小学奥数习题教案-5-3-5 分解质因数（二）.教师版.doc

1、5-3-4.分解质因数.题库教师版page 1 of 7 5-3-4.5-3-4.分解质因数分解质因数 教学目标教学目标 1.能够利用短除法分解 2.整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为. 的结构，而且 表达形式唯一” 知识点拨知识点拨 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：3023 5 .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数.又如

2、2 1222323 ，2、3 都叫做 12 的质因数， 其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分 解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法分解质因数的方法：短除法 例如： 212 2 6 3 ， （是短除法的符号） 所以12223 ； 二、唯一分解定理 任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即： 312 123 k aaaa k npppp其中为质数， 12k aaa为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为 n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是

3、 210，求这三个数. 分析：210=2357，可知这三个数是 5、6 和 7. 三、部分特殊数的分解 1113 37；10017 11 13；1111141 271；1000173 137；19953 57 19 ；199823 3 3 37 ； 20073 3223 ；2008222251 ；101013 7 13 37 . 例题精讲例题精讲 模块一、分数的拆分 【例【例 1】 算式算式“ 1 希 1 望 1 杯 1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希望杯希望杯”。 【考点】分数的拆分【难度】1 星【题型】填空 5-3-4.分解质因数.题库教师版pag

4、e 2 of 7 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 19 题，6 分 【解析】三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即 是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11 【答案】11 【例【例 2】3个质数的倒数之和是个质数的倒数之和是 1661 1986 ，则这，则这3个质数之和为多少个质数之和为多少 【考点】分数的拆分【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为 1 a 、 1 b 、 1 c ，计算它们的和时需通分，且通 分后的分母为abc ， 求和得到的分数为 F abc

5、 ,如果这个分数能够约分， 那么得到的分数的分母为a、 b、c或它们之间的积.现在和为 1661 1986 ，分母198623 331 ，所以一定是2a ，3b ，331c ， 检验满足.所以这3个质数的和为23331336 【答案】23331336 【例【例 3】 一个分数，分母是一个分数，分母是901，分子是一个质数现在有下面两种方法：，分子是一个质数现在有下面两种方法： 分子和分母各加一个相同的分子和分母各加一个相同的 一位数；一位数； 分子和分母各减一个相同的一位数用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后分子和分母各减一个相同的一位数用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后 是是

6、7 13 那么原来分数的分子是多少那么原来分数的分子是多少 【考点】分数的拆分【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于901 13694，所以分母是加上9或者减 去4若是前者则原来分数分子为7709481，但48113 37，不是质数；若是后者则原来分 数分子是6974487，而487是质数所以原来分数分子为487 【答案】487 【例【例 4】 将将 1 到到 9 这这 9 个数字在算式个数字在算式 1 的每一个括号内各填入一个数字的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立使得算式成立，并并 且要求所填每一个括号内数字均为质数且要求所填每

7、一个括号内数字均为质数? 【考点】分数的拆分【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是 2，3，5，7.将原始代入字母分析有 1bdcbad acacac ，即有1cbad，那么很容易发现只有 35-27=1。符合原式的填法为 321 7535 。 【答案】 321 7535 【例【例 5】 求满足条件求满足条件 111 1001ab 的的 a、b 的值的值(a、b 都是四位数都是四位数) 【考点】分数的拆分【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】取 1001 的两个不同约数 x、()y xy，得到： 111 10011001 100110

8、01()1001()1001() ()() xyxy xyxyxy xyxy xy ，因为 x、y 都是 1001 的约 数，所以 1001 x 、 1001 y 都是整数所以只需令 1001x y a x （ + ） ， 1001x y b y （ + ） 就可以了而 a、b 都要大于 1001，要保证 a、b 都是四位数，所以 a、b 的比值都要小于 10，即 x、y 的比值小于 10而 1001 的两个互质且比值小于 10 的约数有以下几组：1,7（）、7,11（）、7,13（）、11,13（）、11,91（）、 5-3-4.分解质因数.题库教师版page 3 of 7 13,77（）所

9、以我们依次取 x、y 为上面所列的数对中的数，代入 a、b 的表达式，得到本题的答案： 8008,2574,2860,2184,9282,6930 1144,1638,1540,1848,1122,1170 a b 【答案】 8008,2574,2860,2184,9282,6930 1144,1638,1540,1848,1122,1170 a b 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】若若 111 2004ab ，其中，其中 a、b 都是四位数，且都是四位数，且 ab，那么满足上述条件的所有数对（，那么满足上述条件的所有数对（a,b）是）是 【考点】分数的拆分【难度】4 星【题型】填空 【解析】

