小学奥数习题教案-8-4 体育比赛.教师版.doc

1、8-4.体育比赛.题库教师版page 1 of 15 体育比赛问题体育比赛问题 知识点拨知识点拨 体育比赛中的数学 对于体育比赛形式的逻辑推理题，注意“一队的胜、负、平”必然对应着“另一队的负、胜、平”。有时 综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连接这些点的线来表示，从整体考虑，通过数量比较、整数 分解等方式寻找解题的突破口。 例题精讲例题精讲 【例【例 1】 三年级四个班进行足球比赛，每两个班之间都要赛一场，那么每个班要赛几场？一共要进行多三年级四个班进行足球比赛，每两个班之间都要赛一场，那么每个班要赛几场？一共要进行多 少场比赛？少场比赛？ （如果参赛队每两队之间都要赛一场，这种比赛称

2、为单循环赛）（如果参赛队每两队之间都要赛一场，这种比赛称为单循环赛） 【考点】体育比赛【难度】1 星【题型】解答 【解析】（法一）题意要求每两个点之间都连一条线段先考虑点A(如图)，它与B、C、D三点能且只 能连接三条线段AB、AC、AD；同样，从点B也可以连出三条线段BA、BC、BD；从点C可 以连出三条线段CA、CB、CD；从点D可以连出三条线段DA、DB，DC因此，从一个点可 以连三条线段从每个点都连出三条线段，共有四个点3412(条) 注意到线段AB既是由A点连出的，也是由B点连出的，并且每一条线段都是这样(如图)，所以， 线段的总数应为：6(条) （法二）从点A引出三条线AB、AC、

3、AD，为避免重复计数，从B点引出的线段只计BC、 BD两条，由C点引出的只有CD一条因此，线段的总数为3216 (条) 通过例题的讲解，对于这个问题，我们就可以很轻松地解决了一共有四个队，每个队都要比赛 413 场，一共有比赛3426场 【点拨】我们可以将上面的问题如下表述：下面的四个点，每两个点之间都连一条线段，那么，从一个点 可以连出几条线段？一共可以连多少条线段？ ? D ? C ? B ? A ? D ? C ? B ? A 【答案】6场 【巩固】【巩固】 市里举行足球联赛市里举行足球联赛，有有5个区参加比赛个区参加比赛，每个区出每个区出2个代表队个代表队每个队都要与其他队赛一场每个队

4、都要与其他队赛一场，这这 些比赛分别在些比赛分别在5个区的体育场进行，那么平均每个体育场都要举行多少场比赛？个区的体育场进行，那么平均每个体育场都要举行多少场比赛？ 【考点】体育比赛【难度】1 星【题型】解答 【解析】一共有5210（个）队参加比赛，共赛10(101)245（场） ，平均每个体育场都要举行 4559（场）比赛 【答案】9场 【巩固】【巩固】 二年级六个班进行拔河单循环赛，每个班要进行几场比赛？一共要进行几场比赛？二年级六个班进行拔河单循环赛，每个班要进行几场比赛？一共要进行几场比赛？ 【考点】体育比赛【难度】1 星【题型】解答 【解析】每个班要进行5场，一共要进行65215（场

5、）比赛 8-4.体育比赛.题库教师版page 2 of 15 【答案】每个班要进行5场，一共要进行15场比赛 【巩固】【巩固】20名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单单循环赛，那么冠军一共要比赛多少场？名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单单循环赛，那么冠军一共要比赛多少场？ 【考点】体育比赛【难度】1 星【题型】解答 【解析】假设20名羽毛球运动员中的甲是冠军，那么甲与其他19名运动员都赛过了，也就是一共赛了19 场 【答案】一共赛了19场 【例【例 2】8只球队进行淘汰赛，为了决出冠军，需要进行多少场比赛？只球队进行淘汰赛，为了决出冠军，需要进行多少场比赛？ 【考点】体育比赛【难

6、度】2 星【题型】解答 【解析】方法一：8进4进行了4场，4进2进行2场，最后决赛是1场，因此共进行了4217 （场） 比赛 方法二：每进行一场比赛就淘汰一支球队，最后只剩下冠军了，也就是说淘汰了7只球队，因此 进行了7场比赛 【答案】7场比赛 【例【例 3】 学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛场比赛， 有有人参加了选拔赛人参加了选拔赛 A.8B.9C.10 【考点】体育比赛【难度】2 星【题型】选择 【关键词】2008，第四届，IMC 国际数学邀请赛，新加坡，初赛 【解析】

