高考数学总复习《从衡水走向清华北大》精品课件25平面向量的数量积.pptx

1、第二十五讲平面向量的数量积 回归课本 1.向量的夹角 (1)已知两个非零向量a和b,作 叫做向量a与b的夹角. OA a,OB b,则AOB= (2)向量夹角的范围是0,a与b同向时,夹角=0;a与b反向 时,夹角=. (3)如果向量a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作ab. 2.向量的投影 |a|cos(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影. 3.平面向量数量积的定义 ab=|a|b|cos(是向量a与b的夹角),规定:零向量与任一向 量的数量积为0. 4.向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹 角,则 (1)ea=ae=|

2、a|cos. (2)ab=ab=0. (3)当a与b同向时,ab=|a|b|; 当a与b反向时,ab=-|a|b|; 特别地,aa=|a|2或|a|=a a . (4)cos= | a | b | (5)|ab|a|b|. 5.向量数量积的运算律 (1)ab=ba.(交换律) (2)(a)b=(ab)=a(b).(数乘结合律) (3)(a+b)c=ac+bc.(分配律) 6.平面向量数量积的坐标表示 (1)若a=(x ,y ),b=(x ,y ),则ab=x x +y y . 1 12 21 21 2 (2)若a=(x ,y ),b=(x ,y ),是a与b的夹角,则cos= 1 12 2 x

3、 x y y 1 21 2 . 2 1 22 2 2 x y x y 12 (3)若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x ,y ),(x ,y ),则 1 12 2 |a|= 这就是平面内两点间的距离 22 (x x ) (y y ) , 1212 公式. (4)设a=(x ,y ),b=(x ,y ),则ab ab=0 x x +y y =0. 1 12 21 21 2 考点陪练 1.(2010北京)a,b为非零向量,“ab”是“函数 f(x)=(xa+b)(xb-a)为一次函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:函数f(

4、x)=x2ab-(a2-b2)x-ab,当函数f(x)是一次函数时 必然要求ab=0,即ab,但当ab,|a|=|b|时,函数f(x)不是 一次函数,故选B. 答案:B 2.(2010重庆)已知向量a,b满足ab=0,|a|=1,|b|=2,则|2a- b|=( ) A.0 C.4 B. 2 2 D.8 解析:因为|2a-b|2=(2a-b)2=4a2+b2-4ab=4a2+b2=4+4=8,故 |2a-b|= 答案:B ,选B. 2 2 3.P 是所在平面上一点,若PA 的 )则P是 A.外心 B.内心 C.重心D .垂心 答案:D 4.非零向量OA a,OB b,若点B关于O A所在直线的

5、对称 点为B ,则向量OB为() 11 2(a | a |2 2(a A.bB.2a b C.D. | a |2| a | 答案:A 5.( 2011 福建福州质检)直角坐标系xOy中, AB ( 2,1), AC (3,k),若三角形ABC是直角三角形,则k的可能值的个数是() A.1B.2 C.3D.4 解析: AB AC CB (1,1 k), (1)AB (2)AB (3)AC k 6, k 1, 2 k k 3 0, 由 0得方程无解. 答案:B 类型一数量积的性质及运算 解题准备:1.数量积的运算要注意a=0时,ab=0,但ab=0时 不能得到a=0,或b=0,因为ab时,也有ab

6、=0. 2.若a、b、c是实数,则ab=acb=c(a0);但对于向量,就没 有这样的性质,即若向量a b c满足ab=ac(a0),则不 一定有b=c,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同 时乘以一个向量. 【典例1】1 已知中 | AB | 5,| AC | 4,| BC | 3, 的值是 _ .则AB 解析由已知可得BC CA,故原式 AB ABA) | AB | 2 5. 2 答案-25 (2)设a b c是任意的非零向量,且互不共线.给出以下命题: (ab)c-(ca)b=0;|a|-|b|a-b|;(bc)a-(ca)b不 与c垂直;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4

7、|b|2.其中是真命题的 是_. 解析对于只有当向量b,c的方向相同时,二者才相等所以 错;考虑式对应的几何意义,由三角形两边之差小于第 三边知正确;由(bc)a-(ca)bc=0知(bc)a- (ca)b与c垂直,故错;向量的乘法运算符合多项式乘 法法则,所以正确.所以正确命题的序号是. 答案 类型二利用数量积解决长度、垂直问题 解题准备:常用的公式与结论有: 2 a a a 2 或a 2 | a b | (a b) a 2aob b ; 2 2 若 a x, y , a x y .则 2 2 其中两个公式应用广泛,需重点把握. a b a均为非零向量); 设a x , y ,b x , y

