与和圆M相切. 其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号） 【动感体验】 这里给出的是圆M的标准方程，其半径为 1，圆心为)sin,cos(. 可以想 象出这些圆的半径都是 1，而圆心在单位圆上，所以这些圆都过原点；而直线 kxyl：则是过原点的直线但不包括y轴. 这就不难考虑圆和直线可能有怎样的 位置关系了. 打开文件“06 江西理 16.zjz” ，如图 5.2.1 所示，拖动点A可以改变的圆M的圆

22、 心A的位置. 点P是圆O上的动点，可以用经过点O和点P的直线表示直线l： kxy . 拖动点A或者点P，观察和研究圆M和直线l之间的位置关系. 图 5.2.1 【思路点拨】 将圆M与直线l之间的位置关系转化为圆M的半径OA与点M到直线l的距 离之间的大小关系. 【动态解析】 通过图 5.2.1 可以观察到， 圆M与直线l均经过坐标原点O， 因此选项B正确， 但选项A错误. 当点P在任意位置时， 只要拖动点A使得OAOP ， 就有直线l和圆M相切， 即对任意实数k，都存在实数，使得直线l和圆M相切，如图 5.2.2 所示. 因此选 项D正确. 图 5.2.2 当点A在任意位置时，只要拖动点P使

23、得OAOP ，就有直线l和圆M相切. 但是当点A在x轴上时，如图 5.2.3 和图 5.2.4，则直线l的斜率k不存在，因此选 项C错误. 图 5.2.3图 5.2.4 正确答案为：DB、. 【简要评注】 本题是不定项选择题，需要对每个命题进行判断. 通过动感体验可以发现动圆 与动直线经过的共同点（原点） ，动中求静是这类问题的一种常见解答思路. 2. 动直线及其包络问题动直线及其包络问题 例例 2 （09 江西理 16、文 16）设直线系M：1sin)2(cosyx （20） ，对于下列四个命题： AM中的所有直线均经过一个定点 B存在定点P不在M中的任一条直线上 C对于任意整数n（3n）

24、，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 DM中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）. 【动感体验】 首先是认识直线系M：1sin)2(cosyx（20）具有怎样的 特征. 设 2 3 , 2 , 0 可以分别得到直线1x，3y，1x和1y. 这四 条直线与点(0,2)的距离都等于 1，可以想象直线系M是否具有这样的特征. 事实 上由1 sincos |1sin)22(cos0| 22 知道，直线系M所表示的是到点)2 , 0(的距 离为 1 的直线. 或者说直线系是以点)2 , 0(为圆心、半径为 1 的圆上的切线. 也可以把)sin,(cos看成直

25、线的单位法向量，于是由向量)2,(yx与 )sin,(cos的数量积等于 1 知直线系M是到点)2 , 0(的距离为 1 的直线. 或者说 直线系是以点)2 , 0(为圆心、半径为 1 的圆上的切线. 打开文件“09 江西理 16.zjz” ，如图 5.2.5 所示，拖动点P或者单击动画按钮， 观察直线系M的特征. 图 5.2.5 【思路点拨】 通过直线M的特征及其所围成的区域，对四个命题进行判断. 【动态解析】 M中的直线不经过任何一个定点，因此选项 A 错误. 圆A内的所有点均不在M中的任何一条直线上，因此选项 B 正确. 当均匀变化，即点P在圆周上匀速运动时，直线之间的交点就是正n边形的

26、 顶点，如图 5.2.6-5.2.11 所示，因此选项 C 正确. 图 5.2.6图 5.2.7图 5.2.8 图 5.2.9图 5.2.10图 5.2.11 用鼠标双击动画按钮的绿色部分（最右侧部分）可以打开动画按钮的属性对话 框，如图 5.2.12 所示，在动画运动的频率一栏输入大于 3 的整数后单击“确定”按 钮，再次单击动画按钮，即可呈现由M中的直线所组成的对应正多边形. 图 5.2.12 M中的直线所能围成的区域是圆A内部，而其内部可以有无数多个面积不同 的正三角形，因此选项 D 错误. 所以答案为：B、C. 【简要评注】 抓住直线系的特征才能更好地研究其特点. 除了通常的过定点的直

27、线系以及平 行直线系外，本题中的直线系也是一种典型类型. 3. 动圆及其性质特征动圆及其性质特征 例例 3（07 江西理 16） 设有一组圆 224* :(1)(3 )2() k Cxkykkk N 下 列四个命题： 存在一条定直线与所有的圆均相切 存在一条定直线与所有的圆均相交 存在一条定直线与所有的圆均不 相交 所有的圆均不 经过原点 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 【动感体验】 打开文件“07 江西理 16.zjz” ，单击动画按钮，结果如图 5.2.13 所示，表示一组 圆 224* :(1)(3 )2() k Cxkykkk N，观察这组圆的特点，对四个命题进 行判断.