7、三个人比赛，可以比赛3223场；如果四个人比赛，可以比赛4326 场；如果有五个 人比赛，那么可以比赛54210场；如果有9个人比赛，那么可以比赛9 8236 场，所以 答案是B 【答案】答案是B 【巩固】【巩固】 朝阳区的几个学校举行篮球比赛，每两个学校都要赛一场，共赛了朝阳区的几个学校举行篮球比赛，每两个学校都要赛一场，共赛了28场，那么有几个学校参加场，那么有几个学校参加 了比赛？了比赛？ 【考点】体育比赛【难度】2 星【题型】解答 【解析】假设有n个学校参加比赛，那么就有(1)2nn场比赛，现在已知共赛了28场，那么8n ，也 就是有8个学校参加了比赛 【答案】8个学校 【例【例 4】

8、 有有8个选手进行乒乓球单循环赛，结果每人获胜局数各不相同，那么冠军胜了几局？个选手进行乒乓球单循环赛，结果每人获胜局数各不相同，那么冠军胜了几局？ 【考点】体育比赛【难度】2 星【题型】解答 【解析】8个选手进行乒乓球单循环赛，每个选手都要参加7场比赛，而且每人获胜局数各不相同，所以 每人获胜的局数分别为0 7局，那么冠军胜了7局 【答案】冠军胜了7局 【例【例 5】A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘每两人都要比赛一盘到现在为止到现在为止，A已经赛已经赛4 盘，盘，B赛赛3盘，盘，C赛赛2盘，盘，D赛赛1盘问：此时盘问：此时E同学赛了几盘？同学赛了

9、几盘？ 【考点】体育比赛【难度】2 星【题型】解答 【解析】画5个点表示五位同学，两点之间连一条线段表示赛一场，建议教师让学生动手按要求画一画 ? E ? D ? C ? B ? A 根据题意，A已经赛4盘，说明A与B、C、D、E各赛一盘，A应与B、C、D、E点相连D 赛1盘，是与A点相连的B赛3盘，是与A、C、E点相连的C赛2盘，是与A、B点相连 的从图上E点的连线条数可知，E同学赛了2盘 8-4.体育比赛.题库教师版page 3 of 15 【答案】E同学赛了2盘 【巩固】【巩固】 八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，一个八一队、北京队、江苏队、山

10、东队、广东队五队进行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，一个 月过后，八一队赛了月过后，八一队赛了4场，北京队赛了场，北京队赛了3场，江苏队赛了场，江苏队赛了2场，山东队赛了场，山东队赛了1场那么广东队赛场那么广东队赛 了几场？了几场？ 【考点】体育比赛【难度】2 星【题型】解答 【解析】八一队赛了4场，说明八一队和其它四队都赛过了 山东队赛了1场，说明只和八一队赛过 北京队赛了3场，说明与八一队、江苏队、广东队赛过 江苏队赛了2场，说明与八一队、北京队赛过 由此可知，广东队只和八一队、北京队赛过，赛了2场 【答案】赛了2场 【巩固】【巩固】 A、B、C、D、E、F 六人赛棋六人赛棋，采用单循环制

11、采用单循环制。现在知道现在知道：A、B、C、D、E 五人已经分别赛五人已经分别赛过过 54、3、2、l 盘。问：这时盘。问：这时 F 已赛过已赛过盘。盘。 【考点】体育比赛【难度】2 星【题型】填空 【解析】3 盘。 【答案】3 盘 【例【例 6】 趣味滑冰锦标赛最后进行的是花样滑冰双人滑的表演，规定男女双方都不能和自己的原搭档在趣味滑冰锦标赛最后进行的是花样滑冰双人滑的表演，规定男女双方都不能和自己的原搭档在 一起表演一起表演男士用男士用A、B、C表示表示，女士用甲女士用甲、乙乙、丙表示丙表示已知前面表演过程中已知前面表演过程中A和甲一起和甲一起 滑过滑过，B和丙一起滑过和丙一起滑过，C和甲

12、一起滑过和甲一起滑过，B和乙一起滑过和乙一起滑过，C的新搭档不可能是丙的新搭档不可能是丙，那么乙那么乙 的新搭档是谁？的新搭档是谁？ 【考点】体育比赛【难度】2 星【题型】解答 【解析】根据题意可列出以下表格，“”表示二者不可能是新搭档 由上图可以发现甲的新搭档是B，C的新搭档不可能是丙，所以丙的新搭档是A，乙的新搭档是 C 【答案】乙的新搭档是C 【例【例 7】 东东、西西、南南、北北四人进行乒乓球单循环赛，结果有三人获胜的场数相同问另一个人东东、西西、南南、北北四人进行乒乓球单循环赛，结果有三人获胜的场数相同问另一个人 胜了几场？胜了几场？ 【考点】体育比赛【难度】2 星【题型】解答 【解