10、【解析】2004 的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有： 11211 20042004(12)2004(12)60123006 11311 20042004(13)2004(13)80162672 12311 20042004(23)2004(23)50103340 13411 20042004(34)2004(34)46763507 【答案】 11211 20042004(12)2004(12)60123006 11311 20042004(13)2004(13)80162672 12311 20042004(23)2004(23)50103340

11、13411 20042004(34)2004(34)46763507 【例【例 6】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立 （1） 11111111111 102020 ； （2） 111 10 【考点】分数的拆分【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】单位分数的拆分，主要方法是从分母N的约数中任意找出两个数m和n，有： 111 ()()() mnmn NN mnN mnN mnAB ， 从分母n的约数中任意找出两个m和n(mn)，有： 111 ()()() mnmn NN mnN mnN mnAB 本题10的约数有：1，10，2，5 例如：

12、选 1 和 2，有： 1121211 1010(12)10(12)10(12)3015 ； 从上面变化的过程可以看出， 如果取出的两组不同的m和n， 它们的数值虽然不同， 但是如果m和n 的比值相同，那么最后得到的A和B也是相同的本题中，从 10 的约数中任取两个数， 共有 2 4 410C 种，但是其中比值不同的只有 5 组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题 共可拆分成 5 组具体的解如下： 11111111111 10202011110126014351530 5-3-4.分解质因数.题库教师版page 4 of 7 10 的约数有 1、2、5、10，

13、我们可选 2 和 5： 1525211 1010(52)10(52)10(52)615 另外的解让学生去尝试练习 【答案】 （1） 11111111111 10202011110126014351530 （2） 111 10615 【例【例 7】 如果如果 111 2009AB ，AB，均为正整数，则均为正整数，则B最大是多少？最大是多少？ 【考点】分数的拆分【难度】4 星【题型】填空 【关键词】101 中学，分班考试 【解析】【解析】 从前面的例题我们知道，要将 1 N 按照如下规则写成 11 AB 的形式： 111 ()()() mnmn NN mnN mnN mnAB ，其中m和n都是N

14、的约数。 如果要让B尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的n尽可能地小而m尽可能地大，因此应当 m取最大的约数，而n应取最小的约数，因此2009m ，1n ，所以20092008B . 【答案】20092008B 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】 11111111111 45 【考点】分数的拆分【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】 11111111111 457212018304051358191545 【答案】 11111111111 457212018304051358191545 【例【例 8】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立

15、 1111111 10 【考点】分数的拆分【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】先选 10 的三个约数，比如 5、2 和 1，表示成连减式521和连加式521 则： 1111111 1041020804016 如果选 10、5、2，那么有： 1111111 103615173485 另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的 一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了 3 个单位分数的和或差 了比如，要得到 1111 10 ，根据前面的拆分随意选取一组，比如 111 101260 ，再选择 其中的一个分数进行拆分，比如

16、111 1213156 ，所以 1111 101360156 【答案】 1111 101360156 【例【例 9】 已知等式已知等式 111 15ab 其中其中 a a，b b 是非零自然数，求是非零自然数，求 a+ba+b 的最大值。的最大值。 【考点】分数的拆分【难度】5 星【题型】填空 5-3-4.分解质因数.题库教师版page 5 of 7 【关键词】华杯赛华杯赛，决赛决赛，第第 1313 题题 【解析】易知， 1 1515()15()15() mnmn mnmnmn ，令（m，n）为互质的一对数，现在要让分母为 1，只 需 m，n 是 15 的一对互质的约数即可。 当(m，n)=（

17、1，1）时， 111 153030 ，此时，a+b=60； 当(m，n)=（1，3）时， 111 156020 ，此时，a+b=80； 当(m，n)=（1，5）时， 111 159018 ，此时，a+b=108； 当(m，n)=（1，15）时， 111 1524016 ，此时，a+b=256； 当(m，n)=（3，5）时 ， 111 154024 ，此时，a+b=64；所以，a+b 的最大值为 256。 【答案】256 模块四、分解质因数的综合应用 【例【例 10】A，B都是整数，都是整数，A大于大于B，且，且2009AB, ,那么那么AB的最大值为的最大值为，最小值，最小值 为为。 【考点】

