高考数学总复习《从衡水走向清华北大》精品课件16任意角和弧度制及任意角的三角函数.pptx

1、第四模块 三角函数 第十六讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 回归课本 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一 个位置所成的图形旋转开始时的射线OA叫做角的始边， 旋转终止时的射线OB叫做角的终边，按逆时针方向旋转 所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零角 2象限角 把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的 始边与x轴的非负半轴重合那么，角的终边在第几象限， 我们就说这个角是第几象限角 象限角象限角的集合表示 第一象限 角 |k360k36090，kZ 第二象限 角 |k36090k360180

2、，kZ |k360180k360270，kZ |k36090k360，kZ 第三象限 角 第四象限 角 3.象限界角(即轴线角) 角终边位置 在x轴非负半轴上 在x轴非正半轴上 在y轴非负半轴上 在y轴非正半轴上 在x轴上 角的集合 |k360，kZ |k360180，kZ |k36090，kZ |k36090，kZ |k180，kZ |k18090，kZ在y轴上 注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何 一个象限，即为象限界角(或轴线角) 4终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S |k360，kZ或S|2k，kZ， 前者用角度制表示，后者用弧度制表示 注

3、意：(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定 相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍 (2)一般地，终边相同的角或通式表达形式不唯一，如 k18090(kZ)与k18090(kZ)都表示 终边在y轴上的所有角 (3)应注意整数k为奇数、偶数的讨论 5弧度制 (1)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角以弧 度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符 号是rad，读作弧度 (2)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个 负数，零角的弧度数是0. 6度与弧度的换算关系 周角的 1 为1度的角 360 1 1 周角1rad 即周角1， 2 360 3602

4、rad 180=rad,1=rad,1rad 180 5718. 180 7扇形的半径为R，弧长为l，(02)为圆心角 弧长lR，即弧长等于该弧所对的圆心角的弧度数乘以半 11 径扇形面积S lR R2. 22 8在直角坐标系中利用单位圆的定义求任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做的正弦，记作sin，即siny； (2)x叫做的余弦，记作cos，即cosx； (3)y,x叫做的正切，记作tan，即tan (x0) y x 9利用角终边上任意一点的坐标定义三角函数 设直角坐标系中任意大小的角终边上任意一点的坐标为(x， y)，它与原点的距离是

5、r(r0)，那么任意角的三角函数的 定义： 注意：要特别注意三角函数的定义域 10各象限角的三角函数值和符号如图所示 三角函数正值口诀：全正，正弦，正切，余 弦 11终边相同的角的同一三角函数的值相等，即 sin(k2)sin cos(k2)cos (其中kZ) tan(k2)tan 12三角函数线 图中有向线段MP，OM，AT分别表示正弦线、余弦线和正 切线 注意：当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成 一个点，此时角的正弦值和正切值都为0；当角的终边 与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时 角的正切值不存在 考点陪练 1.已知集合A第一象限角，B锐角，C小于90的 角，

6、下列四个命题：ABC，AC，CA， ACB，其中正确命题的个数为( ) A0B1 D3C2 答案：A 2.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是( ) A. B. D. 33 6 C. 6 答案:B 3 3.若扇形的面积为 ,半径为1,则扇形的圆心角为 8 3 2 3 A.B. 4 3 D. 3 C.8 16 答案:B 4.有下列命题: (1)终边相同的角的同名三角函数的值相等; (2)终边不同的角的同名三角函数的值不等; (3)若sin0,则是第一 二象限的角; (4)若是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos= x . 2 2 x y 其中正确的命题的个数是( ) A.1

7、个 C.3 个 B.2个 D.4个 解析:根据任意角三角函数的定义知(1)正确; 2 sin sin ;对(2),我们可举出反例 33 对(3),可指出 sin 0,但 不是第一 二象限的角; 2 2 x 对(4),因为是第二象限的角,已有x0,应是cos=. x y 2 2 答案:A 5.若sin0,则是( ) A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角 解析:sin0,是第一 三象限的角. 是第三象限的角. 答案:C 类型一角的集合表示 解题准备:(1)任意角都可以表示成 =+k360(0360,kZ). (2)并不是所有角都是某象限角,当角的终边落在坐标轴上时, 它就