13、析】东东、西西、南南、北北四人进行单循环赛，则每人都赛3场，共赛3426(场)如果其中 有三人都胜3场，则至少进行9场比赛，这是不可能的；如果其中有三人都胜2场，那么6场比赛 中的获胜者都在这三个人中，每人胜了2场，另一个人胜0场；如果其中有三人都胜1场，那么6 场比赛中的3场这三人各胜1场，另外3场的胜者必是第四个人，故另一个人胜3场；三个人都胜 0场也是不可能的 因此， 如果有3人获胜的场数相同， 那么另一个人可能胜0场， 也可能胜3场 【答案】另一个人可能胜0场，也可能胜3场 【巩固】【巩固】 东东东东、 西西西西、 北北三人进行乒乓球单循环赛北北三人进行乒乓球单循环赛， 结果结果3人获

14、胜的场数各不相同人获胜的场数各不相同 问第一名胜了几场？问第一名胜了几场？ 【考点】体育比赛【难度】2 星【题型】解答 【解析】三人进行单循环赛，即每两人都要赛一场，共进行3223（场）比赛每场比赛都有一人获 胜，每人都赛2场由题意知三人获胜的场数各不相同，所以三人获胜的场数分别为2、1、0显 然，第一名是胜了2场 【答案】第一名是胜了2场 【例【例 8】 参加世界杯足球赛的国家共有参加世界杯足球赛的国家共有32个（称个（称32强强） ，每四个国家编入一个小组，在第一轮单循环赛，每四个国家编入一个小组，在第一轮单循环赛 8-4.体育比赛.题库教师版page 4 of 15 中中，每个国家都必须

15、而且只能分别和本小组的其他各国进行一场比赛每个国家都必须而且只能分别和本小组的其他各国进行一场比赛，赛出赛出16强后强后，进入淘汰进入淘汰 赛赛，每两个国家用一场比赛定胜负每两个国家用一场比赛定胜负，产生产生8强强、4强强、2强强，最后决出冠军最后决出冠军、亚军亚军、第三名第三名，第第 四名至此，本届世界杯的所有比赛结束四名至此，本届世界杯的所有比赛结束 根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场？根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场？ 【考点】体育比赛【难度】2 星【题型】解答 【解析】单循环赛中，有3248（个）组每组4个队 每组四个队中，每个队要与其他3队都比赛1 场，

16、每个队就比3场因为每场比赛要2个队所以1组里有4326 （场） 有8个组，单循 环赛就有8648（场） 进入淘汰赛，有16个队，淘汰赛每比1场就淘汰1个队，最后决出冠军 1个队，就比了16115 场，还要决出第三名，第四名，又多了1场淘汰赛就有15116 场世 界杯的足球赛全程共有481664（场） 【答案】64场 【例【例 9】 四个人进行象棋单循环赛四个人进行象棋单循环赛，规定胜者得规定胜者得2分分，负者得负者得0分分，和棋双方各得和棋双方各得1分分，比赛结束后统计比赛结束后统计 发现，四个人的得分和加起来一定是多少？发现，四个人的得分和加起来一定是多少？ 【考点】体育比赛【难度】2 星【

17、题型】解答 【解析】四个人循环比赛总共比赛4326 （场） ，每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是2 分，因此最终四个人的得分加起来一定是2612（分） 【答案】12分 【巩固】【巩固】 五个人进行象棋单循环赛，规定胜者得五个人进行象棋单循环赛，规定胜者得2分，负者得分，负者得0分，和棋双方各得分，和棋双方各得1分，比赛结束后统计分，比赛结束后统计 发现，五个人的得分和加起来一定是多少？发现，五个人的得分和加起来一定是多少？ 【考点】体育比赛【难度】2 星【题型】解答 【解析】四个人循环比赛总共比赛54210（场） ，每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是 2分，因此最终四个人的

18、得分加起来一定是2 1020（分） 【答案】20分 【例【例 10】五个足球队进行循环比赛，即每两个队之间都要赛一场每场比赛胜者得五个足球队进行循环比赛，即每两个队之间都要赛一场每场比赛胜者得2分、负者得分、负者得0分、分、 打平两队各得打平两队各得1分分比赛结果各队得分互不相同比赛结果各队得分互不相同已知已知：第第1名的队没有平过名的队没有平过；第第2名的队名的队 没有负过；没有负过；第第4名的队没有胜过问全部比赛共打平了名的队没有胜过问全部比赛共打平了场场 【考点】体育比赛【难度】2 星【题型】填空 【解析】5支球队进行循环赛，共需要打10场，产生总分20分由、知第1名负于第2名，那么第1