18、【难度】【题型】填空 【关键词】走美杯走美杯，3 年级年级，初赛初赛 【解析】20092009 128774941 最大值为200912008 最小值为49418 【答案】最大为2008，最小为8 【例【例 11】写出所有数字和为写出所有数字和为 11，数字乘积为，数字乘积为 20 的四位偶数：的四位偶数：_ 【考点】【难度】【题型】填空 【关键词】走美杯，走美杯，3 年级，初赛年级，初赛 【解析】【解析】本题属于数字拆分，目的就是讲 11 拆成四个数字和，20 拆成 4 个数字的乘积，需要确定的是个位 数字为偶数。根据拆分的特点应该从 20 开始拆分。先将 20 分解质因数为：20225 ，

19、所以各个 数位数字乘积为 20 的数字有：2、2、5、1；4、5、1、1；数字和分别为 10 和 11，符合条件的是 4、 5、1、1 这四个数字组成的四位偶数，所以答案为 1154、1514、5114 这 3 个答案。 【答案】1154、1514、5114 【例【例 12】在做一道两位数乘以两位数的乘法题时在做一道两位数乘以两位数的乘法题时， 小马虎把一乘数中的数字小马虎把一乘数中的数字 5 看成看成 8， 由此得乘积为由此得乘积为 1872 那那 么原来的乘积是多少么原来的乘积是多少? 【考点】分解质因数的综合应用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】1872=22223313=口口

20、口口，其中某个口为 8，一一验证只有：1872=4839，1872=7824 满 足当为 1872=4839 时，小马虎错把 5 看成 8，也就是错把 45 看成 48，所以正确的乘积应该是 4539=1755当为 1872=7824 时，小马虎错把 5 看成 8，也就是错把 75 看成 78，所以正确的乘积 应该是 7524=1800所以原来的积为 1755 或 1800 【答案】1755 或 1800 【例【例 13】两个学生抄写同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，于是得到两个不两个学生抄写同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，于是得到两个不 同的

21、算式同的算式， 但巧合的是但巧合的是， 他们计算的结果都是他们计算的结果都是 936.如果正确的乘积不能被如果正确的乘积不能被 6 整除整除， 那么它等于多少？那么它等于多少？ 【考点】分解质因数的综合应用【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】注意 936 中有质因数 13，故易见将其分解成两个两位数相乘的形式有13 72，2636，3924， 52 18，78 12这 5 种可能，由于两人各抄错了一个数字，因此两人的算式中应有两个位置上的数 字相同.经枚举可知， 他们所抄错的算式可能是(13 72，18 52)， (13 72，1278)， (2636，2439) 5-3-4.分解质因

22、数.题库教师版page 6 of 7 或(52 18，1278).对于第一种情况，两人抄错的是第一个乘数的个位数字和第二个乘数的十位数 字，正确的算式应是13 52或1872，后者乘积是 6 的倍数，与题意不符，故原算式应为前者，正 确的乘法算式是13 52676.对后三种情况作类似分析，可得出236种可能的原乘法算式，但它 们的结果都是 6 的倍数，不合题意.因此 676 即为所求. 【答案】676 【例【例 14】在射箭运动中在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶脱靶)，或者是不超过或者是不超过 10 的自然数的自然数甲甲、乙两名运乙两名运 动员各射了动

23、员各射了 5 箭，每人箭，每人 5 箭得到的环数的积都是箭得到的环数的积都是 1764，但是甲的总环数比乙少，但是甲的总环数比乙少 4 环求甲、乙的环求甲、乙的 总环数各是多少？总环数各是多少？ 【考点】分解质因数的综合应用【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】应对应为 5 个小于 10 的自然数乘积通常我们会考虑将 1764 的 6 个质因数组合为 5 个因数，从而 这 5 个 因 数 一 定 都 是 大 于 1 的 ， 于 是 得 到 了 如 下 几 种 分 解 情 况 1764=43377 =26377=22977 但是发现其中任何两组的和的差均不是 4.原因是我们忽略了在题目叙述

24、实 际环境中还会有 1 环存在， 从而要考虑含有因数 1 的另外 2 种情况 1784=16677=14977 所 以总的情况对应的和依次为 4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27， l+4+9+7+7=28对应的和中只有 24，28 相差 4，所以甲的 5 箭环数为 4、3、3、7、7，乙的 5 箭环 数为 1、4、9、7、7所以甲的总环数为 24，乙的总环数为 28。 【答案】甲的总环数为 24，乙的总环数为 28 【例【例 15】某校师生为贫困地区捐款某校师生为贫困地区捐款 1995 元这个学校共有元这个学校共有 35 名教

