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类型高考数学总复习《从衡水走向清华北大》精品课件17同角三角函数的基本关系.pptx

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  • 文档编号:1484790
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    资源描述:

    1、第十七讲 同角三角函数的基本关系 式及诱导公式 回归课本 1.同角三角函数基本关系式 平方关系:sin2+cos2=1; sin 商数关系:tan=. cos 2.相关角的表示 (1)终边与角的终边关于原点对称的角可以表示为+; (2)终边与角的终边关于x轴对称的角可以表示为-(或2- ); (3)终边与角的终边关于y轴对称的角可以表示为-; (4)终边与角的终边关于直线y=x对称的角可以表示为 -. 2 3.诱导公式 (1)公式一 sin(+k2)=sin,cos(+k2)=cos,tan(+k2)=t an,其中kZ. (2)公式二 sin(+)=-sin,cos(+)=-cos, tan

    2、(+)=tan. (3)公式三 sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan. (4)公式四 sin(-)=sin,cos(-)=-cos, tan(-)=-tan. (5)公式五 sin cos,cos sin. 2 2 (6)公式六 sin cos,cos sin. 2 2 即+k2(kZ),-,的三角函数值,等于的同名函数值 ,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号; 的正弦( 2 余弦)函数值,分别等于的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号. 总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇 偶”是指“k (kZ)”中k的奇偶性;“符号”是把任

    3、意角看作锐角 2 时原函数值的符号. 考点陪练 1.(2010全国)cos300=( ) 31 2 3 A.B. D. 2 C. 1 22 1 解析:cos300=cos(360-60)=cos60= ,故选C. 2 答案:C 4 2.若sin ,且是第二象限角,则tan的值等于 5 4B. 3 A. C. 3 3 4 4 4 3 D. 解析: 为第二象限角, 2 4 5 3 5 cos1 sin2 1 , sin 4 5 4 . cos 5 3 3 tan 答案:A 1 3 .已知sin ,则cos 的值为 3 3 6 A. 1 B. 1 33 2 32 3 C.D. 33 解析: , 6

    4、2 3 cos cos 6 2 3 1 sin . 3 3 答案:B 4.点P(tan2008,cos2008)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析:2008=6360-152, tan2008=-tan152=tan280, cos2008=cos1520,点P在第四象限. 答案:C 5.若cos 2sin 5,则tan等于 11 2 A. B.2 C.D.2 2 cos 2sin 5, 2 sin ( 5 2sin ) 1, 2 解析: 2 2 sin cos 1, 2 5 sin , 5 tan 2. 5 cos . 5 答案:B 类型一 利用同角三角

    5、函数基本关系式化简求值 解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确 灵活,尤其是利用平方关系sin2+cos2=1及其变形形式 sin2=1-cos2或cos2=1-sin2进行开方运算时,特别注意符 号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指 定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定 其他角的三角函数值. 1 3 【典例1】 (1)已知sin=,且为第二象限角,求 tan; 1 (2)已知sin=,求tan; 3 (3)已知sin=m(m0,m1),求tan. 1 3 解 1 ,为第二象限角, 2 1 3 2 2 3 cos 1 sin2 1 , sin co

    6、s 2 .tan 4 1 3 2 0,为第一或第二象限角. 2 2 3 2 , cos 当为第一象限角时 1 sin2 , tan . 4 2 当为第二象限角时,由 1 知tan . 4 (3)sin=m(m0,m1), cos= = (当为第一 四象限角时 1 m 2 1 sin 2 取正号,当为第二 三象限角时取负号), m 所以当为第一 四象限角时,tan=; 1 m2 m 当为第二 三象限角时,tan= . 1 m2 反思感悟 本例属同角三角函数关系式的基本题,关键是掌 握住“先平方,后作商”的原则,先求与sin的平方关系相 联系的cos,再由公式求tan.在(3)中,为第四象限角,但

    7、 m tan=,原因是m此时小于0,所以形式上tan的表 2 1 m 达式前面仍不带负号. 类型二诱导公式及其应用 解题准备:诱导公式起着变名 变角 变号的作用,应用诱导公 式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负 号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导 公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化 负为正化大为小锐角求值”. 【典例2】已知是第三象限角,且 3 2 . sin( )cos( 2 )tan f () cot( )sin( ) 1 化简f ; 3 1 2 5 2 若coscos ,求f 的值; 3 若 1860,求f 的 值. 分析 显然应用到诱