19、名 最多得236分由于各队得分互不相同，而且6543220，所以5支球队得分依次为 6分、5分、4分、3分、2分第一名没有平过，又只得到了 6 分，因此负过一场，而第二名的 队没有负过，因此第一名应该负于第二名，胜 3，4，5 名第二名得了 5 分，其中胜第一名得了 2 分，又没有负过，因此和 3，4，5 名皆为平局第四名得了 3 分，其中输给了第一名，平了第 二名，没有胜过，因此和第 3，5 名都是平局第三名得了 4 分，输给了第一名，平了 2，4 名得 2 分，因此胜了第 5 名得 2 分第五名显然只和第 2，4 名平了，其余皆负综上，所有比赛平了 5 场，分别是 2-3，2-4，2-5，

20、3-4，4-5 【答案】平了 5 场 【巩固】【巩固】 一次象棋比赛共有一次象棋比赛共有 10 名选手参加名选手参加，他们分别来自甲他们分别来自甲、乙乙、丙三个队丙三个队，每个选手都与其余每个选手都与其余 9 名选名选 手各赛手各赛 1 盘盘，每盘棋的胜者得每盘棋的胜者得 1 分分，负者得负者得 0 分分，平局双方各得平局双方各得 0.5 分分结果结果，甲队选手平均甲队选手平均得得 4.5 分，乙队选手平均得分，乙队选手平均得 3.6 分，丙队选手平均得分，丙队选手平均得 9 分那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手分那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手 人数各多少？人数各多少？ 【考点】体育比赛【

21、难度】2 星【题型】解答 【解析】由题意可知，这次比赛共需比9872145 (盘) 因为每盘比赛双方得分的和都是 1 分(101或0.521)，所以 10 名选手的总得分为 1 4545(分)每个队的得分不是整数，就是“&.5”这样的小数由于乙队选手平均得 3.6 分，3.6 的整数倍不可能是“0.5”这样的小数所以，乙队的总得分是 18 或 36 但363.610，而三个队一共才 10 名选手(矛盾)所以乙队的总分是 18 分，有选手 183.65(名)甲、丙两队共有 5 名选手 由于丙队的平均分是 9 分，这个队总分只可能是 9 分，18 分(不可能是 27 分)因为271845， 8-4

22、.体育比赛.题库教师版page 5 of 15 甲队选手总得分为 0 分)，丙队选手人数相应为 1 名、2 名，甲队选手人数相应为 4 名，3 名，经 过试验，甲队 4 名选手，丙队 1 名选手 【答案】甲队 4 名选手，丙队 1 名选手，乙队 5 名选手 【巩固】【巩固】 四名同学参加区里围棋比赛四名同学参加区里围棋比赛，每两名选手都要比赛一局每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得规则规定胜一局得2分分，平一局得平一局得1分分， 负一局得负一局得0分分如果每个人最后得的总分都不相同如果每个人最后得的总分都不相同，且第一名不是全胜且第一名不是全胜，那么最多有几局平局？那么最多有几局平局？ 【

23、考点】体育比赛【难度】2 星【题型】解答 【解析】四人共赛6局，总分为6212（分） ，因为总分各不相同，分配得：125421或 125430平局最多的应该是5、4、2、1的情况总分是奇数的必有一局平局，当得分 是5分、1分的同学分别与得分是4分、2分的同学打平后， 得分是4分、2分的同学就还剩下3分、 1分，互相打平就正好所以平局最多是3局 【答案】平局最多是3局 【例【例 11】A、B、C、D、E五人参加乒乓球比赛五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘并且只赛一盘，规定胜者得规定胜者得 2分分，负者不得分负者不得分，已知比赛结果如下已知比赛结果如下：A与与E

24、并列第一名并列第一名B是第三名是第三名C和和D并列第四并列第四 名。求名。求B得多少分？得多少分？ 【考点】体育比赛【难度】2 星【题型】解答 【解析】先计算一下有多少场比赛？总分是多少？再确定第一名的得分 共五名选手参加比赛，每人都要赛4场，每场比赛不是得2分就是得0分，所以每名选手的总分 一定是0、2、4、6、8五数之一四场都负得0分，四场都胜得8分，因此，B的得分比0分 多，比8分少（他不是第一，也不是第四） ，只可能是2、4、6三数之一还不要忘记两个并列 第一，两个并列第四这两个重要条件 因为五个人一共比赛45210（场） ，所以10场球一共得分：2 1020（分） 有两个并列第 一，

25、两个并列第四，决定了没有全胜的，也没有全败的，也就是没有得8分的，也没有得0分的， 得分情况只有2、4、6分三种所以，并列第一的一共得：6212（分） ，并列第四的一共得： 224分，第三名得20(124)4（分） ，所以，B得4分 【答案】B得4分 【巩固】【巩固】 班上四名同学进行跳棋比赛班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局每两名同学都要赛一局每局胜者得每局胜者得2分分，平者各得平者各得1分分，负者得负者得 0分分已知甲已知甲、乙乙、丙三名同学得分分别为丙三名同学得分分别为3分分、4分分、4分分，且丙同学无平局且丙同学无平局，甲同学有胜局甲同学有胜局， 乙同学有平局，那么丁同学得

