小学奥数习题教案-6-3-2 牛吃草问题(二).教师版.doc
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1、6-1-10.牛吃草问题.题库教师版page 1 of 8 6-1-10.6-1-10.牛吃草问题牛吃草问题(二二) 教学目标教学目标 1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤,掌握牛吃草问题的解题思路. 2. 初步了解牛吃草的变式题,会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系 知识精讲知识精讲 英国科学家牛顿在他的普通算术一书中,有一道关于牛在牧场上吃草的问题,即牛在牧场上吃草, 牧场上的草在不断的、均匀的生长后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题” “牛吃草”问题主要涉及三个量:草的数量、牛的头数、时间难点在于随着时间的增长,草也在按不变 的速度均匀生长,所以草的总量不定“牛吃草”问题是小学
2、应用题中的难点 解解“牛吃草牛吃草”问题的主要依据:问题的主要依据: 1草的每天生长量不变; 2每头牛每天的食草量不变; 3草的总量草场原有的草量新生的草量,其中草场原有的草量是一个固定值 4新生的草量每天生长量天数 同一片牧场中的同一片牧场中的“牛吃草牛吃草”问题,一般的解法可总结为:问题,一般的解法可总结为: 设定 1 头牛 1 天吃草量为“1”; 草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数); 原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数; 吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度); 牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度 “牛吃草”问题有很多的变
3、例,像抽水问题、检票口检票问题等等,只有理解了“牛吃草”问题的本质和解 题思路,才能以不变应万变,轻松解决此类问题 例题精讲例题精讲 模块一、 “牛”吃草问题的变例 【例【例 1】 在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈一级台在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈一级台 阶阶, 那么他走过那么他走过 20 级台阶后到达地面级台阶后到达地面; 如果每秒向上迈两级台阶如果每秒向上迈两级台阶, 那么走过那么走过 30 级台阶到达地面级台阶到达地面 从从 站台到地面有站台到地面有级台阶级台阶 【考点】牛吃草问题【难度】3 星【
4、题型】填空 【关键词】对比思想方法 【解析】本题非常类似于“牛吃草问题”,如将题目改为: “在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈一级台阶, 那么他走过 20 秒后到达地面;如果每秒向上迈两级台阶,那么走过 15 秒到达地面问:从站台到 地面有多少级台阶?” 采用牛吃草问题的方法, 电梯20155秒内所走的阶数等于小强多走的阶数:2 151 2010 阶, 电梯的速度为1052阶/秒,扶梯长度为20(12)60(阶) 。 【答案】60级 【巩固】【巩固】 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走,男孩每秒可走两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走,男孩每
5、秒可走 3 级梯级,女孩每秒可走级梯级,女孩每秒可走 2 级梯级级梯级, 结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒,女孩走了秒,女孩走了 300 秒。问:该扶梯共有多少级梯级?秒。问:该扶梯共有多少级梯级? 6-1-10.牛吃草问题.题库教师版page 2 of 8 【考点】牛吃草问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】本题与牛吃草问题类似,其中扶梯的梯级总数相当于原有草量;而自动扶梯运行的速度则相当于草 的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分一部分是孩子自己的速度,另一部分是自动扶梯的速 度。 自动扶梯的速度(女孩每秒走的梯级女
