小学奥数习题教案-7-7-3 几何中的重叠问题.教师版.doc
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1、7-7-3.几何中的重叠问题.题库教师版page1of4 7-7-3.7-7-3.几何中的重叠问题几何中的重叠问题 教学目标教学目标 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容; 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用 知识要点知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把 两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数, 用式子可表示成:ABABAB(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“” 读作“交”,相当于中文“且”的意思)则称这一公式为包
2、含与排除原理,简称容斥原理图示如下:A表示小圆 部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为:AB,即阴影面积图示如下:A表示小圆 部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为:AB,即阴影面积 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数,可分以下两步进行: 第一步:分别计算集合AB、的元素个数,然后加起来,即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进 来,加在一起); 第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数) 二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数
3、既是A类又是B类 的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元 素个数用符号表示为:ABCABCABBCACABC图示如下: 在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考 1先包含AB 重叠部分AB计算了2次,多加了1次; 2再排除ABAB 把多加了1次的重叠部分AB减去 图中小圆表示A的元素的个数,中圆表示B的元素的个数, 大圆表示C的元素的个数 1先包含:ABC 重叠部分AB、BC、CA重叠了2次, 多加了1次 2再排除:ABCABBCAC 重叠部分ABC重叠了3次,但是在进行ABC ABBCAC计算时都被减掉了 3再包含
4、:ABCABBCACABC 7-7-3.几何中的重叠问题.题库教师版page2of4 例题精讲例题精讲 【例【例 1】 把长把长38厘米和厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长已知焊接部分长4厘米厘米,焊接后这根铁条有多焊接后这根铁条有多 长?长? 【考点】几何中的重叠问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分, 所以, 由包含排除法知, 焊接后这根铁条长3853487(厘 米) 【答案】87 厘米 【巩固】【巩固】 把长把长23厘米和厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接
5、部分长3厘米,焊接后这根铁条有多厘米,焊接后这根铁条有多 长?长? 【考点】几何中的重叠问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分,由包含排除法知,焊接后这根铁条长:2337357(厘米) 【答案】57 厘米 【例【例 2】 两张长两张长4厘米厘米,宽宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状厘米的长方形纸摆放成如图所示形状把它放在桌面上把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方覆盖面积有多少平方 厘米?厘米? 【考点】几何中的重叠问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分),重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形,如 果利用两个42的长方
6、形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在两个长方形面积中各 被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了所以,被覆盖面积长方形面积之和-重叠 部分于是,被覆盖面积4222212 (平方厘米) 【答案】12 厘米 【巩固】【巩固】 如如图图3,一张长一张长8厘米厘米,宽宽6厘米厘米,另一个正方形边长为另一个正方形边长为6厘米厘米,它们中间重叠的部分是一个边长为它们中间重叠的部分是一个边长为 4厘米的正方形,求这个组合图形的面积厘米的正方形,求这个组合图形的面积 【考点】几何中的重叠问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分),重叠部分恰好是
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