高考数学总复习《从衡水走向清华北大》精品课件39圆的方程-点-直线-圆的位置关系.pptx

1、第三十九讲 圆的方程 点 直 线 圆的位置关系 共 54 页1 回归课本 1.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中圆心为(a,b),半径为r. 2.圆的一般方程 D E 2 2 , ,半 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),其中圆心为 1 径 2 D E 4F. 2 r 2 D E , . 若D2+E2-4F=0,则表示点 2 2 若D2+E2-4Fr;点P 在圆上d=r;点P在圆内dr2时,点P在圆外;当(x -a)2+(y - 0000 b)2=r2时,点P在圆上;当(x -a)2+(y -b)20;P在圆上x +y +Dx +Ey +F=0;P在

2、 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 圆内x2 +y2 +Dx +Ey +F0)的位置关系的 判断方法有: (1)几何方法 | Aa Bb C | 圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离 d, 2 2 A B dr直线与圆相离. 共 54 页6 (2)代数方法 Ax By C 0 由消元,得到一元二次方程 2 (x a) (y b) r 2 2 其判别式为 ,则 0直线与圆相交; =0直线与圆相切; 0)与(x-a )2+(y-b )2=r2 (r 0) 111 1222 2 的圆心距为d,则 dr +r 两圆相离; 1 2 d=r +r 两圆外切; 1 2 |r -r |d

3、r +r 两圆相交; 1 21 2 d=|r -r |两圆内切; 1 2 0db0且a=2c,方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x 和 1 x ,则点P(x ,x )( ) 1 2 2 A.必在圆x2+y2=2内 B.必在圆x2+y2=2上 C.必在圆x2+y2=2外 D.以上三种情况都有可能 共 54 页14 bc 解析: , x x , 121 2 aa 2 b 2c 2 1 2 2 x x (x x ) 2x x 2 . 121 2 2 a a c 1 b2 又 a 2 a2 b2 1. x x 1 2 1 2 2 2. 2 a 2 2 故点P x ,x 一定在圆x y 2内,因此

4、选A. 12 答案:A 评析:本题综合考查了韦达定理以及点与圆的位置关系. 共 54 页15 类型一 求圆的方程 解题准备:无论是圆的标准方程还是圆的一般方程,都有三个 待定系数,因此求圆的方程,应用三个条件来求.一般地,已 知圆心或半径的条件,选用圆的标准式,否则选用一般式. 另外,还有几何法可以用来求圆的方程.要充分利用圆的有 关几何性质,如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线 上”“半径,弦心距,弦长的一半构成直角三角形”等. 共 54 页16 【典例1】求过两点A(1,4) B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆 的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系. 分析欲求圆的标准方程,需求出圆心坐

5、标和圆的半径的大 小,而要判断点P与圆的位置关系,只需看点P与圆心的距离 和圆的半径的大小关系;若距离大于半径,则点在圆外;若 距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 共 54 页17 解解法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 圆心在y=0上,故b=0. 圆的方程为(x-a)2+y2=r2. 又该圆过A(1,4)、B(3,2)两点. 22 (1 a) 16 r , a 1, r 20. 解得 2 2 (3 a) 4 r , 2 所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=20. 共 54 页18 2 2 解法二:设圆方程为x y Dx Ey F 0,因为圆心在 x

6、轴上, E 则 0,即E 0. 2 又圆过A 1, 4 和B 3, 2 ,所以 D 2, D 17 F 0, 解得 E 0, 3D 13 F 0, F 19. 2 2 所以圆的方程为x y 2x 19 0. 共 54 页19 解法三:因为圆过A 1,4 B 3, 2 两点,所以圆心C必在线 段AB的垂直平分线l上, 4 2 又因为k 1,故l的斜率为1, AB 1 3 又AB的中点为 2, 3 , 故AB的垂直平分线l的方程为y 3 x 2, 即x y 1 0. 共 54 页20 又知圆心在直线y 0上,故圆心坐标为C 1,0 . 半径 r | AC | (1 1) 4 20. 2 2 2 x

7、 1 y 20. 故所求圆的方程为 2 又点P 2, 4 到圆心C 1, 0 的距离为 2 2 d | PC | (2 1) 4 25 r. 点P在圆外. 共 54 页21 反思感悟(1)本题解法一与解法二都使用了待定系数法, 其中解法一设了圆的标准方程,解法二设了圆的一般方程, 都是结合条件来求所设方程中的待定系数;解法三则应用 了平面几何知识:圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而 言,在解析几何问题中,能用上平面几何知识,会使解题变 得相对简单. (2)无论哪种解法,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的 量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来 判定点与圆的位置关系. 共 54

8、页22 类型二直线与圆的位置关系 解题准备:1.直线与圆位置关系的判定方法: (1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小判断. 当dr时,直 线与圆相离. 共 54 页23 (2)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据 解的个数来研究. 若有两组不同的实数解,即 0,则直线与圆相交; 若有两组相同的实数解,即 =0,则直线与圆相切; 若无实数解,即 0,则直线与圆相离. 共 54 页24 2.若直线与圆相交,则直线被圆截得的弦长 | AB | 1 k | x x |. 2 12 3.以圆x2+y2=r2上一点P(x ,y )为切点的切线方程为 0 0 x x+y y=r2.