6、孩走的时间男孩每秒走的梯级男孩走的时间)(女孩 走的时间男孩走的时间)(23003 100)(300100)1.5 ,自动扶梯的梯级总数女孩每秒走 的梯级女孩走的时间自动扶梯的速度女孩走的时间 23001.5 300600450150(级)所以自动扶梯共有 150 级的梯级。 【答案】150级 【巩固】【巩固】 自动扶梯以匀速由下往上行驶自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢,于是在行驶的扶梯上于是在行驶的扶梯上,男孩每男孩每 秒向上走秒向上走 1 梯级梯级,女孩每女孩每 3 秒钟走秒钟走 2 梯级梯级。结果男孩用结果男孩用 50 秒到达楼上秒
7、到达楼上,女孩用女孩用 60 秒到达楼上秒到达楼上。该该 楼梯共有多少级?楼梯共有多少级? 【考点】牛吃草问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】该题属于草匀速减少的情况,扶梯的运行速度:(50 16032)(6050)1 。自动扶梯的梯级总 数:50(1 1)100(级) 【答案】100级 【例【例 2】 小明从甲地步行去乙地,出发一段时间后,小亮有事去追赶他,若骑自行车,每小时行小明从甲地步行去乙地,出发一段时间后,小亮有事去追赶他,若骑自行车,每小时行 15 千米千米, 3 小时可以追上小时可以追上;若骑摩托车若骑摩托车,每小时行每小时行 35 千米千米,1 小时
8、可以追上小时可以追上;若开汽车若开汽车,每小时行每小时行 45 千米千米, 分钟能追上。分钟能追上。 【考点】牛吃草问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】对比思想方法 【解析】本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合小明在3 12 小时内走了15 335 110 千米, 那么小明的速度为1025(千米/时),追及距离为155330(千米)汽车去追的话需要: 3 30455 4 (小时)45(分钟) 【答案】45分钟 【例【例 3】 有固定速度行驶的甲车和乙车有固定速度行驶的甲车和乙车,如果甲车以现在速度的如果甲车以现在速度的 2 倍追赶乙车倍追赶乙车,5 小时后甲车追上乙车小时后甲车追
9、上乙车;如如 果甲车以现在速度的果甲车以现在速度的 3 倍追赶乙车倍追赶乙车,3 小时后甲车追上乙车小时后甲车追上乙车,那么如果甲车以现在的速度去追赶乙那么如果甲车以现在的速度去追赶乙 车,问:几个小时后甲车追上乙车?车,问:几个小时后甲车追上乙车? 【考点】牛吃草问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】分析知道甲车相当于“牛”,甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”,乙车相当于“新生长的草” 设甲车的速度为“1”,那么乙车532小时走的路程为253 31 ,所以乙的速度为120.5, 追及路程为:20.557.5如果甲以现在的速度追赶乙,追上的时间为:7.510.515
10、(小 时) 【答案】15小时 【例【例 4】 快、中、慢三车同时从快、中、慢三车同时从A地出发沿同一公路开往地出发沿同一公路开往B地,途中有骑车人也在同方向行进,这三辆车地,途中有骑车人也在同方向行进,这三辆车 分别用分别用 7 分钟分钟、8 分钟分钟、14 分钟追上骑车人分钟追上骑车人已知快车每分钟行已知快车每分钟行 800 米米,慢车每分钟行慢车每分钟行 600 米米,中中 速车的速度是多少?速车的速度是多少? 【考点】牛吃草问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量,骑车人的速度看成草生长的速度,所以骑车 人速度是:(6
11、00 148007)(147)400(米/分), 开始相差的路程为:(600400) 142800(米) , 所以中速车速度为:28008400750(米分) 【答案】750米/分 6-1-10.牛吃草问题.题库教师版page 3 of 8 【例【例 5】 甲、乙、丙三车同时从甲、乙、丙三车同时从A地出发到地出发到B地去甲、乙两车的速度分别是每小时地去甲、乙两车的速度分别是每小时 60 千米和每小时千米和每小时 48 千米千米有一辆卡车同时从有一辆卡车同时从B地迎面开来地迎面开来,分别在它们出发后分别在它们出发后 6 小时小时、7 小时小时、8 小时先后与甲小时先后与甲、乙乙、 丙车相遇,求丙
