小学奥数习题教案-8-9 构造与论证.教师版.doc
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1、8-9.构造与论证.题库教师版page 1 of 16 构造与论证构造与论证 教学目标教学目标 1. 掌握最佳安排和选择方案的组合问题. 2. 利用基本染色去解决相关图论问题 知识点拨知识点拨 知识点说明 各种探讨给定要求能否实现,在论证中,有时需进行分类讨论,有时则要着眼于极端情形,或从整体 把握设计最佳安排和选择方案的组合问题,这里的最佳通常指某个量达到最大或最小解题时,既要构 造出取得最值的具体实例,又要对此方案的最优性进行论证论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分 析和不等式估计 组合证明题,在论证中,有时需进行分类讨论,有时则需要着眼于极端情况,或从整体把握。若干点 及连接它们的一些
2、线段组成图,与此相关的题目称为图论问题。若干点及连接它们的一些线段组成图,与 此相关的题目称为图论问题,这里宜从特殊的点或线着手进行分析各种以染色为内容,或通过染色求解 的组合问题,基本的染色方式有相间染色与条形染色 知识点拨知识点拨 板块一、最佳安排和选择方案 【例【例 1】 5 卷本百科全书按从第卷本百科全书按从第 1 卷到第卷到第 5 卷的递增序号排列,今要将它们变为反序排列,即从第卷的递增序号排列,今要将它们变为反序排列,即从第 5 卷卷 到第到第 1 卷如果每次只能调换相邻的两卷,那么最少要调换多少次卷如果每次只能调换相邻的两卷,那么最少要调换多少次? 【考点】构造与论证【难度】2
3、星【题型】解答 【解析】因为必须是调换相邻的两卷,将第 5 卷调至原来第 1 卷的位置最少需 4 次,得到的顺序为 51234; 现在将第 4 卷调至此时第 1 卷的位置最少需 3 次,得到的顺序为 54123; 现在将第 3 卷调至此时第 1 卷的位置最少需 2 次,得到的顺序为 54312; 最后将第 1 卷和第 2 卷对调即可 所以,共需调换 4+3+2+1=10 次 【答案】10 次 【例【例 2】 在在 2009 张卡片上分别写着数字张卡片上分别写着数字 1、2、3、4、2009,现在将卡片的顺序打乱,让空白面,现在将卡片的顺序打乱,让空白面 朝上朝上,并在空白面上又分别写上并在空白
4、面上又分别写上 1、2、3、4、2009然后将每一张卡片正反两个面上的然后将每一张卡片正反两个面上的 数字相加,再将这数字相加,再将这 2009 个和相乘,所得的积能否确定是奇数还是偶数?个和相乘,所得的积能否确定是奇数还是偶数? 【考点】构造与论证【难度】3 星【题型】解答 【解析】从整体进行考虑 所得的 2009 个和相加, 便等于 12009 的所有数的总和的 2 倍, 是个偶数 2009 个数的和是偶数,说明这 2009 个数中必有偶数,那么这 2009 个数的乘积是偶数 本题也可以考虑其中的奇数由于 12009 中有 1005 个奇数,那么正反两面共有 2010 个奇数, 而只有 2
5、009 张卡片,根据抽屉原理,其中必有 2 个奇数在同一张卡片上,那么这张卡片上的数 字的和是偶数,从而所有 2009 个和的乘积也是偶数 【答案】偶数 8-9.构造与论证.题库教师版page 2 of 16 【例【例 3】 一个盒子里有一个盒子里有 400 枚棋子枚棋子,其中黑色和白色的棋子各其中黑色和白色的棋子各 200 枚枚下面我们对这些棋子做如下操作下面我们对这些棋子做如下操作: 每次拿出每次拿出 2 枚棋子,如果颜色相同,就补枚棋子,如果颜色相同,就补 1 枚黑色棋子回去;如果颜色不同,就补枚黑色棋子回去;如果颜色不同,就补 1 枚白色的枚白色的 棋子回去这样的操作,实际上就是每次都
6、少了棋子回去这样的操作,实际上就是每次都少了 1 枚棋子,那么,经过枚棋子,那么,经过 399 次操作后,最后剩次操作后,最后剩 下的棋子是下的棋子是颜色颜色(填填“黑黑”或者或者“白白”) 【考点】构造与论证【难度】3 星【题型】填空 【解析】在每一次操作中,若拿出的两枚棋子同色,则补黑子 1 枚,所以拿出的白子可能为 0 枚或 2 枚; 若拿出的两枚棋子异色,则补白子 1 枚,“两枚棋子异色”说明其中一黑一白,那么此时拿出的白 子数为 0 枚可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚,而由于起初白子有 200 枚,是偶数枚,所 以每次操作后剩下的白子都是偶数枚,因此最后 1 枚不可能是白子,只能是
