小学奥数习题教案-5-5-3 余数性质（一）.教师版.doc

1、5-5-3.余数性质（一）.题库教师版page 1 of 7 5-5-3.5-5-3.余数性质（三）余数性质（三） 教学目标教学目标 1.学习余数的三大定理及综合运用 2.理解弃 9 法，并运用其解题 知识点拨知识点拨 一、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+1639 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3

2、 和 4，所以 23+1942 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之差。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23167 除以 5 的余数等于 2，两个余数差 312. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14 除以 5 的余数分别是 3 和 4，23149 除以 5 的余数等于 4，两个余数差为 3544 3.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。 例如：23

3、，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 2316 除以 5 的余数等于 313。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 2319 除以 5 的余数等于 34 除以 5 的余数，即 2. 乘方：如果 a 与 b 除以 m 的余数相同，那么 n a与 n b除以 m 的余数也相同 二、弃九法原理 在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术 ，他们在计算时通常是在一 个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是 这样进行的： 例

4、如：检验算式1234189818922678967178902889923 1234 除以 9 的余数为 1 1898 除以 9 的余数为 8 18922 除以 9 的余数为 4 678967 除以 9 的余数为 7 178902 除以 9 的余数为 0 这些余数的和除以 9 的余数为 2 而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几 个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与等式右边和除以 9 的余数相同。 5-5-3.余数性质（一）.题库教师版page 2 of 7 而我

5、们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的 各个位数字之和除以 9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被 称作“弃九法”。 所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被 9 除的余数 即可。 利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式 9+9=9 时，等式

6、两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是错误的 但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往 可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。 例题精讲例题精讲 模块一、余数的加减法定理 【例【例【例【例 1 1】 幼儿园的老师给班里的小朋友送来幼儿园的老师给班里的小朋友送来 40 只桔子，只桔子，200 块饼干，块饼干，120 块奶糖。平均分发完毕，还剩块奶糖。平均分发完毕，还剩 4 只桔子，只桔子，20 块饼干，块饼干，12 粒奶糖。这班里共有粒奶糖。这班里共有_位小朋友。位小朋友。 【考点】余数的加减法定理【难度】1 星【题型】填空 【关键

7、词】走美杯，4 年级，决赛，第 3 题，8 分 【解析】40-4=36，200-20=180，120-12=108。小朋友的人数应是 36，180，108 的大于 20 的公约数，只有 36。 【答案】36 【例【例【例【例 2 2】 在在 1995，1998，2000，2001，2003 中中，若其中几个数的和被若其中几个数的和被 9 除余除余 7，则将这几个数归为一组则将这几个数归为一组这这 样的数组共有样的数组共有_组组 【考点】余数的加减法定理【难度】2 星【题型】填空 【关键词】少年数学智力冬令营 【解析】1995，1998，2000，2001，2003 除以 9 的余数依次是 6，

8、0，2，3，5因为252507， 25360253679， 所 以 这 样 的 数 组 共 有 下 面 4 个 ：2000,2003， 1998,2000,2003，2000,2003,2001,1995，1998,2000,2003,2001,1995 【答案】4 【例【例【例【例 3 3】 号码分别为号码分别为 101,126,173,193 的的 4 个运动员进行乒乓球比赛个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和规定每两人比赛的盘数是他们号码的和 被被 3 除所得的余数除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘那么打球盘数最多的运动员打了多少盘? 【考点】余数的加

9、减法定理【难度】2 星【题型】解答 【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算 101，126，173，193 除以 3 的余数分别为 2，0，2，1。 那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用 2，0，2，1 两两相加除以 3 即可。显然 126 运动员打 5 盘 是最多的。 【答案】5 【例【例【例【例 4 4】 有一个整数，用它去除有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的所得到的 3 个余数之和是个余数之和是 50，那么这个整数是，那么这个整数是_ 【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】(70110160)50290，5031

10、6.2，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是 29 和 58，110581.52，5250，所以除数不是 5870292.12，110293.23， 160295.15，12231550，所以除数是29 【答案】29 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】 用自然数用自然数 n 去除去除 63，91，129 得到的三个余数之和为得到的三个余数之和为 25，那么，那么 n=_ 5-5-3.余数性质（一）.题库教师版page 3 of 7 【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】 n 能整除6391 12925258因为2538.