12、车的速度丙车相遇,求丙车的速度 【考点】牛吃草问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】相遇问题可以看成是草匀速减少的过程,全程看成是原有草量,卡车速度看成是草匀速减少的速度。 所以卡车速度为:(606487)(76)24(千米/时) ,全程:(6024)6504(千米) ,丙车 速度为:50482439(千米/时) 【答案】39千米/小时 【巩固】【巩固】 小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去小新、正南两人的速度分别是每分钟小新、正南两人的速度分别是每分钟 20 米和每米和每 分钟分钟 16 米米在他们出发的同时在他们出发
13、的同时,风间从公园迎面走来风间从公园迎面走来,分别在他们出发后分别在他们出发后 6 分钟分钟、7 分钟分钟、8 分钟分钟 先后与小新、正南、妮妮相遇,求妮妮的速度先后与小新、正南、妮妮相遇,求妮妮的速度 【考点】牛吃草问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】当小新和风间相遇时,正南落后小新6201624(米),依题意知正南和风间走这 24 米需要 761(分钟),正南和风间的速度和为:24124 (米分),风间的速度为:24168(米分), 学校到公园的距离为:247168(米)所以妮妮的速度为:1688813(米分) 【答案】13米/分钟 【例【例 6】 小方用一个有
14、洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有 1 米,小方米,小方 用用 3 次恰好把桶装满;第二个桶距水缸有次恰好把桶装满;第二个桶距水缸有 2 米,小方用米,小方用 4 次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有 3 米,那么小方要多少次才能把它装满(假设小方走路的速度不变,水从杯中流出的速度也不变)米,那么小方要多少次才能把它装满(假设小方走路的速度不变,水从杯中流出的速度也不变) 【考点】牛吃草问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】小方装第二个桶比
15、第一个桶多用了一杯水,同时多走了241 35 米路,所以从杯中流出的速度 是150.2(杯/米) , 于是 1 桶水原有水量等于33 0.22.4 杯水, 所以小方要2.4(13 0.2)6 次才能把第三个桶装满。 【答案】6次 【例【例 7】 有一个水池有一个水池,池底存了一些水池底存了一些水,并且还有泉水不断涌出并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干为了将水池里的水抽干,原计划调来原计划调来8台台 抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑,实际调来了抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑,实际调来了9台抽水机,这样比原计划节省了台抽水机,这样比原计划节省了8小时小时。 工程师们测算出,如果最
16、初调来工程师们测算出,如果最初调来10台抽水机,将会比原计划节省台抽水机,将会比原计划节省12小时。这样,将水池的水抽干小时。这样,将水池的水抽干 后,为了保持池中始终没有水,还应该至少留下后,为了保持池中始终没有水,还应该至少留下台抽水机。台抽水机。 【考点】牛吃草问题【难度】4 星【题型】填空 【关键词】对比思想方法,陈省身杯,五年级 【解析】设每台抽水机每小时抽1个单位的水, 原计划需要t小时抽完, 则原计划8个小时抽的水量为8t,9台 抽水机时抽水量为9(8)t,10台抽水机时抽水量为10(12)t所以,8个小时的出水量为 89(8)72ttt,12个小时的出水量为810(12)120
17、2ttt,而泉水的出水速度是一定的,所 以12021.5(72)tt,解得24t,所以每小时出水量为(7224)86,所以需要留下6台抽 水机。 【答案】6台抽水机 模块二、“牛”的数量发生变化 【例【例 8】 有一牧场,有一牧场,17 头牛头牛 30 天可将草吃完,天可将草吃完,19 头牛则头牛则 24 天可以吃完现有若干头牛吃了天可以吃完现有若干头牛吃了 6 天后,卖掉天后,卖掉 了了 4 头牛,余下的牛再吃两天便将草吃完问:原来有多少头牛吃草头牛,余下的牛再吃两天便将草吃完问:原来有多少头牛吃草(草均匀生长草均匀生长)? 【考点】牛吃草问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】对比思想方