8、不属于任何象限. (3)相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等,终边相 同的角有无数个,它们相差360的整数倍. (4)注意“第一象限角” “锐角” “小于90的角”是范 围不同的三类角,需加以区别. 【典例1】 (1)如果是第三象限角,那么-,2的终边落在何 处? (2)写出终边在直线 上的角的集合;y 3x 6 (3)若角的终边与角的终边相同,求在0,2)内终边 7 与 角的终边相同的角. 3 分析 利用终边相同的角的集合进行求解. 解 (1)由是第三象限角得 3 +2k+2k(kZ) 2 3 -2k-2k(kZ). 2 即 +2k-+2k(kZ). 2 -的终边在第二象限; 3 由

9、+2k+2k(kZ) 2 得2+4k20),当为多少弧度时,该扇形 有最大面积? 解 1 设弧长为l,弓形面积为S , 弓 ,r 10, 3 101 101 lcm ,S S S 10 10 sin 2 弓扇 32 323 3 50 2 cm . 3 2 c 2 解法一: 扇形周长c 2r l 2r r.r 2 2 11 c c21 S 2 扇 2 2 2 2 2 4 4 c21c2 , 4 216 4 4 当且仅当 ,即 2 ( 2舍去)时,扇形面积有最大值. c l 解法二:由已知2r l c,r (l c), 2 1 1 c l 1 S rl 2 l ) 2 2 24 2 2 1 c c

10、 l , 4 2 16 c 2 ccl 2 当l 时,S ,此时 2. max c 216r c 2 2 当扇形圆心角为2弧度时,扇形面积有最大值. 类型三三角函数的定义 解题准备:(1)任意角的三角函数值,只与角的终边位置有关,而 与终边上的点的位置无关;(2)当点P的坐标中含字母时,表 达r时要注意分类讨论思想的应用. 【典例3】 已知的终边经过点P(-4a,3a)(a0),求sin cos tan的值. 分析 根据任意角三角函数的定义,应首先求出点P到原点的 距离r,由于含有参数a,要注意分类讨论. 解 r ( 4a) (3a) 5| a |. 2 2 y 3a 3 若a 0, r 5a

11、,角在第二象限.sin , r 5a 5 x 4a 4 y 3a 3 cos , tan . r 5a 5 x 4a 4 若a 0, r 5a,角在第四象限.343 sin , cos , tan . 554 反思感悟 (1)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时, 要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论. (2)熟记几组常用的勾股数组,如 (3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等,会给我 们解题带来很多方便. (3)若角已经给定,不论点P选择在的终边上的什么位置,角 的三角函数值都是确定的;另一方面,如果角终边上一点 坐标已经确定

12、,那么根据三角函数定义,角的三角函数值 也都是确定的. 类型四象限角与三角函数符号问题 解题准备:三角函数的符号如下表 正值口诀:全正 正弦 正切 余弦. 【典例4】 (1)如果点P(sincos,2cos)位于第三象限,试 判断角的终边所在的象限. sin(cos) cos(sin2) (2)若是第二象限角,则的符号是什么? 分析 (1)由点P所在的象限,知道sincos,2cos的符号, 从而可求sin与cos的符号. (2)由是第二象限角,可求cos,sin2的范围,进而把 cos,sin2看作一个用弧度制的形式表示的角,并判断其 所在的象限,从而sin(cos),cos(sin2)的符

13、号可定. 解 (1)因为点P在第三象限, sincos0且2cos0,cos0,故的终边在第二象限. (2)因为是第二象限角, 所以cos0,且-1cos0, 即cos是第四象限角, 因此sin(cos)0; 又sin2=2sincos0, 所以-1sin20.故 反思感悟 此处要正确理解sin(cos)的含义,sin(cos)中, 是把角的余弦值(一个实数)作为一个角的弧度数,求该角 的正弦值,因此只需研究cos这个角的范围(所在象限)即 可. 错源一 忽视表示区间角的不等式两端的大小关系 【典例1】 用集合表示终边在阴影部分的角的集合. 错解 由图可知,终边落在射线OA上的角为2k+ (k