26、分是多少？乙同学有平局，那么丁同学得分是多少？ 【考点】体育比赛【难度】2 星【题型】解答 【解析】个同学共赛4326 （局） ，结合条件“丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局”，分解 三名同学分数配比：甲：31 21 （一胜一平一负） ；乙：41 22 1 （一胜二平）或（二 胜一负） ；丙：422（二胜一负） ；观察可知有四胜二负，所以丁同学负了二场，又因为有三 平，所以丁同学平了一场则丁同学得：1 11 （分） 【答案】1分 【巩固】【巩固】 甲甲、乙乙、丙丙、丁四人进行象棋比赛丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场每两个都比赛一场，规定胜者得规定胜者得2分分，平局各得平局各得1分分，

27、输者输者 得得0分结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分？分结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分？ 【考点】体育比赛【难度】2 星【题型】解答 【关键词】走美杯 【解析】共四人参加比赛，每人都要赛3场，每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是2分，四 个人循环比赛总共比赛4326 （场） ， 因此最终四个人的得分加起来一定是2612（分） 每 名选手的总分一定是0 6七个数之一又由题意，“甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名”，可 知甲得6分时，乙、丙只能各得3分，丁得0分 如果乙、丙得分大于3分时，根据四个人的总得分是12分，可得甲得分小于等于4分，这种情况

28、不可能；如果乙、丙得分小于3分时，根据四个人的总得分是12分，可得甲得分大于等于7分， 这种情况也不可能；所以乙得3分 【答案】乙得3分 8-4.体育比赛.题库教师版page 6 of 15 【例【例 12】10 个队进行循环赛个队进行循环赛，胜队得胜队得 2 分分，负队得负队得 1 分分，无平局无平局其中有两队并列第一其中有两队并列第一，两队并列第三两队并列第三， 有两个队并列第五，以后无并列情况请计算出各队的得分有两个队并列第五，以后无并列情况请计算出各队的得分 【考点】体育比赛【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛,决赛,二试 【解析】为简单起见，假定胜队得 1 分，负队不得分，其

29、它条件不变，此种情况得到的答案，各队都加上 9 分就是原题答案 因为共赛 45 场，每队赛 9 场，所以共产生 45 分由两队并列第一，推知并列第一的队至少各输 一场 假设并列第一的队各输 1 场，各得 8 分如果并列第三的两个队各输两场，各得 7 分，那么前 四名的队共输 6 场，而它们之间恰好赛了 6 场，所以前四名的队胜了后面的所有队由此推知， 并列第五的队至少各输 5 场，最多各得 4 分，那么后四名的队共得45(874)27分，而后 四名的得分只能是 3、2、1、0，其和不等于 7.所以并列第三的两个队不能各输两场，而是各输三 场，各得 6 分此时，后 6 名的得分只能是 5、5、4

30、、2、1、0， 10 个队的得分依次为：8、8、6、6、5、5、4、2、1、0. 假设并列第一的队各输 2 场，各得 7 分，那么并列第三的队只能各输 3 场，各得 6 分（如果各 输 4 场，后八名的队的得分只能是 5、5、4、4、3、2、1、0，总分不到 45 分） ，后六名的得分只 能是 5、5、4、3、2、0.此时 10 个队的得分依次为：7、7、6、6、5、5、4、3、2、0. 假设并列第一的队至少各输 3 场，则 10 个队的总分之多为665544321036 分，不合题意 综上所述，各队得分为：17、17、15、15、14、14、13、11、10、9； 或：16、16、15、15

31、、14、14、13、12、11、9 【答案】各队得分为：17、17、15、15、14、14、13、11、10、9； 或：16、16、15、15、14、14、13、12、11、9 【巩固】【巩固】 四个同学参加网上棋类比赛四个同学参加网上棋类比赛，每两个人都要赛一场每两个人都要赛一场规定如下规定如下：胜者得胜者得2分分，负者不得分负者不得分，平局平局 得得1分分比赛结果如下比赛结果如下：两名同学并列第一名两名同学并列第一名，两名同学并列第三名两名同学并列第三名已知比赛中有平局已知比赛中有平局，那么那么 第一名同学得多少分？第一名同学得多少分？ 【考点】体育比赛【难度】3 星【题型】解答 【解析】