7、黑子 【答案】黑子 【例【例 4】 在黑板上写上在黑板上写上1、2、3、4、2008,按下列规定进行按下列规定进行“操怍操怍”:每次擦去其中的任意两个每次擦去其中的任意两个 数数a和和b,然后写上它们的差然后写上它们的差(大数减小数大数减小数),直到黑板上剩下一个数为止直到黑板上剩下一个数为止问黑板上剩下的数是问黑板上剩下的数是 奇数还是偶数?为什么?奇数还是偶数?为什么? 【考点】构造与论证【难度】3 星【题型】解答 【解析】根据等差数列求和公式,可知开始时黑板上所有数的和为12320082009 1004是一个 偶数, 而每一次“操作”, 将a、b两个数变成了()ab, 它们的和减少了2b
8、, 即减少了一个偶数 那 么从整体上看,总和减少了一个偶数,其奇偶性不变,还是一个偶数 所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数, 那么最后黑板上剩下一个数时, 这个数是个偶数 【答案】偶数 【例【例 5】 在在 19971997 的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮按钮每按一次,与它同一行和的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮按钮每按一次,与它同一行和 同一列方格中的灯泡都改变一次状态,即由亮变为不亮,或由不亮变为亮如果原来每盏灯都同一列方格中的灯泡都改变一次状态,即由亮变为不亮,或由不亮变为亮如果原来每盏灯都 是不亮的,请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮是不亮的,请说
9、明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮? 【考点】构造与论证【难度】4 星【题型】解答 【解析】最少要 1997 次,将第一列中的每一格都按一次,则除第一列外,每格的灯都只改变一次状态, 由不亮变成亮而第一列每格的灯都改变 1997 次状态,由不亮变亮如果少于 1997 次,则至少 有一列和至少有一行没有被按过,位于这一列和这一行相交处的灯保持原状,即不亮的状态 【答案】1997 次 【例【例 6】 有有 3 堆小石子,每次允许进行如下操作:从每堆中取走同样数目的小石子,或是将其中的某一堆小石子,每次允许进行如下操作:从每堆中取走同样数目的小石子,或是将其中的某一 石子数是偶数的堆中的一半石
10、子移入另外的一堆开始时,第一堆有石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆开始时,第一堆有 1989 块石子,第二堆块石子,第二堆有有 989 块石子,第三堆有块石子,第三堆有 89 块石子问能否做到:块石子问能否做到: (1)某某 2 堆石子全部取光堆石子全部取光?(2)3 堆中的所有石子都被取走堆中的所有石子都被取走? 【考点】构造与论证【难度】4 星【题型】解答 【解析】 (1)可以,如(1989,989,89)(1900,900,0)(950,900,950)(50,0,50)(25,25, 50)(0,0,25) (2)因为操作就两种,每堆取走同样数目的小石子,将有偶数堆石子堆中一半
11、移至另一堆,所 以每次操作石子总数要么减少 3 的倍数,要么不变 现在共有 1989+989+89=3067,不是 3 的倍数,所以不能将 3 堆中所有石子都取走 【答案】(1)可以(2)不能 【例【例 7】 在某市举行的一次乒乓球邀请赛上在某市举行的一次乒乓球邀请赛上,有有 3 名专业选手与名专业选手与 3 名业余选手参加名业余选手参加.比赛采用单循环方式比赛采用单循环方式 进行,就是说每两名选手都要比赛一场为公平起见,用以下方法记分:开赛前每位选手各进行,就是说每两名选手都要比赛一场为公平起见,用以下方法记分:开赛前每位选手各有有 10 分作为底分分作为底分,每赛一场每赛一场,胜者加分胜者
12、加分,负者扣分负者扣分,每胜专业选手一场加每胜专业选手一场加 2 分分,每胜业余选手一每胜业余选手一 场加场加 1 分;专业选手每负一场扣分;专业选手每负一场扣 2 分,业余选手每负一场扣分,业余选手每负一场扣 1 分问:一位业余选手最少要胜分问:一位业余选手最少要胜 几场,才能确保他的得分比某位专业选手高几场,才能确保他的得分比某位专业选手高? 【考点】构造与论证【难度】4 星【题型】解答 【解析】当一位业余选手胜 2 场时,如果只胜了另两位业余选手,那么他得 10+2-3=9(分)此时,如果专 业选手间的比赛均为一胜一负,而专业选手与业余选手比赛全胜,那么每位专业选手的得分都是 10+2-