8、 ,则a b x x y y 0. 11221 21 2 【典例2】已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120. (1)计算|a+b|,|4a-2b|; (2)当k为何值时,(a+2b)(ka-b)? 分析利用|a|= 及abab=0即可解决问题.a 1 解由已知,ab=48 =-16.( ) 2 (1)|a+b|2=a2+2ab+b2 =16+2(-16)+64=48, |a+b|= 4 3. |4a-2b|2=16a2-16ab+4b2 =1616-16(-16)+464=3162. |4a-2b|= 16 .3 (2)若(a+2b)(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0, k

9、a2+(2k-1)ab-2b2=0. 16k-16(2k-1)-264=0, k=-7. 类型三利用数量积解决夹角问题 解题准备:1.涉及到与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角 公式解决,这也是平面向量数量积的一个重要考点. a ;设a a ,a ,b b ,b , 2.cos a, b 则cos a, b 1212 | a | b | a b a b 1 12 2 . 2 2 2 2 1 2 a a 12 3.在应用上述公式求夹角时,要考虑夹角的取值范围. 【典例3】已知a b都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a与a+b 的夹角. a、b 分析由公式cos=可知,求两个向量的夹角

10、 | a | b | 关键是求数量积及模的积.本题中|a|=|b|=|a-b|的充分利用 是求数量积的关键,考虑怎样对条件进行转化. 解解法一:由|a|=|b|=|a-b|得,|a|2=|b|2,|b|2=a2-2ab+b2,所 1 以ab= a2. 2 1 而|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=2|a|2+2 |a|2 2 =3|a|2, 所以|a+b|= 3 |a|. 设a与a+b的夹角为, 1 a2a2 a 3 则cos=2 , | a | a b |2 3 | a | 2 由于0180,所以=30. 解法二:设a (x ,y ),b (x ,y ), 1122 由 a b | a

11、 b | 得, | a | | b | ,| a b | a 2a 22222 所以x y x y x y x y 2x x 2y y , 2 2 2 2 2 2 2 2 112211221 21 2 1 即x x y y (x2 y 2 ). 1 21 211 2 所以| a b | (x x ) (y y ) 222 1212 x1 2 y1 2 x2 2 y2 2 2x x 2y y 3(x 2 1 y1 2 ), 1 21 2 2 1 2 1 故 3 x y . 设a与a b的夹角为,则cos 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x y (x y ) ao(a b) | a | a b

12、 | 3 2 a b , 2 2 2 1 2 1 2 x y 11 由于0180,所以 30. 反思感悟(1)求两个向量的夹角,需求得ab及|a|,|b|或得出 它们的关系,注意夹角的取值范围是0,180.正确理解 公式是关键. (2)向量有两种表示形式,即坐标法和几何法,解题时要灵活选 择.本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答 此类题目显得更加简捷和直观. 错源一利用点平移与向量平移设置陷阱 【典例1】已知A(3,7),B(5,2),将 后所得向量的坐标是() A B 按向量a=(1,2)平移 A.(1,7)B.(2,-5) D.(3,-3)C.(10,4) 错解因为A(3,7)

13、,B(5,2),所以 将x=2,y=-5及h=1,k=2,代入平移公式,得x=2+1=3,y=-5+2=- 3,故 按A B向量a平移后所得向量坐标是(3,-3),选D. A B=(2,-5), 剖析平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关 系,它并不适合向量平移规律.上述错误是典型的乱用公式. 正解因向量平移后仍与原向量相等. A B AB (2, 5), 故故选B. 答案B 错源二利用平移前后的解析式设置陷阱 【典例2】将函数y=f(x)的图象按向量a平移,使图象上的点A 的坐标由(2,3)变为(3,5),则平移后图象的解析式为() A.y=f(x-1)+2 B.y=f(x-1)-2

14、 C.y=f(x+1)+2D.y=f(x+1)-2 错解因为点A的坐标由 2,3 变为 3,5 ,所以a 3 2,53 x x 1, 所以y 2 f x 1 ,选D. 1,2 ,由平移公式得 y y 2, 剖析上述错误是把点的平移与图象的平移混为一谈. 正解a 3 2,53 1,2 ,设P x,y 为y f x 的图象 上任意一点,平移后的对应点为P(x,y),由平移公式得 y y 2, y y 2, x x 1, x x 1, 将它们代入y f x 中,得y 2 则 f x1 ,习惯上将上式中的x,y写作x, y,即y 2 f x 1 , 故选A. 答案A 错源三利用平移方向设置陷阱 【典例