9、0 0 共 54 页25 【典例2】已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR). (1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交; (2)求直线l被圆C截得弦长最短长度及此时l的直线方程. 共 54 页26 解析(1)直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m为任 何实数,它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程 联立,解得交点为(3,1),又有(3-1)2+(1-2)2=5r +r 相 1 21 21 2 1 2 离;|O O |=r +r 外切;|r -r |O O |r +r 相 1 2 1 21

10、 21 2 1 2 交;|O O |=|r -r |内切;0|O O |r -r |内含. 1 21 21 21 2 共 54 页29 【典例3】已知圆C :x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C :x2+y2+2x- 12 2my+m2-3=0,试就m的取值讨论两圆的位置关系. 分析求两圆的圆心距d,判断d与R+r,R-r的关系. 共 54 页30 2 2 解圆C : x m y 2 9, 1 2 2 圆C : x 1 y m 4. 2 | C C | (m 1) (m 2) ,r 3,r 2. 2 2 两圆的圆心距 1 212 即 2 2 1 | C C | r r , (m 1)

11、(m 2) 5,当 1 212 解得m 5或m 2, 故m 5或m 2时,两圆外切; 共 54 页31 即 2 | C C | r r , (m 1) (m 2) 1, 2 2 当 1 212 解得m 2或m 1, 故m 2或m 1时,两圆内切; 共 54 页32 (3)当r -r |C C |r +r , 1 2 1 2 1 2 即-5m-2或-1mr +r ,即m2时,两圆外离; 1 2 1 2 (5)当|C C |r -r ,即-2m-1时,两圆内含. 1 2 1 2 共 54 页33 反思感悟不根据圆心距与两圆半径的和、差关系,确定两圆 位置关系,或用代数法求解,造成计算繁琐. 在讨论

12、两圆的位置关系时,一般用几何法而不用代数法,关于 两圆的位置关系的讨论,应明确圆心距和两圆半径之间的 和差关系. 共 54 页34 错源一忽视特殊情形 【典例1】已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线a过点P(2,3)且与 圆M交于A,B两点,且 | AB | 2 3 求 , 直线a的方程. 共 54 页35 错解设直线a的方程为y-3=k(x-2), 即kx-y+3-2k=0. 作示意图如图,作MCAB于C. | BC | 3,| MB| 2,在直角三角形MBC中, 2 2 | MC | MB BC 1,由点到直线的距离 3 | k 13 2k | 解得 1, k . 4 2 k 1

13、 所以直线a的方程为3x-4y+6=0. 共 54 页36 剖析忽视了直线a的斜率不存在情形. 正解 1 当直线a存在斜率时,设直线a的方程为 y 3 k x 2 ,即kx y 3 2k 0. 作MC AB于C. 在直角三角形MBC中,| BC | 3,| MB | 2, 2 2 由点到直线的距离公式得| MC | MB BC 1, | k 1 3 2k |3 1,解得k . 4 2 k 1 所以直线a的方程为3x 4y 6 0. 2 当直线a的斜率不存在时,其方程为x 2,| AB | 2 3, 所以适合题意. 综上得,直线a的方程为3x 4y 6 0或x 2. 共 54 页37 错源二以偏

14、概全 【典例2】求与圆C:(x-2)2+(y-1)2=4和直线y=0都相切且半径 为1的圆的方程. 错解因为所求的圆与圆C和直线y=0都相切且半径为1,所以 设其圆心为(a,1),则 2 2 (a 2) (1 1) 3. 整理得a2-4a-5=0,解得a=5或a=-1. 所以所求的圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1或(x+1)2+(y-1)2=1. 共 54 页38 剖析错解中共有两处错误:1.所求的圆与圆C和直线y=0 都相切,圆不一定在y=0的上方,也有可能在下方,所以设圆 心为(a,1)是错误的;2.两圆相切不一定是外切,也有可能 (1 1) 3 是错误的,没有考虑 2 是内切,所

15、以 (a 2)2 内切的情形. 共 54 页39 正解因为所求的圆与圆C和直线y 0都相切且半径为1, 所以设其圆心为(a,1). 2 2 1 若所求圆与圆 x 2 y 1 4外 切,则 2 2 (a 2) (1 1) 3, 或 2 (a 2) ( 1 1) 3. 2 2 由整理得a 4a 5 0, 解得a 5或a 1; 2 由整理得a 4a 1 0,解得a 2 5. 共 54 页40 2 2 2 2 所以所求的圆的方程为 x 5 y 1 1或 x 1 y 1 2 2 1 (x 2 5) y 1 1 (x 2 5) y 1 1. 或 2 或 2 2 2 2 若所求圆与圆 x 2 y 1 4内切

