小学奥数习题教案-5-5-5 同余问题.教师版.doc
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1、5-5-3.同余问题.题库教师版page 1 of 6 5-5-3.5-5-3.同余问题同余问题 教学目标教学目标 1.学习同余的性质 2.利用整除性质判别余数 知识点拨知识点拨 同余定理 1、 定义定义: 若两个整数 a、 b 被自然数 m 除有相同的余数, 那么称 a、 b 对于模 m 同余, 用式子表示为: ab ( mod m ),左边的式子叫做同余式。同余式读作:a 同余于 b,模 m。 2、重要性质及推论:、重要性质及推论: (1)若两个数 a,b 除以同一个数 m 得到的余数相同,则 a,b 的差一定能被 m 整除 例如:17与11除以3的余数都是2,所以1711()能被3整除
2、(2)用式子表示为:如果有 ab ( mod m ),那么一定有 abmk,k 是整数,即 m|(ab) 3、余数判别法、余数判别法 当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦 的建立余数判别法的基本思想是:为了求出“N 被 m 除的余数”,我们希望找到一个较简单的数 R,使得:N 与 R 对于除数 m 同余由于 R 是一个较简单的数,所以可以通过计算 R 被 m 除的余数来求得 N 被 m 除的余 数 整数 N 被 2 或 5 除的余数等于 N 的个位数被 2 或 5 除的余数; 整数 N 被 4 或 25 除的余数等于 N 的末两位数被 4
3、或 25 除的余数; 整数 N 被 8 或 125 除的余数等于 N 的末三位数被 8 或 125 除的余数; 整数 N 被 3 或 9 除的余数等于其各位数字之和被 3 或 9 除的余数; 整数 N 被 11 除的余数等于 N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被 11 除的余数; (不够减的话先适 当加 11 的倍数再减) ; 整数 N 被 7,11 或 13 除的余数等于先将整数 N 从个位起从右往左每三位分一节,奇数节的数之和与 偶数节的数之和的差被 7,11 或 13 除的余数就是原数被 7,11 或 13 除的余数 例题精讲例题精讲 模块一、两个数的同余问题 【例【例 1 1】 有一
4、个整数,除有一个整数,除 39,51,147 所得的余数都是所得的余数都是 3,求这个数,求这个数. 【考点】两个数的同余问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】(法 1)39336,51-3=48,1473144,(36,144)12,12 的约数是1,2,3,4,6,12,因为余数为 3 要小于除数,这个数是4,6,12; (法 2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意 两数差的公约数513912,14739108,(12,108)12,所以这个数是4,6,12 5-5-3.同余问题.题库教师版page 2 of 6 【答案】4,6,12 【例
5、【例 2 2】 某个两位数加上某个两位数加上 3 后被后被 3 除余除余 1, 加上加上 4 后被后被 4 除余除余 1, 加上加上 5 后被后被 5 除余除余 1, 这个两位数是这个两位数是_. 【考点】两个数的同余问题【难度】2 星【题型】填空 【关键词】人大附中,分班考试 【解析】“加上 3 后被 3 除余 1”其实原数还是余 1,同理这个两位数除以 4、5 都余 1,这样,这个数就是3、 4、5+1=60+1=61。 【答案】61 【例【例 3 3】 有一个自然数,除有一个自然数,除 345 和和 543 所得的余数相同,且商相差所得的余数相同,且商相差 33求这个数是多少?求这个数是
6、多少? 【考点】两个数的同余问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于这个数除 345 和 543 的余数相同,那么它可能整除 543-345,并且得到的商为 33所以所 求的数为(543345)336 【答案】6 【例【例 4 4】 一个大于一个大于 10 的自然数去除的自然数去除 90、 164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220 后所得的余数后所得的余数, 则这个自然数是多少?则这个自然数是多少? 【考点】两个数的同余问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除901642
7、54后所得的余数, 所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同,因此这个自然数是25422034的约数,又大 于 10,这个自然数只能是 17 或者是 34 如果这个数是 34,那么它去除 90、164、220 后所得的余数分别是 22、28、16,不符合题目条件; 如果这个数是 17,那么它去除 90、164、220 后所得的余数分别是 5、11、16,符合题目条件,所以 这个自然数是 17 【答案】17 【例【例 5 5】 两位自然数两位自然数ab与与ba除以除以 7 都余都余 1,并且,并且ab,求,求abba 【考点】两个数的同余问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】a
8、bba能被 7 整除, 即(10)10)9abbaab()能被 7 整除 所以只能有7ab, 那么ab可 能为 92 和 81,验算可得当92ab 时,29 ba 满足题目要求,92292668abba 【答案】2668 【例【例 6 6】 现有糖果现有糖果 254 粒粒,饼干饼干 210 块和桔子块和桔子 186 个个.某幼儿园大班人数超过某幼儿园大班人数超过 40.每人分得一样多的糖果每人分得一样多的糖果,一样一样 多的饼干多的饼干,也分得一样多的桔子也分得一样多的桔子。 余下的糖果余下的糖果、 饼干和桔子的数量的比是饼干和桔子的数量的比是: 1: 3: 2, 这个大班有这个大班有_ 名小