28、 图 5.2.13 【思路点拨】 通过圆心)3 , 1(kkC与半径 2 2k研究系列圆的性质特征. 【动态解析】 可以从最容易判断的选项入手，只需看原点的坐标(0，0)是否适合圆的方程 就行了. 事实上通过 422 29) 1(kkk，因此所有的圆均不 经过原点，所以选 项为真命题. 令1k和2k分别得到： 2)3(: 22 1 yxC 和 32)6() 1( : 22 2 yxC. 圆心距为10，半径的差等于23，因为2310 ,所以两圆内含. 由此看 来不可能存在一条直线与所有的圆均相切，所以选项为假命题. 由于这些圆的圆心为)3 , 1(kkCk， 所以这些圆的圆心在直线33 xy上.

29、 这 条直线就与所有的圆均相交，所以选项为真命题. 由于这些圆的半径为 2 2k随着k的增大而无限增大，因此不可能存在一条定 直线与所有的圆均不 相交. 所以选项是假命题. 因此答案为：B、D. 【简要评注】 在研究直线系和圆系的有关问题时，要抓住他们的共性及其相互关系，才能准 确地把握运动中的图形的性质特征. 直线与圆的位置关系的判断还是要充分利用圆 心与直线的距离. 本节小结本节小结 直线系是一簇有共同特征的直线的总称. 虽然在课本中没有详细介绍，但在练 习中却经常出现. 一般地方程中含有函数时就表现为直线系. 圆系的问题也类似， 高考中有关直线系和圆系的问题时常出现，解答过程中方法的选择

30、非常重要. 直线系与圆系的问题都可以分别理解为直线运动与圆运动的问题，在运动的过 程探索规律是这一类型题目的典型特征. 抓住共性，例如过直线或圆定点、圆心或 者圆的半径固定等等，才能抓住问题的本质和解决问题的关键. 拓展练习拓展练习 1. （07 江西理 16 改编）在例题 3 中，若将题设中的*Nk 改为Rk ，则 上述四个命题中哪几个是真命题？ 2. （09 广东文 A-19）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 为 3 2 ， 两个焦点分别为F1和 2 F， 椭圆G上一点到F1和 2 F的距离之和为 12. 圆 k C： 22 24210()xykyykR的圆心为点 k

31、A. （I）求椭圆G的方程； （II）求 12k A FF面积； （III）问是否存在圆 k C包围椭圆G？请说明理由. 第三节第三节 求最值问题求最值问题 1. 求边长成比例的三角形面积最值求边长成比例的三角形面积最值 例例 1 （08 江苏 13）若2AB，BCAC2， ABC S的最大值 【动感体验】 因为2AB，BCAC2，可以认为三角形ABC的A、B两点是确定的 而C点尚未确定. 可以考虑在满足条件BCAC2下的点C的轨迹图形， 然后通 过数形结合的方法求三角形面积的最大值. 打开文件 “08 江苏 13.zjz” ， 如图 5.3.1 所示， 拖动点C， 观察线段AC与BC之 间的

32、关系，并研究点C对三角形ABC的形状和面积的影响. 图 5.3.1 【思路点拨】 以AB的中点为坐标原点， 以有向线段AB的方向为x轴正方向建立直角坐 标系，则点A、B的坐标可表示为)0 , 1(A、)0 , 1 (B. 设点 C 的坐标为),(yxC， 则有： 2222 ) 1(2) 1(yxyx，化简得：8)3( 22 yx，它表示 一个坐标圆心在)0 , 3(、半径为22的圆. 显然当点 C 与AB的距离最大时三角形 ABC面积取最大值. 【动态解析】 点C的轨迹表示一个坐标圆心在)0 , 3(、半径为22的圆. 进入文件“08 江苏 13.zjz”的第二页，如图 5.3.2 所示. 图

