小学奥数习题教案-7-3-4 加乘原理之图论.教师版.doc
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1、7-3-3.加乘原理之图论.题库教师版page1of4 7-3-37-3-3 加乘原理之图论加乘原理之图论 教学目标教学目标 1.复习乘法原理和加法原理; 2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力 3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方法解决问题 在分类讨论中结合分步分析,在分步分析中结合分类讨论;教师应该明确并强调哪些是分类,哪些是分 步并了解与加、乘原理相关的常见题型:数论类问题、染色问题、图形组合 知识要点知识要点 一、加乘原理概念 生活中常有这样的情况:在做一件事时,有几类不同的方法,在具体做的时候,只要采用其中某一类中 的一种方法就可以完成
2、,并且这几类方法是互不影响的那么考虑完成这件事所有可能的做法,就要用到加 法原理来解决 还有这样的一种情况:就是在做一件事时,要分几步才能完成,而在完成每一步时,又有几种不同的方 法要知道完成这件事情共有多少种方法,就要用到乘法原理来解决 二、加乘原理应用 应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点: 加法原理是把完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,所以完成任务的 不同方法数等于各类方法数之和 乘法原理是把一件事分几步完成,这几步缺一不可,所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘 积 在很多题目中,加法原理和乘法原理都不是单独出现的,这就需要我们能够熟练的运用好这两大原
3、理, 综合分析,正确作出分类和分步 加法原理运用的范围:完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问 题可以使用加法原理解决我们可以简记为:“加法分类,类类独立” 乘法原理运用的范围:这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不 可的,这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以简记为:“乘法分步,步步相关” 例题精讲例题精讲 【例【例 1】 5 条直线两两相交条直线两两相交,没有两条直线平行没有两条直线平行,没有任何三条直线通过同一个点没有任何三条直线通过同一个点,以这以这 5 条直线的交点为条直线的交点为 顶点能构成几个三角形?顶点能构成几个三
4、角形? 【考点】加乘原理之图论【难度】3 星【题型】解答 【解析】方法一:5 条直线一共形成54210个点,对于任何一个点,经过它有两条直线,每条直线上另 外 有 3 个 点 , 此 外 还 有 三 个 不 共 线 的 点 , 以 这 个 点 为 顶 点 的 三 角 形 就 有 3 33 33 332230 个三角形,以 10 个点分别为定点的三角形一共有 300 个三角形,但 每个三角形被重复计算 3 次,所以一共有 100 个三角形 方法二:只要三点不共线就能构成三角形,所以我们先求出 10 个点中取出 3 个点的种数,再减去 3 点共线的情况这 10 个点是由 5 条直线互相相交得到的,
5、在每条直线上都有 4 个点存在共线的情 7-3-3.加乘原理之图论.题库教师版page2of4 况,这 4 个点中任意三个都共线,所以一共有5 432(32 1)20 个三点共线的情况,除此 以外再也没有 3 点共线的情况(用反证法可证明之), 所以一共可以构成109 8(32 1)20100 种情况 【答案】100 【例【例 2】 如图,有这样的两条线,请问从这如图,有这样的两条线,请问从这5个点中任选三个点可以构成个不同的三角形个点中任选三个点可以构成个不同的三角形 【考点】加乘原理之图论【难度】2 星【题型】填空 【关键词】学而思杯,3 年级,第 4 题 【解析】只要三点不共线,就能构成
6、三角形。 3 5 28C 个 【答案】8个 【例【例 3】 直线直线 a,b 上分别有上分别有 5 个点和个点和 4 个点,以这些点为顶点可以画出多少个三角形?个点,以这些点为顶点可以画出多少个三角形? b a 【考点】加乘原理之图论【难度】2 星【题型】解答 【关键词】走美杯,4 年级,决赛,第 6 题 【解析】画三角形需要在一条线上找 1 个点,另一条线上找 2 个点,本题分为两种情况: 在a线上找一个点,有 5 种选取法,在b线上找两个点,有4326 种 根据乘法原理,一共有:5630个三角形; 在b线上找一个点,有 4 种选取法,在a线上找两个点,有54210种 根据乘法原理,一共有:
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