14、Z), 4 终边落在射线OB上的角为2k- (kZ). 3 所以终边落在图中阴影部分的集合为|2k+ 2k- 4 ,kZ. 3 剖析 上面集合中的关于角的不等式是一个矛盾的不等 式,左边的比右边的大. 正解 由图知,终边落在射线OA上的角为2k+ 4 5 (kZ),终边落在射线OB上的角为2k+(kZ).所 3 以终边落在图中阴影部分的集合为|2k+ 45 2k+ ,kZ. 3 评析 利用终边相同的角的表达式表示区域角要把握两条原 则:(1)按逆时针方向书写;(2)表示区域角的不等式两个端点 值的差必须是终边落在两条边界射线(或直线)上的最小差 值. 错源二 利用三角函数值符号判断角的位置时,

15、忽视轴线角而 致错 【典例2】 已知sin0,cos0,试确定终边的位置. 错解 由sin0知,终边在第一象限,或第二象限,或y轴的 非负半轴上; 又由cos0知,终边在第一象限,或第四象限,或x轴的非负 半轴上. 故终边在第一象限. 剖析 错解的解答中由sin0和cos0确定终边位置时, 分别遗漏了x轴和y轴的情形,造成错误. 正解 由sin0知,终边在第一象限或第二象限,或x轴,或y 轴的非负半轴上; 由cos0知,终边在第一象限或第四象限,或y轴,或x轴的非 负半轴上. 故终边在第一象限,或x轴的非负半轴上,或y轴的非负半轴上 . 技法一 一 单位圆的二 四等分法 在单元圆中,当角=k+

16、 或=k (kR)(此时 等分单位圆 4 4 |sin|=|cos|)时,其终边分单位圆为二 四等份的情况如 下图1 图2. 表1: 大小关系sincos 图1中 sin|cos| 图2中1 3 |sin|cos成立的的取值范围为( ) 5 5 A. ,B. , 4 2 4 4 4 5 3 C. ,D. , 4 4 4 2 解析 由图1和表1可知此题选B. 答案 B 二 标象限法 k 在单位圆中,当角=(kZ)时,角的终边和坐标轴重 2 合,其终边分单位圆为四个象限的情况如下图. 表2: 3.单位圆的八等分法 k 在单位圆中,当= 份的情况如上图. (kZ)时,其终边分单位圆为八等 4 表3:

17、 大小关系 终边范围 大小关系 终边范围 -1sin+cos0 图4中4 7 0sin+cos1 图4中3 8 -1sin-cos0 图4中1 6 0sin-coscos2,则的取值范围是( ) 3 A.|2k-2k+ ,kZ 4 4 5 B.|2k+ 2k+,kZ 44 C.|k- k+,kZ 4 4 3 D.|k+ cos2 |sin|cos|,由表1,角的终边在图 2的区域1,3.故选D. 答案 D 4.结论分析举例 【典例3】 证明:当(2k+,2k+ )(kZ时 3 2 ),sin+cos 2, 1) . 证明 如右图,根据三角函数的定义,在单位圆中, sin=MP,cos=OM,

18、在OPM中, |MP|+|OM|OP|, -MP-OM1,MP+OM-1. 5 又=2k+ (kZ)时,|OM|=|MP|, 4 |MP|+|OM|有最大值 2, 即MP+OM有最小值 2. sin+cos 2,1) . 方法与技巧 大家可类似以三角函数线对其他情况加以理 解. 技法二标扇形法 3 【典例4】在0, 2上满足sinx 的x的取值范围是 2 2 A. ,B. , 3 2 2 3 5 2 C. , D. , 6 6 3 3 23 sin 解析 sin=,又由正弦函数线关于y轴 332 对称可知,角x在如图中的阴影区域,故答案为D. 答案 D 方法与技巧 我们看到上述方法互相关联,形象直观,掌握它 有助于简单,快捷,准确地解题,特别适合解答一些“小 巧 活”的三角客观题.名师作业练全能