13、2+3=13(分)所以,一位业余选手胜 2 场,不能确保他的得分比某位专业选手高 当一 位业余 选手胜 3 场时 ,得分 最少时 是胜两 位业余 选手, 胜一位 专业选 手, 得 8-9.构造与论证.题库教师版page 3 of 16 10+2+2-2=12(分)此时,三位专业选手最多共得 30+0+4=34(分),其中专业选手之间的三场比赛 共得 0 分,专业选手与业余选手的比赛最多共得 4 分.由三个人得 34 分,343=11 1 3 ,推知,必 有人得分不超过 11 分. 也就是说,一位业余选手胜 3 场,能确保他的得分比某位专业选手高. 【答案】胜 3 场 【例【例 8】 n 支足球
14、队进行比赛支足球队进行比赛,比赛采用单循环制比赛采用单循环制,即每对均与其他各队比赛一场即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得现规定胜一场得 2 分分, 平一场得平一场得 1 分,负一场得分,负一场得 0 分分.如果每一队至少胜一场,并且所有各队的积分都不相同,问:如果每一队至少胜一场,并且所有各队的积分都不相同,问: (1)n=4 是否可能?是否可能? (2)n=5 是否可能?是否可能? 【考点】构造与论证【难度】3 星【题型】解答 【解析】(1)我们知道 4 个队共进行了 2 4 C场比赛,而每场比赛有 2 分产生,所以 4 个队的得分总和为 2 4 C2=12.因为每一队至少胜一场,
15、 所以得分最低的队至少得 2 分, 又要求每个队的得分都不相同, 所以 4 个队得分最少 2+3+4+5=1412,不满足.即 n=4 不可能。 (2) 我们知道5个队共进行 2 5 C场比赛, 而每场比赛有2分产生, 所以4个队的得分总和为 2 5 C2=20. 因为每一队至少胜一场,所以得分最低的队至少得 2 分,又要求每个队的得分都不相同,所以 5 个队得分最少为 2+3+4+5+6=20, 满足.即 n=5 有可能.但是我们必须验证是否存在实例.如下所示, A 得 2 分,C 得 3 分,D 得 4 分,B 得 5 分,E 得 6 分.其中“AB”表示 A、B 比赛时,A 胜 B; “
16、B-C”表示 B、C 比赛时,B 平 C,余下类推. 【答案】 (1)不可能(2)可能 【例【例 9】 如图如图 35-1,将,将 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 这这 10 个数分别填入图中的个数分别填入图中的 10 个圆圈内,使任个圆圈内,使任 意连续相邻的意连续相邻的 5 个圆圈内的各数之和均不大于某个整数个圆圈内的各数之和均不大于某个整数 M.求求 M 的最小值并完成你的填图的最小值并完成你的填图. 【考点】构造与论证【难度】3 星【题型】解答 【解析】要使 M 最小,就要尽量平均的填写,因为如果有的连续 5 个圆圈内的数特别小,有的特别大,那 么 M 就只能大于等于特别大的
17、数,不能达到尽量小的目的 因为每个圆圈内的数都用了 5 次,所以 10 次的和为 5(1+2+3+10)=275 每次和都小于等于朋,所以 10M 大于等于 275,整数 M 大于 28 下面来验证 M=28 时是否成立, 注意到圆圈内全部数的总和是 55, 所以肯定是一边五个的和是 28, 一边是 27因为数字都不一样,所以和 28 肯定是相间排列,和 27 也是相问排列,也就是说数组 每隔 4 个差值为 1,这样从 1 填起,容易排出适当的填图. 8-9.构造与论证.题库教师版page 4 of 16 【答案】 【例【例 10】如图,在时钟的表盘上任意作如图,在时钟的表盘上任意作9个个12
18、0的扇形,使得每一个扇形都恰好覆盖的扇形,使得每一个扇形都恰好覆盖4个数,且每两个个数,且每两个 扇形覆盖的数不全相同,求证:一定可以找到扇形覆盖的数不全相同,求证:一定可以找到3个扇形,恰好覆盖整个表盘上的数并举一个个扇形,恰好覆盖整个表盘上的数并举一个 反例说明,作反例说明,作8个扇形将不能保证上述结论成立个扇形将不能保证上述结论成立 【考点】构造与论证【难度】3 星【题型】解答 【关键词】清华附中,入学测试 【解析】略 【答案】要在表盘上共可作出 12 个不同的扇形,且 112 中的每个数恰好被 4 个扇形覆盖将这 12 个扇 形分为 4 组,使得每一组的 3 个扇形恰好盖住整个表盘那么
19、,根据抽屉原理,从中选择 9 个扇 形,必有 9 13 4 个扇形属于同一组,那么这一组的 3 个扇形可以覆盖整个表盘 另一方面,作 8 个扇形相当于从全部的 12 个扇形中去掉 4 个,则可以去掉盖住同一个数的 4 个 扇形,这样这个数就没有被剩下的 8 个扇形盖住,那么这 8 个扇形不能盖住整个表盘 【巩固】【巩固】 将将 1、2、3、4、5、6 写在一个圆周上写在一个圆周上,然后把圆周上连续三个数之和写下来然后把圆周上连续三个数之和写下来,则可以得到六个则可以得到六个 数数 1 a、 2 a、 3 a、 4 a、 5 a、 6 a,将这六个数中最大的记为将这六个数中最大的记为A请问在所有