9、朋友,每人分得糖果名小朋友,每人分得糖果_粒,饼干粒,饼干_块,桔子块,桔子_个。个。 【考点】两个数的同余问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】南京市,兴趣杯 【解析】设大班共有 a 名小朋友。由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是 1:3:2,所以余下的糖果、桔子 数 目 的 和 正 好 等 于 余 下 的 饼 干 数 , 从 而 254+186-210 一 定 是 a 的 倍 数 , 即 254+186-210=230=1230=1023=2523 是 a 的倍数。同样,2254-186=322=2314=2314=2327 也一定是 a 的倍数。所以,a 只能是 232 的因数。但
10、 a40,所以 a=46。此时 254=465+24, 210=463+72,186=463+48。故大班有小朋友 46 名,每人分得糖果 5 粒,饼干 3 块,桔子 3 个。 【答案】小朋友 46 名,每人分得糖果 5 粒,饼干 3 块,桔子 3 个 模块二、三个数的同余问题 【例【例 7 7】 有一个大于有一个大于 1 的整数,除的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数所得的余数相同,求这个数. 【考点】三个数的同余问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据同 5-5-3.同余问题.题库教师版pa
11、ge 3 of 6 余定理,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差 的公约数1014556,594514,(56,14)14,14的约数有1,2,7,14, 所以这个数可能为2,7,14。 【答案】2,7,14 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】有一个整数,除有一个整数,除 300、262、205 得到相同的余数。问这个整数是几得到相同的余数。问这个整数是几? 【考点】三个数的同余问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛,初赛,第 9 题 【解析】这个数除 300、262,得到相同的余数,所以这个数整除 30026238,同理,这个数整除 2622
12、05 57,因此,它是 38、57 的公约数 19。 【答案】19 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】在除在除 13511,13903 及及 14589 时能剩下相同余数的最大整数是时能剩下相同余数的最大整数是_ 【考点】三个数的同余问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】因为13903 13511392,1458913903686,由于 13511,13903,14589 要被同一个数除时,余 数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除(392,686)98,所以所求的最大整数是 98. 【答案】98 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】140,225,293 被某大
13、于被某大于 1 的自然数除的自然数除,所得余数都相同。所得余数都相同。2002 除以这个自然数的余数是除以这个自然数的余数是. 【考点】三个数的同余问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】三帆中学,入学测试 【解析】这样我们用总结的知识点可知:任意两数的差肯定余 0。那么这个自然数是 293-225=68 的约数,又是 225-140=85 的约数,因此就是 68、85 的公约数,所以这个自然数是 17。所以 2002 除以 17 余 13。 【答案】13 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】三个数:三个数:23,51,72,各除以大于,各除以大于 1 的同一个自然数,得到同一个余数,则这个除数
14、是的同一个自然数,得到同一个余数,则这个除数是。 【考点】三个数的同余问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,初赛,第 4 题,6 分 【解析】512328,725121, (28,21)=7,所以这个除数是 7。 【答案】7 【例【例 8 8】 学校新买来学校新买来 118 个乒乓球,个乒乓球,67 个乒乓球拍和个乒乓球拍和 33 个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级, 那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班?那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班? 【考点】三个数的同余问题【难度】3 星【题型】解答 【解
15、析】所求班级数是除以118,67,33余数相同的数那么可知该数应该为1186751和673334 的公约数,所求答案为 17 【答案】17 【例【例 9 9】 若若 2836,4582,5164,6522 四个自然数都被同一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数四个自然数都被同一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数 和余数的和为和余数的和为_ 【考点】三个数的同余问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】设除数为 A因为 2836,4582,5164,6522 除以 A 的余数相同,所以他们两两之差必能被 A 整除又 因为余数是两位数, 所以 A 至少是两位
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