33、 5.3.2 容易知道，当点C在圆心正上方或正下方时，三角形ABC的高最大（等于圆 的半径） ，面积也最大. 因此三角形ABC的最大面积等于22222 2 1 . 【简要评注】 建立坐标系求动点轨迹是代数方法在几何中的应用， 引进坐标系即可简化计算， 也可使问题变得直观，容易理解. 在本题中，利用点C的轨迹所在的圆直观地表示 代数式BCAC2是解决问题的突破口. 2. 求两动点之间距离的最值求两动点之间距离的最值 例 2 （05 广东 20）在平面直角坐标系中， 已知矩形ABCD的长为，宽为，AB、AD 边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原 点重合（如图 5.3.3 所示） 将矩形折叠，

34、使A点 落在线段DC上 （） 若折痕所在直线的斜率为k， 试写出 折痕所在直线的方程；图 5.3.3 （）求折痕的长的最大值 （一）求折痕所在直线的方程. （1）当0k时，如图 5.3.4 所示，此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方 程 2 1 y. 图 5.3.4图 5.3.5 （2）当0k时，如图 5.3.5 所示，设A点落在线段DC上的点) 1 ,( 0 x A ， )20( 0 x，则直线A O 的斜率 0 0 1 x A k ，所以折痕所在直线垂直平分A O ， 1 kk AO ，即：1 1 0 k x ，所以：kx 0 . 又因为折痕所在的直线与A O 的交点坐标（线段A O 的

35、中点）为) 2 1 , 2 ( k M ， 所以折痕所在的直线方程) 2 ( 2 1k xky，即 2 1 22 k ykx. 综合（1） 、 （2）得折痕所在的直线方程为： 2 1 22 k ykx)02(k. （二）求折痕的长的最大值. 【动感体验】 打开文件“05 广东 20.zjz” ，点 A是点A沿矩形折叠后的对应点. 拖动点 A观 察折痕的变化规律. 【动态解析】 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0, 2 1 (, ) 2 1 ,0( 22 k k F k E ，如图 5.3.6 所示. 图 5.3.6 由（）知， 0 xk，因为20 0 x，所以02k，设折痕长度为 d， 所

36、在直线的倾斜角为. （1）当0k时，如图 5.3.7 所示，此时点A与点D重合, 折痕的长为 2； 图 5.3.7 （2）当02k时，设 k k a 2 1 2 ， 2 1 2 k b，20ABa时， 如图 5.3.8 所示，l与线段AB相交，此时322k. 图 5.3.8图 5.3.9 2 ABa时，如图 5.3.9 所示，l与线段BC相交，此时032k； 10 b时，如图 5.3.10 所示，l与线段AD相交，此时01k； 图 5.3.10图 5.3.11 1b时，如图 5.3.11 所示，l与线段DC相交，此时12k. 所以将k所在的分为个子区间： 当12k时，折痕所在的直线l与线段DC

37、、AB相交，如图 5.3.11 所示， 折痕的长 1 1 | 1 1 | 1 |sin| 1 2 2 2 kk k k k d ， 所以2 2 5 d. 当321k时， 折痕所在的直线l与线段AD、AB相交， 如图 5.3.10 所示，折痕的长 4 3 4 1 4 3 4 ) 2 1 () 2 1 ( 2 24 2 2 2 2 k kkk k k d. 令0)( x g， 即0 2 1 2 3 3 3 k k k， 即0132 46 kk， 即 0) 2 1 () 1( 222 kk. 所以321k，解得32 2 2 k. 令0)( x g， 解得 2 2 1k. 故当 2 2 1k时，)(x

38、g是减函数，当32 2 2 k时，)(xg是 增函数. 因为2) 1(g，)348(4)32(g，所以)32() 1(gg. 所以 当32 k时，)348(4)32(g， )26(23482)32(gd， 所以，当321k时，)26(2d， 当032k时，折痕所在的直线l与线段AD、BC相交，如图 5.3.9 所示，折痕的长 2 2 12 1 1 2 |cos| 2 k k d . 所以34822 l，即)26(22 l. 综上所述得，当32 k时，折痕的长有最大值，为)26(2 【简要评注】 本题考查的是学生分类讨论的能力，要求对图形的变化有清晰地认识，在解答 过程中可以看到找出分界点以及每