11、1，所以 n 是 258 大于 8 的约数显然，n 不能大 于 63符合条件的只有 43. 【答案】43 【例【例【例【例 5 5】 如果如果 11！，122！，1233！12399100100！那么那么 1！+2！+3！+100！ 的个位数字是多少？的个位数字是多少？ 【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】解答 【解析】从 5！开始个位数字都是 0 了因此只需要计算前 4 个数,1！+2！+3！+4！=1+2+6+24=33 所以末位数 字一定是 3 【答案】3 【例【例【例【例 6 6】 六名小学生分别带着六名小学生分别带着 14 元元、17 元元、18 元元、21 元元、26 元

12、元、37 元钱元钱，一起到新华书店购买一起到新华书店购买成语大成语大 词典词典 一看定价才发现有一看定价才发现有 5 个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买人的钱凑在一起恰好可买 2 本，丁、戊本，丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买人的钱凑在一起恰好可买 1 本这种成语大词典的定价是本这种成语大词典的定价是_元元 【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】填空 【关键词】小数报 【解析】六名小学生共带钱 133 元133 除以 3 余 1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买 3 本，所以他们 五人带的钱数是 3 的倍数，另一人带的钱

13、除以 3 余 1易知，这个钱数只能是 37 元，所以每本成 语大词典的定价是(1417182126)332(元) 【答案】32 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】商店里有六箱货物商店里有六箱货物，分别重分别重 15，16，18，19，20，31 千克千克，两个顾客买走了其中的五箱两个顾客买走了其中的五箱已知一个已知一个 顾客买的货物重量是另一个顾客的顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是倍，那么商店剩下的一箱货物重量是_千克千克 【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】两个顾客买的货物重量是3的倍数(151618192

14、031)(12)119339.2，剩下的一箱 货物重量除以 3 应当余 2，只能是 20 千克 【答案】20 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】六张卡片上分别标上六张卡片上分别标上 1193、1258、1842、1866、1912、2494 六个数六个数，甲取甲取 3 张张，乙取乙取 2 张张，丙取丙取 1 张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另个人的个人的 2 倍，则丙手中卡片上的数是倍，则丙手中卡片上的数是 _(第五届小数报数学竞赛初赛第五届小数报数学竞赛初赛) 【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】填空 【关键词】小学数

15、学奥林匹克 【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的 2 倍”可知，甲、乙手中五张卡片上 的数之和应是 3 的倍数计算这六个数的总和是11931258184218661912249410565， 10565 除以 3 余 2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是 3 的倍数，那么丙手中的卡片上 的数除以 3 余 2六个数中只有 1193 除以 3 余 2，故丙手中卡片上的数为 1193 【答案】1193 【例【例【例【例 7 7】 从从 1，2，3，4，2007 中取中取 N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被个不同的数，取出的数中任意三个的和能被 15 整除整除

16、N 最大为最大为 多少？多少？ 【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】解答 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 8 题 【解析】取出的 N 个不同的数中，任意三个的和能被 15 整除，则其中任意两个数除以 15 的余数相同，且这 个余数的 3 倍能被 15 整除，所以这个余数只能是 0，5 或者 10在12007中，除以 15 的余数为 0 的有15 1，152，15 133，共有133个；除以 15 的余数为 5 的有1505，15 15 ， 15 1335，共有 134 个；除以 15 的余数为 10 的有15010，15 1 10 ，15 13310，共有 134 个所以 N 最

17、大为 134 【答案】134 5-5-3.余数性质（一）.题库教师版page 4 of 7 【例【例【例【例 8 8】 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是 3 的整数倍，每人的岁数都是的整数倍，每人的岁数都是 一个质数，四人岁数之和是一个质数，四人岁数之和是 100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁? 【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】解答 【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克 【解析】【解析】从任意三人岁数之和是 3 的倍数，100 除以 3 余 1，就知四个岁数都是

18、31k 型的数，又是质数只 有 7，13，19，31，37，43，就容易看出：父 43 岁，母 37 岁，兄 13 岁，妹 7 岁 【答案】37 【例【例【例【例 9 9】 有三所学校有三所学校，高中高中 A 校比校比 B 校多校多 10 人人，B 校比校比 C 校多校多 10 人人三校共有高中生三校共有高中生 2196 人人有一所学有一所学 校初中人数是高中人数的校初中人数是高中人数的 2 倍；有一所学校初中人数是高中人数的倍；有一所学校初中人数是高中人数的 1.5 倍；还有一所学校高中、初倍；还有一所学校高中、初 中人数相等三所学校总人数是中人数相等三所学校总人数是 5480 人，那么人，

19、那么 A 校总人数是校总人数是_人人 【考点】余数的加减法定理【难度】3 星【题型】填空 【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克 【解析】三所学校的高中生分别是：A 校 742 人，B 校 732 人，C 校 722 人如果 A 校或 C 校初中人数是高 中人数的 1.5 倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三校总人 数 5480 是偶数矛盾，因此只能是 B 校的初中人数是高中人数的 1.5 倍三校初中的总人数是 548021963284， 被3除余2； 732被3整除， 722被3除余2,742被3除余1 从余数来看2215 ， 1 224， 就断定初中人数是高

