小学奥数习题教案-7-3-1 加乘原理之综合运用.教师版.doc
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1、7-3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版page1of6 7-3-1.7-3-1.加乘原理之综合运用加乘原理之综合运用 教学目标教学目标 1.复习乘法原理和加法原理; 2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力 3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方法解决问题 在分类讨论中结合分步分析,在分步分析中结合分类讨论;教师应该明确并强调哪些是分类,哪些是分 步并了解与加、乘原理相关的常见题型:数论类问题、染色问题、图形组合 知识要点知识要点 一、加乘原理概念 生活中常有这样的情况:在做一件事时,有几类不同的方法,在具体做的时候,只要采用其中某一类中 的一种
2、方法就可以完成,并且这几类方法是互不影响的那么考虑完成这件事所有可能的做法,就要用到加 法原理来解决 还有这样的一种情况:就是在做一件事时,要分几步才能完成,而在完成每一步时,又有几种不同的方 法要知道完成这件事情共有多少种方法,就要用到乘法原理来解决 二、加乘原理应用 应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点: 加法原理是把完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,所以完成任务的 不同方法数等于各类方法数之和 乘法原理是把一件事分几步完成,这几步缺一不可,所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘 积 在很多题目中,加法原理和乘法原理都不是单独出现的,这就需要我们能够熟练的
3、运用好这两大原理, 综合分析,正确作出分类和分步 加法原理运用的范围:完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问 题可以使用加法原理解决我们可以简记为:“加法分类,类类独立” 乘法原理运用的范围:这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不 可的,这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以简记为:“乘法分步,步步相关” 例题精讲例题精讲 【例【例 1】 商店里有商店里有 2 种巧克力糖:牛奶味、榛仁味;有种巧克力糖:牛奶味、榛仁味;有 2 种水果糖:苹果味、梨味、橙味小明想买一些种水果糖:苹果味、梨味、橙味小明想买一些 糖送给他的小朋友糖送给他
4、的小朋友 如果小明只买一种糖,他有几种选法?如果小明只买一种糖,他有几种选法? 如果小明想买水果糖、巧克力糖各如果小明想买水果糖、巧克力糖各1种,他有几种选法?种,他有几种选法? 【考点】加乘原理之综合运用【难度】1 星【题型】解答 【解析】小明只买一种糖,完成这件事一步即可完成,有两类办法:第一类是从2种巧克力糖中选一种 有2种办法;第二类是从3种水果糖中选一种,有3种办法因此,小明有235种选糖的方法 小明完成这件事要分两步,每步分别有2种、3种方法,因此有326种方法 【答案】56 【例【例 2】从从 2,3,5,7,11 这五个数中这五个数中,任取两个不同的数分别当作一个分数的分子与分
5、母任取两个不同的数分别当作一个分数的分子与分母,这样的分数有这样的分数有 7-3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版page2of6 _个,其中的真分数有个,其中的真分数有_个。个。 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,二试,第 7 题 【解析】第一问要用乘法原理,当分子有 5 种可能时,分母有 4 种可能,即 54=20 种,所以这样的分数有 20 个。第二问中,分母为 3 的真分数有 1 个,分母为 5 的真分数有 2 个,分母为 7 的真分数有 3 个, 分母为 11 的真分数有 4 个,所以真分数共有 1+2+3+4=10 个。 【答案】10
6、个 【例【例 3】 从北京到广州可以选择直达的飞机和火车,也可以选择中途在上海或者武汉作停留,已知北京到从北京到广州可以选择直达的飞机和火车,也可以选择中途在上海或者武汉作停留,已知北京到 上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车问,从北京到广州上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车问,从北京到广州 一共有多少种交通方式供选择?一共有多少种交通方式供选择? 【考点】加乘原理之综合运用【难度】1 星【题型】解答 【解析】从北京转道上海到广州一共有3 39种方法,从北京转道武汉到广州一共也有3 39种方法供选 择,从北京直接去广州有 2 种方法
7、,所以一共有99220种方法 【答案】20 【例【例 4】 从学而思学校到王明家有从学而思学校到王明家有 3 条路可走,从王明家到张老师家有条路可走,从王明家到张老师家有 2 条路可走,从学而思学校到张老条路可走,从学而思学校到张老 师家有师家有 3 条路可走,那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法?条路可走,那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法? ? 王明家 ? 张老师家 ? 学而思学校 【考点】加乘原理之综合运用【难度】1 星【题型】解答 【解析】根据乘法原理, 经过王明家到张老师家的走法一共有326种方法, 从学而思学校直接去张老师家 一共有 3 条路可走,根据加法原理,一共有63