    8、导公式,既可以直接从诱导公式中合理 选用,也可以直接运用十字诀,一般来说用后一方法记忆负 担较轻. sin(2 222 解 1 f cot(2 22 sin cos. (cot)sin 3 1 2 cos(3 sin,sin , 2 25 2 5 1 22 cos 6,f () 6. 555 (3)-1860=-2190+30, f(-1860)=-cos(-1860) =-cos(-2190+30) 1 =-sin30= . 2 反思感悟 如何运用十字诀,可通过下例来体会:设=- 且 3 ,为锐角,则如图所示,可知可看成是第二象限角,而在第二 2 象限中余弦取负号,且k=-3为奇数. cos

    9、=cos(-3+)=-sin. 2 类型三sincos与sincos关系的应用 解题准备:利用sin2+cos2=1,可以得出如下结论: (sin+cos)2=1+2sincos; (sin-cos)2=1-2sincos; (sin+cos)2+(sin-cos)2=2; (sin+cos)2-(sin-cos)2=4sincos. 对于sin+cos,sincos,sin-cos这三个式子,已知其中 一个式子的值,可求其余二式的值. 1 【典例3】 已知sinx+cosx=,求下列各式的值: 2 (1)sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos4x;(3)tan2x+cot2x. 1

    10、 解osx , 2 2 11 2 sinx cosx . 22 1 sinxcosx . 4 3 osx 3 3 1 sin x cos x sinx cosx 3sinxcosx 3 1 1 51 3 2; 2 4 28 2 4 4 2 2 22 2 sin x cos x sin x cos x 2sin xcos x 2 1 7 2 1 2 sinxcosx 1 2 ; 4 8 2 22 sin x cos x 2 2 2 3 tan x cot x tanx cotx 2 2 sinx 11 1 2 2 16 2 14. 22 sin x 16 反思感悟 平方关系sin2x+cos2x

    11、=1把 sinx+cosx,sinxcosx联系起来,要灵活运用它们之间的变 换,熟记立方和公式及和的立方公式. 类型四 关于sin与cos的二次齐次式的求值问题 解题准备:这类已知某个三角函数值,求其余三角函数值的问 题的常规思路是:利用同角间的三角函数关系,求出其余三 角函数值,这就需要根据m的取值符号,确定角所在的象限 ,再对它进行讨论.这样计算相当繁琐,而在这里灵活地运用 “1”的代换,将所求值的式子的分子 分母同除以cosn, 用tann表示出来,从而简化了解题过程,我们应熟练掌握这 种解法.更主要的是由此进一步领悟具体问题具体分析的 辩证思想方法. tan tan 1 【典例4】已

    12、知 1,求下列各式的值. sin 3cos sin cos (1); 2 sin sin cos 2. 2 1 解由已知得tan . 2 1 2 3 1 sin 3cos tan 3 1 sin cos tan 1 5 1 . 3 2 2 2 sin sin cos 2 sin sin cos 2 cos sin 2 22 3sin sin cos 2cos 22 2 sin cos 2 2 3tan tan 2 2 tan 1 2 1 1 3 2 13 2 2 1 2 . 5 1 2 反思感悟 形如asin+bcos和 asin2+bsincos+ccos2的式子分别称为关于sin cos的

    13、一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角式的 变换常有如上的整体代入方法可供使用. 错源一 忽视隐含的平方关系,扩大解的范围而致错 【典例1】已知sin m3 , cos m5 42m m5 ,其中 , , 2 则下列结论正确的是 A.m3,9 B.m(-,5)3,+) C.m=0,或m=8 D.m=8 m 3 m 5 4 2m m 5 错解 由已知有 0,0, 解得m0一定要说明.同样 4 3 ,快解法中,得出sin= ,cos= 也是由(0,)确定 5 5 的. 易丢分原因 求sin-cos的过程中,若不考虑(0,),将 sin-cos变为 是不行的. (sin cos ) 2 4 求方程的根时,若不考虑(0,),会求得sin= ,cos= 5 3 ,其结果也是两个值. 5

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