32、四个同学共赛4326 （场） ，总分是6212（分） 每名选手的总分一定是0 6七个数之 一，因为有两名同学并列第一名，所以第一名的同学不可能都是全胜得6分，而且第一名的分数 要大于3分下面进行枚举 如果第一名的同学得5分，那么第三名的同学得(1252)21 （分） ，也就是第一名胜两场， 平一场，第三名平一场，负两场，各得1分； 如果第一名的同学得4分，那么第三名的同学得(1242)22（分） ，也就是第一名胜一场， 平两场，第三名负一场，平两场，各得2分； 所以第一名同学得分为4分或5分 【答案】第一名同学得分为4分或5分 【例【例 13】四名棋手两名选手都要比赛一局四名棋手两名选手都要比

33、赛一局，规则规定胜一局得规则规定胜一局得2分分，平一局得平一局得1分分，负一局得负一局得0分分比赛比赛 结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？ 【考点】体育比赛【难度】3 星【题型】解答 【关键词】全国小学数学奥林匹克 【解析】（法一）四人共赛6局，总分为6212（分） ，因为没有人全胜，所以得分最高的选手最多是 两胜一平得5分，因此在另外的3局比赛中： 1.如果全部是平局，则4个人的分数只能分别为5，3，2，2，就会出现分数相同的情况，如 图1（图中箭头表示有胜负，箭头指向输者，虚线表示平局） 2.如果有2

34、局是平局，则可以出现满足条件的情况：4人分数分别为5，4，2，1，如图2 8-4.体育比赛.题库教师版page 7 of 15 所以至少有3局是平局 （法二）四人共赛6局， 如果6局都是平局，那么四人总分相同，不合题意 如果有5局平局，那么除有胜负的两人外，另两人总分相同，不合题意 如果有4局平局，那么可分为三种情况：一个人胜两局，输的两个人总分相同；一个人输两局， 胜的两个人总分相同；四个人中两人胜两人负，两个胜的人总分相同，两个负的人总分相同，都 不合题意 3局平局是可能的，如下图所示，连线表示平局，箭头指向的一方为负方，图中数字为各人总分 【答案】至少有3局是平局 【例【例 14】A、B

35、、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛六个足球队进行单循环比赛， 每两个队之间都要赛一场每两个队之间都要赛一场， 且只赛一场且只赛一场 胜胜 者得者得 3 分，负者得分，负者得 0 分，平局每队各得分，平局每队各得 1 分比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数分比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数 列，获得第列，获得第 3 名的队得了名的队得了 8 分，那么这次比赛中共有分，那么这次比赛中共有场平局场平局 【考点】体育比赛【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，决赛 【解析】六个足球队进行单循环比赛，总共有5432115 (场)比赛 平局的两队总分为1 12 (分)

36、，非平局总分为033(分)，因此，如果全是非平局总分有 15 345(分)，否则多一场平局总分减少 1 分 由于第3名得了8分， 最后一名至少0分， 所以各队得分的构成的等差数列的公差不超过 2 832 3 分，只可能为 1 分或 2 分 如果各队得分的构成的等差数列公差为 1，则这六个队的总分为87345（）(分)，则有 0 场平 局，每场比赛每队都得 0 分或 3 分，则每支队的得分都应是 3 的倍数，与第 3 名得 8 分不符 如果各队得分的构成的等差数列公差为 2，则这六个队的总分为86342（）(分)，有 45423(场)平局，符合题意所以这次比赛中共有 3 场平局 【答案】共有 3

37、 场平局 【巩固】【巩固】 五个运动队参加商业足球比赛原计划每两个队都要比赛一场，但由于经费不足，取消了其中五个运动队参加商业足球比赛原计划每两个队都要比赛一场，但由于经费不足，取消了其中 一些比赛场次，最终发现各个队所得的积分各不相同，而且从积分表上看，没有一个队的积分一些比赛场次，最终发现各个队所得的积分各不相同，而且从积分表上看，没有一个队的积分 为为 0.积分的计算办法是：每赢一场得积分的计算办法是：每赢一场得 3 分，每输一场得分，每输一场得 0 分，每平一场得分，每平一场得 1 分试问，这次比分试问，这次比 赛最少可能有赛最少可能有场场 【考点】体育比赛【难度】3 星【题型】填空

38、【关键词】武汉明心奥数挑战赛 【解析】要使比赛总场次越少，可以总分尽量少由于每队得分不同，且没有 0 分的，因此，各队得分至 少为1234515分，即总分至少为 15 分当总分为 15 分时，各队得分分别为 1、2、3、 4、 5 分， 可以看出其中有平局， 所以不是每场比赛都产生 3 分， 那么比赛的场次多于1535场， 即至少为 6 场可以设计比赛情况如图： 8-4.体育比赛.题库教师版page 8 of 15 （AB表示平局；AB表示A赢B） 上面的比赛情况满足题意，所以这次比赛最少可能 有 6 场 【答案】最少可能有 6 场 【巩固】【巩固】 三三（一一）班的同学在周末举行象棋比赛班的