15、3】将y=2x-6的图象按向量a平移后,得到y=2x的图象, 那么a=_. 错解因为y=2x-6=2(x-3),所以要得到y=2x的图象,只需将 y=2x-6的图象沿着x轴向左平移3个单位长度,故a=(-3,0); 又y=2x的图象可以看作将y=2x-6的图象沿着y轴向上平移 6个单位长度得到的,故a=(0,6),所以向量a=(-3,0)或(0,6). 剖析上述错误是对图象平移的定义没有弄清所致,根据图象 平移的定义可知,图象的平移就是将图象F上所有点按照同 一方向,移动同样长度,得到图象F.此处它只需按照同一方 向,而没有要求一定是水平或竖直的移动. 正解设a=(h,k),P(x,y)是函数

16、y=2x-6的图象上任意一点,它 在函数y=2x的图象上的对应点为P(x,y),由平移公式 y y k, x x h, 得将它们x代 入xy =h2,x- y y k, 6中,得y-k=2(x-h)-6,即y=2x-2h-6+k,所以平移后函数解析 式为y=2x-2h-6+k,因为y=2x-2h-6+k与y=2x为同一函数, 所以-2h-6+k=0,即k=2h+6,因此,所求向量 a=(h,2h+6)(hR). 答案(h,2h+6)(hR) 错源四误用实数的运算律或运算法则而致错 【典例4】已知a,b都是非零向量,且向量a+3b与7a-5b垂直, 向量a-4b与7a-2b垂直,求向量a与b的夹

17、角. (a 3b) (a 4b) 0, 0, 错解由题意得 22 7a 16a 0, 即 7a 30a 2 2 0, 两式相减得46ab-23b2=0, 即b(2a-b)=0, 所以b=0(舍去)或2a-b=0, 由2a-b=0知a与b同向,故向量a与b的夹角为0. 剖析本题误用实数的运算性质,即实数a,b若满足ab=0则必 有a=0或b=0,但对于向量a,b若满足ab=0,则不一定有a=0 或b=0,因为由ab=|a|b|cos知与有关,当=90时 ,ab=0恒成立,此时a,b均可以不为0. 正解由前知b2=2ab,代入7a2+16ab-15b2=0得a2=2ab, 所以a2=b2=2ab,

18、 1 2 | a | 故cos=a1 2 , 2 | a | 2 则两向量的夹角=60. 评析向量的数量积与实数的积有着本质上的区别,其主要表 现为运算律或运算法则上的区别,因此解答向量的数量积 时,不要受到实数积形成的定势思维的影响. 技法一方程思想 7 1 1 7 【典例1】与向量a , ,b , 的夹角相等,且模 2 2 2 2 为1的向量是() 4 3 4 3 4 3 A. ,B. , 或 , 5 5 5 5 5 5 2 2 12 2 1 D. , 或 , . 2 2 1 C. , 3 33 33 3 解析设满足题意的向量e x, y ,则 7 1 1 7 , a 2 2 2 2 即

19、| e |1, x y 1. 2 2 7 1 1 7 x y x y 2 2 2 2 x y 1 2 2 4 x , 4 x , 55 3 解之得或 故选B. 3 y , y . 55 答案B 方法与技巧本题考查的是单位向量问题,有关单位向量的求 解常常根据题设构造方程组,通过解方程组求解. 技法二分类讨论思想 【典例2】已知|a|=4,|b|=5,当ab时,求a与b的数量积. 解题切入点已知|a|=4,|b|=5,求ab,只需确定其夹角.注意 到ab时,有=0和=180两种可能,故需分类讨论. 解因为ab,故当a与b同向时, =0,ab=|a|b|cos0=20; 当a与b反向时,=180,

20、 所以ab=|a|b|cos180=-20. 方法与技巧对问题分类讨论时,要分类完整,做到不重不漏. 技法三整体思想 【典例3】若向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3, |b|=1,|c|=4,则ab+bc+ca=_. 解题切入点直接运用公式求解,需确定出a与b,b与c,a与c的 夹角,这是解题的一个难点,可考虑运用变形公式整体求解. 解析因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以ab+bc+ca 2 2 2 2 (a b c) (a b c ) 2 2 2 2 0 (3 1 4 ) 2 =-13. 答案-13 方法与技巧本题是利用(a+b)2=a2+2ab+b2推广到 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),通过整体变形来解 决问题.