25、师，名教师，14 个教学班各班学生人数相同且个教学班各班学生人数相同且 多于多于 30 人不超过人不超过 45 人如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元人如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元? 【考点】分解质因数的综合应用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】这个学校最少有 35+1430=455 名师生，最多有 35+1445=665 名师生，并且师生总人数能整除 19951995=35133，在 455665 之间的约数只有 5133=665，所以师生总数为 665 人，则平均每 人捐款 1995665=3 元 【答案】3 【例【例 16】张老师带领同学

26、们去种树，学生的人数恰好等分成三组张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树已知老师和学生共种树 312 棵，老师与学棵，老师与学 生每人种的树一样多，并且不超过生每人种的树一样多，并且不超过 10 棵棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？问：一共有多少学生？每人种了几棵树？ 【考点】分解质因数的综合应用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过 10 所以通过枚举法来解(注意 人数是减去 1 后是 3 的倍数)：1 312，3121311 不是 3 的倍数；2 156，1561155 不是 3 的 倍

27、数；3 104，1041103 不是 3 的倍数；478，78177 不是 3 的倍数；652，52151 是 3 的倍数；8 39，39138 不是 3 的倍数；共有 51 个学生，每个人种了 6 棵树. 【答案】共有 51 个学生，每个人种了 6 棵树 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多， 共种了共种了 1073 棵，那么平均每人种了棵树？棵，那么平均每人种了棵树？ 【考点】分解质因数的综合应用【难度】3 星【题型】解答 【

28、解析】【解析】因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首先想到的是把 1073 数相乘，一个数为人数一个数 为每人种的棵数，10732937，注意到人数是减去 1 是 3 倍数，所以人数是 37 均每人种了 29 棵。 【答案】29 【例【例 17】幼儿园里给小朋友分苹果幼儿园里给小朋友分苹果，420 个苹果正好均分个苹果正好均分。但今天刚好又新人园一位小朋友但今天刚好又新人园一位小朋友，这样每个小朋这样每个小朋 友就要少分友就要少分 2 个苹果。原来有个苹果。原来有个小朋友。个小朋友。 【考点】分解质因数的综合应用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 8 题，1

29、0 分 【解析】 2 42023 5722103 1405 84670760 5-3-4.分解质因数.题库教师版page 7 of 7 10421235 14301528 2021 上式中只有 1430=(14+1)(30-2)=1528 符合题意，所以原有 14 个小朋友。 【答案】14 【例【例 18】2006 个弹珠，平均分给若干个人，正好分完个弹珠，平均分给若干个人，正好分完若有若有 1 人退出，不参加分球，并且弹珠增加人退出，不参加分球，并且弹珠增加 10 个个， 则每人可以多分则每人可以多分 8 个个原来有原来有人人 【考点】分解质因数的综合应用【难度】4 星【题型】填空 【关键词

30、】走美杯，5 年级，决赛，第 4 题，8 分 【解析】对 2006 进行分解质因式，得到 2006=21759；对 2016 进行分解质因式得到，2016= 5 279 ， 发现只有 16 到 17 相差 1 人。经验证符合条件，所以原来有 17 人。 【答案】17人 【例【例 19】已知，已知，a、b、c、d、e这这5个质数互不相同，并且符合下面的算式：个质数互不相同，并且符合下面的算式：()()2890ab cd e，那，那 么，这么，这5个数当中最大的数至多是个数当中最大的数至多是。 【考点】分解质因数的综合应用【难度】5 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，5 年级，第 4 题 【解析

31、】 2 ()()289025 17ab cd e ，所以ab、cd、e中只有一个偶数。如果a、b、c、d中没 有2，那么ab、cd均为偶数，矛盾，所以a、b、c、d中有一个为2，不妨设2a ，那么e只 能为5或17。如果5e ，那么 2 (2)()2 17b cd，而 22 2 171 (2 17 )22891734 ，由 于2b、cd均大于2，只有分解成1734才有可能，但此时217b，得15b 为合数，与题意 不符；如果17e ，那么(2)()25 17b cd ，可能为10 17和5 34。若为前者，b将为合数， 所以只能是后者，得25b，34cd，那么3b ，c、d至少为5，所以最大为34529。 【答案】29