39、一类的最值都需要耐心和细致的计算. 3. 求向量数量积的最值求向量数量积的最值 例例 3 （07 辽宁理 20）已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线 2 2yx上， 其中O为坐标原点，设圆C是OAB的外接圆（点C为圆心）. （I）求圆C的方程； （II）设圆M的方程为1)sin7()cos74( 22 yx，过圆M上任意 一点P分别作圆C的两条切线PEPF、，切点为EF、，求CFCE 的最大值和 最小值. （一）求圆C的方程 打开文件“07 辽宁理 20.zjz” ，如图 5.3.12 所示. 图 5.3.12 利用正三角形OAB的三个顶点都在抛物线 2 2yx上的条件容易求出A点的 坐标，

40、进而求出三角形外接圆的圆心和半径. 具体解法如下： 因为OAB是正三角形，可知点A与点B关于x轴对称. 所以 o xOA30. 设点)2,(xxA，则有： x x xOA 2 3 3 )tan(，解得：6x. 由正弦定 理知：R OBA OA 2 )sin( ，解得：4R. 则圆心的坐标为)0 , 4(. 所以圆C的方程为：16)4( 22 yx. （二）求CFCE 的最大值和最小 【动感体验】 设2ECF，则2cos| |CFCECFCE. 因4 CFCE，所以 CFCE 的大小取决于2cos的大小. 而这又取决于CP的大小（如图所示）. 尽管圆M在以（4，0）为圆心半径为 7 的圆上，P又

41、是这圆上任意一点，但需要 关注的只是CP的变化以及对2cos大小的影响. 进入文件 “07 辽宁理 20.zjz” 的第二页， 点M和点P均可以被拖动， 观察M和 点P的位置与CFCE 的大小之间的关系. 如图 5.3.13-5.3.16 所示为其中的几种情 形. 图 5.3.13图 5.3.14 图 5.3.15图 5.3.16 【思路点拨】 观察到|CE和|CF 为定值，均等于圆C的半径 4，因此CFCE 的大小直接 与ECF有关. 事实上，1cos22cos 2 ， 而 CPCP CE4 cos. 当CP取 最大值时，2cos的值最小；当CP取最小值时，2cos的值最大. 【动态解析】

42、如图 3 所示，当点P在线段CM上时，点P距离点C最近，这时ECF具有 最小值，此时CFCE 的值最大. 此时，617PMCMCP，而在 CPFRt中，4CF，所以 3 2 )cos( CP CF FCP. 而FCPECP，因此 9 1 1)(cos2)cos( 2 FCPECF. 所以，CFCE 的最大值等于： 9 16 ) 9 1 (44. 图 5.3.17图 5.3.18 如图 5.3.18 所示，当点P在射线CM的延长线上时，点P距离点C最远，这 时ECF具 有 最 大 值 ， 此 时CFCE 的 值 最 小 .此 时 ， 817PMCMCP， 而 在CPFRt中 ，4CF， 所 以

43、2 1 )cos( CP CF FCP. 而FCPECP，因此 2 1 1)(cos2)cos( 2 FCPECF. 所以， CFCE 的最小值等于：8) 2 1 (44. 综上所述CFCE 的最大值和最小值分别为： 9 16 和8. 【简要评注】 求解最值问题的思路一般有两种，一是化为函数的最值问题，即求出对应问题 的函数表达式；另一种则是利用图形的几何意义与几何特征求解. 若能将二者有机 地结合起来，将能够事半功倍. 本节小结本节小结 与圆和直线有关的最值问题是高考的热点问题，除了代数计算方法外，利用图 形的几何性质也是重要且简捷的途径. 一般来说，与圆有关的最值问题常常在直线 与圆相切、直线经过圆心等特殊位置取得. 拓展练习拓展练习 1. （07 全国 II 理 20、文 21）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线 34xy相切 （I）求圆O的方程； （II）圆O与x轴相交于AB、两点，圆内的动点P使PAPOPB、成等比 数列，求PBPA的取值范围 2. （06 江西理 9、文 11）P是双曲线1 169 22 yx 的右支上一点，M、N分 别是圆4)5( 22 yx和4)5( 22 yx上的点，则|PNPM 的最大值为 （）. A.6B.7C.8D.9