39、同学在周末举行象棋比赛，规定赢规定赢1局得局得3分分，输输1局倒扣局倒扣1分分，平平1局各得局各得1分分小小 晴共参加了晴共参加了6局比赛，结果胜了局比赛，结果胜了3局，平了局，平了1局，那么小晴的最后得分是多少？局，那么小晴的最后得分是多少？ 【考点】体育比赛【难度】3 星【题型】解答 【解析】胜3局得到：3 39（分） ，平1局得到1 11 （分） ，输了63 12 局，扣了2 12 （分） 最 后得分是9128 （分） 【答案】8分 【巩固】【巩固】A、B、C、D四个队举行足球循环赛四个队举行足球循环赛（即每两个队都要赛一场即每两个队都要赛一场） ，胜一场得胜一场得 3 分分，平一场得平

40、一场得 1 分，负一场得分，负一场得 0 分已知：分已知：比赛结束后四个队的得分都是奇数；比赛结束后四个队的得分都是奇数；A队总分第一；队总分第一；B队恰队恰 有两场平局，并且其中一场是与有两场平局，并且其中一场是与C队平局那么，队平局那么，D队得队得分分 【考点】体育比赛【难度】3 星【题型】填空 【关键词】我爱数学夏令营 【解析】由于B队得分为奇数，而平两局得 2 分，所以另外一场是胜局，即B队两平一胜，得分为 5 分； A队得分比B队高，至少得 7 分，又A队不能全胜（否则A队胜B队，B队应该负一场） ，所以A 队恰得 7 分， 即A队两胜一平， 平的那一场是与B队的比赛， 胜了C、D两

41、队；B队则胜了D队； 因为C队平B队、负A队，得分又是奇数，所以C队得 1 分，负给了D队故D队胜C队，负A、 B两队，所以D队得 3 分 【答案】3 分 【例【例 15】5 个足球队进行比赛个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场每个球队都与其他球队各比一场，胜方得胜方得 3 分分，负方得负方得 0 分分，平局各得平局各得 1 分最后四个队分别得分最后四个队分别得 1 分、分、2 分、分、5 分和分和 7 分，那么第五个队得分，那么第五个队得分分 【考点】体育比赛【难度】3 星【题型】填空 【解析】每支队伍都打过四场比赛，显然，根据比赛规则，得 1 分的队伍只能是 1 平 3 负，得

42、2 分的队伍 只能是 2 平 2 负，得 5 分的队伍只能是 1 胜 2 平 1 负，得 7 分的队伍只能是 2 胜 1 平 1 负，不难 得到下表： 从表中可以看出，这四个队共负了 7 场，胜了 3 队，由于每场比赛如果分出胜负那么就有一方负 而另一方胜，所以 5 个队胜和负的总场次应该相等，所以第 5 队应该胜了 4 场，那么第 5 队得了 12 分 【答案】第 5 队得了 12 分 【巩固】【巩固】 甲、乙、丙、丁四个足球队进行单循环赛，就是每两个队之间都要比一场，胜者得甲、乙、丙、丁四个足球队进行单循环赛，就是每两个队之间都要比一场，胜者得 3 分，负者分，负者 得得 0 分，平者各得

43、分，平者各得 1 分比赛结束后，甲队共得分比赛结束后，甲队共得 6 分，乙队共得分，乙队共得 4 分，丙队共得分，丙队共得 2 分，那么丁分，那么丁 队共得队共得分分 【考点】体育比赛【难度】3 星【题型】填空 【解析】甲队得 6 分，只能是胜 2 场负 1 场；乙队得 4 分，只能是胜 1 场平 1 场负 1 场；丙队得 2 分，只 能是平 2 场负 1 场因为甲没有平局，所以丙与乙、丁都是平局，负给甲如果甲胜乙负丁，那 么乙必负丁；如果甲胜丁负乙，那么乙必胜丁所以丁与甲、乙的比赛必是一胜一负，得 3 分， 8-4.体育比赛.题库教师版page 9 of 15 再加上与丙是平局，得 1 分，

44、所以丁共得 4 分 【答案】丁共得 4 分 【巩固】【巩固】 四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得3分，平一场得分，平一场得1分，负一场得分，负一场得0分，有一个队没输分，有一个队没输 过过，但却排名倒数第一但却排名倒数第一，你觉得有可能吗？如果可能你觉得有可能吗？如果可能，请举出这种情况何时出现请举出这种情况何时出现，如果不可能如果不可能， 请你说明理由请你说明理由 【考点】体育比赛【难度】3 星【题型】解答 【解析】可能A，B，C，D四个队 ，A胜B，B胜C，C胜A，D和A，B，C都打平这样的 话，A，B，C都是4分，D是3分，D虽然不败但却难逃垫底