18、法 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”,那么每天生长的草量为 1730192430249,原有草量为: 17930240 现有若干头牛吃了 6 天后,卖掉了 4 头牛,余下的牛再吃两天便将草吃完,如果不卖掉这 4 头牛, 6-1-10.牛吃草问题.题库教师版page 4 of 8 那 么 原 有 草 量 需 增 加428才 能 恰 好 供 这 些 牛 吃 8 天 , 所 以 这 些 牛 的 头 数 为 24088940(头) 【答案】40头 【例【例 9】 某建筑工地开工前运进一批砖某建筑工地开工前运进一批砖,开工后每天运进相同数量的砖开工后每天运进相同数量的砖,如果派如果派 15
19、个工人砌砖墙个工人砌砖墙,14 天可天可 以把砖用完,如果派以把砖用完,如果派 20 个工人,个工人,9 天可以把砖用完,现在派若干名工人砌了天可以把砖用完,现在派若干名工人砌了 6 天后,调走天后,调走 6 名工名工 人,其余工人又工作人,其余工人又工作 4 天才砌完,问原来有多少工人来砌墙?天才砌完,问原来有多少工人来砌墙? 【考点】牛吃草问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】开工前运进的砖相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”,工人砌砖相当 于 “ 牛 在 吃 草 ” 所 以 设 1 名 工 人 1 天 砌 砖 数 量 为 “1” , 那
20、 么 每 天 运 来 的 砖 为 15 142091496,原有砖的数量为:15614126 现在派若干名工人砌了 6 天后,调走 6 名工人,其余工人又工作 4 天才砌完,如果不调走 6 名工人, 那么这些工人共砌 10 天可砌完1266 1064210,所以原有工人2101021名 【答案】21名 【例【例 10】一片草地,可供一片草地,可供 5 头牛吃头牛吃 30 天,也可供天,也可供 4 头牛吃头牛吃 40 天,如果天,如果 4 头牛吃头牛吃 30 天,又增加了天,又增加了 2 头牛一头牛一 起吃,还可以再吃几天?起吃,还可以再吃几天? 【考点】牛吃草问题【难度】4 星【题型】解答 【
21、关键词】对比思想方法 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”,那么每天生长的草量为 4405 3040301 ,原有草量为: 5130120如果 4 头牛吃 30 天,那么将会吃去 30 天的新生长草量以及 90 原有草量,此时原 有草量还剩1209030,而牛的头数变为 6,现在就相当于:“原有草量 30,每天生长草量 1,那 么 6 头牛吃几天可将它吃完?”易得答案为:30616(天) 【答案】6天 【例【例 11】某建筑工地开工前运进一批砖某建筑工地开工前运进一批砖,开工后每天运进相同数量的砖开工后每天运进相同数量的砖,如果派如果派 250 个工人砌砖墙个工人砌砖墙,6 天可天可
22、以把砖用完,如果派以把砖用完,如果派 160 个工人,个工人,10 天可以把砖用完,现在派天可以把砖用完,现在派 120 名工人砌了名工人砌了 10 天后,又增加天后,又增加 5 名工人一起砌,还需要再砌几天可以把砖用完?名工人一起砌,还需要再砌几天可以把砖用完? 【考点】牛吃草问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】开工前运进的砖相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”,工人砌砖相当 于 “ 牛 在 吃 草 ” 所 以 设 1 名 工 人 1 天 砌 砖 数 量 为 “1” , 那 么 每 天 运 来 的 砖 为 160 10250610625,
23、原有砖的数量为:2502561350 如果 120 名工人砌 10 天,将会砌掉 10 天新运来的砖以及 950 原有的砖,还剩1350950400的原 有的砖未用,变成1205125人来砌砖,还需要:400125254(天) 【答案】4天 【巩固】【巩固】 食品厂开工前运进一批面粉,开工后每天运进相同数量的面粉,如果派食品厂开工前运进一批面粉,开工后每天运进相同数量的面粉,如果派 5 个工人加工食品个工人加工食品 30 天可天可 以把面粉用完,如果派以把面粉用完,如果派 4 个工人,个工人,40 天可以把面粉用完,现在派天可以把面粉用完,现在派 4 名工人加工了名工人加工了 30 天后,又增
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