高考数学总复习《从衡水走向清华北大》精品课件15导数的应用.pptx
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1、第十五讲导数的应用 回归课本 1.函数的单调性与导数 在区间(a,b)内,函数的单调性与其导数的正负关系:(1)如果 f(x)0,那么y=f(x)在这个区间内单调递增.(2)如果f(x)0, 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.(3)如果f(x)=0,那 么f(x)在这个区间内为常数. 2.函数的极值与导数 (1)函数极值的定义 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点 的函数值都小,且f(a)=0,而且在x=a附近的左侧f(x)0,则a点叫函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值. 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点 的函数值都
2、大,且f(b)=0,而且在x=b附近的左侧f(x)0,右 侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x )是极大值. 00 如果在x 附近左侧f(x)0,那么f(x )是极小值. 00 如果f(x)在点x 的左 右两侧符号不变,则f(x )不是函数极 00 值. 3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在a,b上有最值的条件 如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线, 那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤 求函数y=f(x)在(a,b)内的极值. 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其 中最大的一个是
3、最大值,最小的一个是最小值. 4.解决优化问题的基本思路 考点陪练 1.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且在x=-3时取得极值,则a的值 为( ) A.2 C.4 B.3 D.5 解析:由题意得f(x)=3x2+2ax+3.又f(x)在x=-3时取得极值,所 以f(-3)=30-6a=0,解得a=5.故选D. 答案:D 2.(2010重庆统考)已知函数f(x)=x3-3x,则函数f(x)在区间- 2,2上的最大值是() A.0 C.2 B.1 D.3 解析:f(x)=3x2-3,当x-2,-1或1,2时,f(x)0,f(x)单调递增; 当x(-1,1)时,f(x)0,f(x)单调递减
4、.故极大值为f(-1)=2,极 小值为f(1)=-2,又因为f(-2)=-2,f(2)=2,f(x)在-2,2上的最 大值为2. 答案:C 3.f(x)是定义在(-,+)上的可导的奇函数,且满足 xf(x)0,f(1)=0,则不等式f(x)0的解为() A.(-,-1)(0,1) B.(-1,0)(1,+) C.(-,-1)(1,+) D.(-1,0)(0,+) 解析:由xf(x)0时,f(x)0时,由f(x)1,又因为函数为奇 函数,故当x0时,不等式f(x)x-1,故选B. 答案:B 1 安徽联考 设函数 在区间 f x x ax 5x 6 ) 3 2 4.( 2010 3 1, 3 上是
5、单调函数,则实数a的取值范围是( ) B. ,3 A. 5 ,) C.(,3 5,)D. 5, 5 解析 因为 由题意得 在区 : f x x 2ax 5, f x 2 间 1, 3 上符号不变. 1 若在该区间上为增函数,则有 2 x 5 15 2 故 x,f x x 2ax 5 0, a 2x 2 x 1 5 2 x 而x 1,3 ,令t x ,显 然, t在1, 5 上单调递增,在 5, 3上单调递减,故最大值为 15 t | 5 5, x 5 2 5 所以a 5; 2 若在该区间上为减函数 则有 ,f x x 2ax 5 0, 2 2 5 x 5 1 故a x , 2x 2 x 1 1
6、 5 7 2 3 3 而t | (1 5) 3,t | x 3 3 , x1 2 由 1 知a3.由 1 2 可知a的取值范围 为(,3 5,) .故选C. 答案:C 5.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的 有_. 函数f(x)在区间(-3,1)内单调递减; 函数f(x)在区间(1,7)内单调递减; 当x=-3时,函数f(x)有极大值; 当x=7时,f(x)有极小值. 解析:由图象可得,在区间(-3,1)内f(x)的导函数值大于零,所以 f(x)单调递增;在区间(1,7)内f(x)的导函数值小于零,所以 f(x)单调递减;在x=-3左右的导函数符号不变,所以x=-3不 是
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