20、填写方式中请问在所有填写方式中,A的最小的最小 值是什么?值是什么? ? 6 ? 3 ? 2 ? 5 ? 4 ? 1 【考点】构造与论证【难度】3 星【题型】解答 【关键词】2008 年,台湾小学数学竞赛选拔赛 【解析】要由于每个写在圆周上的数都被用了三次,则 123456 3 (123456)63aaaaaa,即写出来的这 6 个数的平均数为10.5,因 此A至少为 11由上图的排列方式可知A为 11 的情形存在,故A的最小值为 11 【答案】最小值为 11 【例【例 11】1998 名运动员的号码依次为名运动员的号码依次为 1 至至 1998 的自然数现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队,
21、的自然数现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队, 使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积那么,选为仪仗队的运动使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积那么,选为仪仗队的运动 员最少有多少人员最少有多少人? 【考点】构造与论证【难度】3 星【题型】解答 【解析】我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉,因为它们参与的乘式比较多,把它们去掉有助于使 剩下的构不成乘式,比较小的数肯定是用得最多的,因为它们的倍数最多,所以考虑先把它们去 掉,但关键是除到何处? 考虑到 44 的平方为 1936,所以去到 44 就够了,因为如果剩下的构成了乘式,那么乘式中最小 的数一定
22、小于等于 44,所以可以保证剩下的构不成乘式因为对结果没有影响,所以可以将 1 8-9.构造与论证.题库教师版page 5 of 16 保留,于是去掉 2,3,4,44 这 43 个数 但是,是不是去掉 43 个数为最小的方法呢?构造 297,396,495,4445,发现这 43 组 数全不相同而且结果都比 1998 小,所以要去掉这些乘式就至少要去掉 43 个数,所以 43 为最小 值,即为所求. 【答案】43 【例【例 12】一一组互不相同的自然数,其中最小的数是组互不相同的自然数,其中最小的数是 1,最大的数是,最大的数是 25,除,除 1 之外,这组数中的任一个数之外,这组数中的任一
23、个数 或者等于这组数中某一个数的或者等于这组数中某一个数的 2 倍倍,或者等于这组数中某两个数之和或者等于这组数中某两个数之和.问问:这组数之和的最小值这组数之和的最小值 是多少是多少?当取到最小值时,这组数是怎样构成的当取到最小值时,这组数是怎样构成的? 【考点】构造与论证【难度】3 星【题型】解答 【解析】首先把这组数从小到大排列起来,那么最小的肯定为 1,1 后面只能是 1 的 2 倍即 2,2 后面可以 是 3 或 4,3 的后面可以是 4,5,6;4 的后面可以是 5,6,8最大的为 25下面将所有的可能 情况列出: 1,2,3,4,25 所有的和是 35; 1,2,3,5,25 所
24、有的和是 36; 1,2,3,6,25 所有的和是 37; 1,2,4,5,25 所有的和是 37; 1,2,4,6,25 所有的和是 38; 1,2,4,8,25 所有的和是 40. 25 是奇数,只能是一个偶数加上一个奇数在中间省略的数中不能只有 1 个数,所以至少还要 添加两个数,而且这两个数的和不能小于 25,否则就无法得到 25 这个数要求求出最小值,先 看这两个数的和是 25 的情况,因为省略的两个数不同于前面的数,所以从 20+5 开始 25=20+5=19+6=18+7=17+8=16+9=15+10=14+11=13+12 这些数中 20,19,18,17 太大,无法产生,所
25、以看:16+9=15+10=14+11=13+12 看这些谁能出现和最小的 1,2,3,4,25 中,检验发现没有可以满足的: 再看 1, 2, 3, 5, , 25, 发现 1, 2, 3, 5, 10, 15, 25 满足, 所以: 1+2+3+5+10+15+25=36+25=61 【答案】1+2+3+5+10+15+25=36+25=61 【例【例 13】2004 枚棋子,每次可以取枚棋子,每次可以取 1、3、4、7 枚,最后取的获胜。甲、乙轮流取,如果甲先取,如何枚,最后取的获胜。甲、乙轮流取,如果甲先取,如何 才能保证赢?才能保证赢? 【考点】构造与论证【难度】3 星【题型】解答
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