8、9种走法 【答案】9 【巩固】【巩固】 如下图如下图,从甲地到乙地有从甲地到乙地有 2 条路条路,从乙地到丙地有从乙地到丙地有 4 条路条路,从甲地到丁地有从甲地到丁地有 3 条路可走条路可走,从丁地到从丁地到 丙地也有丙地也有 3 条路,请问从甲地到丙地共有多少种不同走法?条路,请问从甲地到丙地共有多少种不同走法? ? 丁 ? 丙 ? 乙 ? 甲 【考点】加乘原理之综合运用【难度】1 星【题型】解答 【解析】从甲地到丙地有两种方法:第一类,从甲地经过乙地到丙地,根据乘法原理,走法一共有428种 方法, ;第二类,从甲地经过丁地到丙地,一共有3 39种方法根据加法原理,一共有8917种 走法
9、【答案】17 【巩固】【巩固】 王老师从重庆到南京王老师从重庆到南京,他可以乘飞机他可以乘飞机、汽车直接到达汽车直接到达,也可以先到武汉也可以先到武汉,再由武汉到南京再由武汉到南京他从重他从重 庆到武汉可乘船庆到武汉可乘船,也可乘火车也可乘火车;又从武汉到南京可以乘船又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机火车或者飞机,如图如图那么王老师从重那么王老师从重 庆到南京有多少种不同走法呢?庆到南京有多少种不同走法呢? ? 南京 ? 武汉 ? 重庆 【考点】加乘原理之综合运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】从重庆到南京的走法有两类:第一类从重庆经过武汉去南京,根据乘法原理,有236(种)走法; 7-
10、3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版page3of6 第二类不经过武汉,有 2 种走法根据加法原理,从重庆到南京一共有268种不同走法 【答案】8 【例【例 5】 某条铁路线上,包括起点和终点在内原来共有某条铁路线上,包括起点和终点在内原来共有 7 个车站,现在新增了个车站,现在新增了 3 个车站,铁路上两站之间个车站,铁路上两站之间 往返的车票不一样,那么,这样需要增加多少种不同的车票?往返的车票不一样,那么,这样需要增加多少种不同的车票? 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】1、新站为起点,旧站为终点有 37=21 张,2、旧站为起点,新站为终点有 73=21
11、张,3、起点、 终点均为新站有 32=6 张,以上共有 21216=48 张 【答案】48 【例【例 6】 如右图所示如右图所示, 每个小正三角形边长为每个小正三角形边长为 1, 小虫每步走过小虫每步走过 1, 从从 A 出发出发, 走走 4 步恰好回到步恰好回到 A 的路有的路有 () 条条(途中不再回途中不再回 A) 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯,四年级,初赛,第 8 题,五年级,初赛,第 12 题 【解析】因为第一、三步到的点一定是以 A 为中心的六边形的六个顶点,根据一定的规则进行计数: (1)第一步与第三步是同一个点的情况有:65=30(种)
12、 (2)第一步与第三步不是同一个点的情况有:46=24(种) 所以共有 30+24=54(种) 【答案】54种 【例【例 7】 如下图,八面体有如下图,八面体有 12 条棱,条棱,6 个顶点一只蚂蚁从顶点个顶点一只蚂蚁从顶点A出发,沿棱爬行,要求恰好经过每一个出发,沿棱爬行,要求恰好经过每一个 顶点一次问共有多少种不同的走法?顶点一次问共有多少种不同的走法? ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】走完 6 个顶点,有 5 个步骤,可分为两大类: 第二次走C点:就是意味着从A点出发,我们要先走F,D,E,B中间的一点,再经过
13、C点, 但之后只能走D,B点,最后选择后面两点 有4 1 2 1 18 种(从F到C的话,是不能到E的); 第二次不走C:有4222 132 种(同理,F不能到E); 共计:83240种 【答案】40 【例【例 8】 有有 3 所学校共订所学校共订 300 份中国少年报,每所学校订了至少份中国少年报,每所学校订了至少 98 份,至多份,至多 102 份问:一共有多少种不份问:一共有多少种不 同的订法同的订法? 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】可以分三种情况来考虑: 3 所学校订的报纸数量互不相同,有 98,100,102;99,100,101 两种组合,每种组各有
14、 3 3 6P 种 7-3-1.加乘原理之综合应用.题库教师版page4of6 不同的排列,此时有6212种订法 3 所学校订的报纸数量有 2 所相同,有 98,101,101;99,99,102 两种组合,每种组各有 3 种 不同的排列,此时有326种订法 3 所学校订的报纸数量都相同,只有 100,100,100 一种订法 由加法原理,不同的订法一共有126119 种 【答案】19 【例【例 9】玩具厂生产一种玩具棒玩具厂生产一种玩具棒, 共共 4 节节, 用红用红、 黄黄、 蓝三种颜色给每节涂色蓝三种颜色给每节涂色。 这家玩具厂共可生产这家玩具厂共可生产种种 颜色不同的玩具棒。颜色不同的
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