45、厄运 【答案】可能 【例【例 16】德国队、意大利队、荷兰队进行一次足球比赛，每队与另两支队各赛一场。已知德国队、意大利队、荷兰队进行一次足球比赛，每队与另两支队各赛一场。已知： （1）意大利）意大利 队总进球数是队总进球数是 0，并且有一场打了平局并且有一场打了平局； （2）荷兰队总进球数是荷兰队总进球数是 1，总失球数是总失球数是 2，并且该队恰并且该队恰 好胜了一场好胜了一场。按规则按规则：胜一场得胜一场得 2 分分，平一场得平一场得 1 分分，负一场得负一场得 0 分分。问德国队得了问德国队得了_分分。 【考点】体育比赛【难度】3 星【题型】填空 【解析】由条件（2）知，荷兰队胜了一场

46、，而不进球是不可能胜的，但它的总进球数只有 1，说明这场比 赛它以 10 取胜。 又因为它总失球数 2， 所以另一场比赛以 02 输了。 再由条件 （1） 知： 以 20 赢荷兰队的不可能是意大利队（因为意大利队没有进球） ，只可能是德国队（记 2 分） 。既然荷兰 队输给德国队，那么它胜的一场一定是对意大利队，而且比分为 10。德、意两队以 00 踢平 （各记 1 分） 。所以，德国队得了 3 分。 【答案】德国队得了 3 分 【巩固】【巩固】 有有 A、B、C 三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A 有一场踢平，共进球有一场踢平，共进球 2

47、个，失个，失球球 8 个；个；B 两战两胜，共失球两战两胜，共失球 2 个；个；C 共进球共进球 4 个，失球个，失球 5 个，请你写出每队比赛的比分。个，请你写出每队比赛的比分。 【考点】体育比赛【难度】3 星【题型】解答 【解析】A 与 C 踢成 2 比 2；C 对 B 是 2 比 3；B 对 A 是 6 比 0。 【答案】A 与 C 踢成 2 比 2；C 对 B 是 2 比 3；B 对 A 是 6 比 0 【例【例 17】第四届东亚男足邀请赛共有四支足球队进行单循环赛，即每两队之间都要进行一场比赛，每场第四届东亚男足邀请赛共有四支足球队进行单循环赛，即每两队之间都要进行一场比赛，每场 比

48、赛胜者得比赛胜者得3分分，负者得负者得0分分，平局两队各得平局两队各得1分分比赛完成之后各队得分是四个连续的自然数比赛完成之后各队得分是四个连续的自然数， 请计算出输给第一名的球队的得分是请计算出输给第一名的球队的得分是_分分 【考点】体育比赛【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以每场比赛两队的得分之和为2分 或者3分， 四支球队进行单循环赛， 共进行 2 4 6C 场比赛， 所以比赛完成之后各队总得分至少为12 分，最多为18分，又各队得分是四个连续的自然数，而 123410，234514，345618，456721，所以各队得分只可能

49、为 2,3,4,5或者3,4,5,6 如果四队得分为3,4,5,6，那么总得分为18分，则每场比赛两队的得分之和都为3分，即每一 场比赛都不是平局，那么每一场比赛的两只队的得分都是3的倍数（3分或0分） ，那么每支队的 总得分也都是3的倍数，而不可能出现有球队得4分或5分的情况，矛盾，所以四队得分不能为 3,4,5,6，只能为2,3,4,5 由于四队得分分别为2,3,4,5，所以第一名得5分，只能是胜一队而平两队，则这3场比赛中与 第一名平局的两队各得1分，输给第一名的队得0分，由于这三支队共得2349分，所以三 队彼此之间的3场比赛共得91 17 分，而每场比赛共得2分或3分，所以只能为两场

50、2分，一 场3分，即这3场比赛中有两场平局，只有一场分出了胜负 如果分出胜负的这场比赛发生在平了第一名的两支队之间，则它们与输给第一名的那支队之间都 是平局，则其中一支队在分出胜负的那场比赛中得到3分，在与输给第一名的那支队的比赛中又 得到1分，这样它总共得到1315 分，矛盾，所以平了第一名的两支队之间的比赛也是平局， 输给第一名的那支队与这两支队的比赛一胜一平，它的得分为：0134 ，即输给第一名的球 队的得分是4分 【答案】输给第一名的球队的得分是4分 【例【例 18】1994 年年“世界杯世界杯”足球赛中足球赛中，甲甲、乙乙、丙丙、丁丁 4 支队分在同一小组支队分在同一小组在小组赛中在