16、,则 2 2 (a 2) (1 1) 1, 或 (a 2) ( 1 1) 1. 2 2 2 由整理得a 4a 3 0,解得a 1或a 3; 2 由整理得a 4a 7 0,此方程无解. 共 54 页41 所以所求的圆的方程为 2 2 2 2 x 1 y 1 1或 x 3 y 1 1. 2 2 2 2 综上,所求圆的方程为 x 5 y 1 1或 x 1 y 1 2 2 1 (x 2 或 5) 2 y 1 1或(x 2 5) y 1 1或 2 2 2 2 2 x 1 y 1 1或 x 3 y 1 1. 共 54 页42 四种方法确定圆的方程 技法一 当圆内接一个三角形时如何确定圆的方程 【典例1】已

17、知ABC的三个顶点坐标分别是A(4,1),B(6,- 3),C(-3,0),求ABC外接圆的方程. 共 54 页43 解题切入点这道题可从两个角度来思考:(1)待定系数法,这 是一种常用的方法.也就是设出圆的一般式方程,然后确定 其中未知系数,但这种方法较机械且计算量较大;(2)可以利 用ABC外接圆的圆心处在三条边的垂直平分线上,所以 可以先求其中两条边的垂直平分线方程,求得的交点坐标 就是圆心坐标. 共 54 页44 解解法一:待定系数法,请自己动手完成. 解法二:如图,因为ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分 线上,又在BC的垂直平分线上,所以先求AB, BC的垂直平分 线方程,求得的交

18、点坐标就是圆心坐标.因为 31 6 4 0 (3) 1 k 2,k , ABBC 3 6 3 3 3 2 2 线段AB的中点为 5,1 ,线段BC中点为 , ,则AB的垂 1 直平分线方程为y 1 (x 5), 2 3 3 BC的垂直平分线方程y 3 x . 2 2 共 54 页45 x 1, 联立解得 y 3. 所以ABC外接圆的圆心为E 1,3 , 半径 2 r | AE | (4 1) (1 3) 5. 2 2 2 故ABC外接圆的方程是 x 1 y 3 25. 共 54 页46 方法与技巧相比较而言,应当特别重视解法二的解题思 路.这是一种程序化的解题过程,记住一题,则可通过这一 方法

19、解决所有类似问题. 共 54 页47 技法二 当圆心在直线上,且已知圆上两点时如何确定圆的 方程 【典例2】已知一圆经过点A(2,-3)和点B(-2,-5),且圆心C在 直线l:x-2y-3=0上,求此圆的标准方程. 解题切入点圆的任何一条弦的垂直平分线都经过圆心,于 是弦AB的垂直平分线必和直线l:x-2y-3=0相交于圆心. 共 54 页48 解如图,因为A 2,3 ,B 2,5 , 所以线段AB的中点D的坐标为 0,4 . 5 (3) 1 又k , AB 2 2 2 所以线段AB的垂直平分线的方程是y 2x 4. x 2y 3 0, x 1, 解方程组得 y 2x 4, y 2. 则圆心

20、坐标为C 1,2 , 半径 2 r | CA| (2 1) ( 3 2) 10 , 2 2 2 故圆的标准方程是 x 1 y 2 10. 共 54 页49 方法与技巧当圆心在直线上时,一般可阐述如下问题:(1)该 直线与任何一条弦的垂直平分线都相交于圆心;(2)该直线 将圆平分为面积相等的两部分;(3)该直线与圆产生的相交 弦的弦长的一半为圆半径. 共 54 页50 技法三 当圆心在直线上,且已知圆的一条切线时如何确定 圆的方程 【典例3】求经过点A(2,-1)和直线x+y=1相切,且圆心在直线 y=-2x上的圆的方程. 解题切入点已知圆的一条切线时,圆心到切线的距离就等 于半径.此时,可用点

21、到直线的距离公式建立等式求圆心坐 标或是半径. 共 54 页51 解因为圆心在直线y 2x上, 所以可设圆心坐标为 a,2a .据题意得: | a 2a 1| (a 2) ( 2a 1) 22 , 2 1 (a 2) (1 2a) (1 a) , 即 2 2 2 2 解得:a 1.圆心为 1,2 ,半径为 2. 2 2 故所求圆的方程为 x 1 y 2 2. 共 54 页52 技法四 当圆过已知圆与直线的交点时,如何确定圆的方程 【典例4】已知圆x2+y2+x-6y+3=0与直线x+2y-3=0的两个交点 为P,Q,求以PQ为直径的圆的方程. 解题切入点这类题目最直观的解法就是求出两交点的坐标, 及由题目给出的数量关系求出半径,即可求出圆的方程. 共 54 页53 解设点P x , y ,Q x , y , 1122 则点P, Q的坐标满足方程组 22 x y x 6y 3 0, x 2y 3 0. x 1, x 3, 12 解方程组得或 y 1, y 3. 1 2 即点P 1,1 ,Q 3, 3 . 则线段PQ的中点坐标为 1, 2 , | PQ | (x x ) (y y ) 2 5. 2 2 1212 2 2 故以PQ为直径的圆的方程是 x 1 y 2 5. 共 54 页54