20、中人数的 2 倍， 只能是 C 校 所以， A 校总人数是7427421484 (人) 【答案】1484 模块二、余数的乘法定理 【例【例【例【例 1010】求求2461 135604711的余数的余数 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为2461 11223.8，135 1112.3，604711549.8，根据同余定理(三)， 2461 135604711的余数等于8 3 8 11 的余数，而8 3 8192 ， 1921117.5，所以2461 135604711的余数为 5 【答案】5 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】求求478296351除以除以 17 的余

21、数的余数 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以 17 的余数，再求余数之积除 以 17 的余数478,296,351除以 17 的余数分别为 2，7 和 11，(27 11)179.1 【答案】1 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】求求437309 1993被被 7 除的余数除的余数 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答 【解析】方法一：先将437309 1993算出以后，即437309 1993269120769再求得此数被 7 除的余 数为 1 方法二：因为473除以 7 的余数为 3

22、，309除以 7 的余数为 1，由“同余的可乘性”知：437309（）除 以 7 的余数为3 1（）又因为 1993 除以 7 的余数为 5，所以437309 1993（）除以 7 的余数 等于3 1 5 （）即 15 除以 7 的余数，算出437309 1993被 7 除的余数为 1 方法三：利用余数判别法，算出437309 1993269120769，奇数节的数之和与偶数节的数之和 的差即2697691201722336（）（）（），36 除以 7 的余数为 1，即 437309 1993被 7 除的余数为 1 【答案】1 【例【例【例【例 1111】求求4782569352除以除以 9

23、的余数的余数 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答 5-5-3.余数性质（一）.题库教师版page 5 of 7 【分析】【分析】47819291，2561394，3521091，4782569351除以除以 9 的余数等的余数等 于于1 4 14 【答案】4 【例【例【例【例 1212】一个数被一个数被 7 除，余数是除，余数是 3，该数的，该数的 3 倍被倍被 7 除，余数是除，余数是。 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 3 题，5 分 【解析】余数是 337 的余数，为 2 【答案】2 【例【例【例【例 1313】在图表的第

24、二行中在图表的第二行中，恰好填上恰好填上8998这十个数这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以使得每一竖列上下两个因数的乘积除以 11 所得的所得的 余数都是余数都是 3 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】填空 【解析】 因为两个数的乘积除以 11 的余数，等于两个数分别除以 11 的余数之积因此原题中的8998 可以改换为110，这样上下两数的乘积除以 11 余 3 就容易计算了我们得到下面的结果： 进而得到本题的答案是： 【答案】 【例【例【例【例 1414】 2222 12320012002除以除以 7 的余数是多少？的余数是多少？ 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【

25、题型】解答 【关键词】实验中学 【解析】由于 22222 200220034005 123200120021001 2003 1335 6 ，而 1001 是 7 的倍数， 所以这个乘积也是 7 的倍数，故 22222 12320012002除以 7 的余数是 0； 【答案】0 【例【例【例【例 1515】求求 12 644319的余数的余数 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答 【解析】本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由 644319 余 2，求原 式的余数只要求 12 219的余数即可。但是如果用 219 发现会进入一个死循环，因为这时被除数比

26、 除数小了，所以可以进行适当的调整， 1266 2226464， 6419 余数为 7，那么求 12 219的余数就转化为求646419的余数，即 4919 的余数。 4919 余数为 11，所以原式 12 644319的余数为 11. 【答案】11 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】求求 89 143除以除以 7 的余数的余数 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答 5-5-3.余数性质（一）.题库教师版page 6 of 7 【解析】法一： 由于1433 mod7(143 被 7 除余 3)， 所以 8989 1433mod7( 89 143被 7 除所得余数与 89 3被 7 除

27、所得余数相等),而 6 3729，7291 mod7（729 除以 7 的余数为 1） ， 所以 8966655 14 3333335 mod7 个 ,故 89 143除以 7 的余数为 5. 法二：计算 89 3被 7 除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表： 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 mod73264513 于是余数以 6 为周期变化所以 895 335 mod7 【答案】5 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】求求 406 3写成十进制数时的个位数写成十进制数时的个位数 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答 【解析】要想把 406 3具体数字算出

28、来显然是不可能的，由于题目可以转化为求 406 3除以 10 的余数看到题目 里面有个很大的乘方，我们想到利用“同余的乘方性”可先确定 n，使3n除以 10 的余数为 1 通过尝试可知，最小的 n 为 4因为 40640424 1012 33333（ ）， 4 101 3（ ）除以 10 的余数等于 101 1除以 10 的余数即 1， 2 3除以 10 的余数为 9，所以， 406 3除以 10 的余数为1 99，即 406 3写成十进制数 时的个位数为 9 【答案】9 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】 20102009 200920092009 个 的个位数字是的个位数字是_ 【考点】余数

29、的乘法定理【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第 4 题 【解析】【解析】易知的个位数字是， 2 2009的个位数字是， 3 2009的个位数字是， 4 2009的个位数字 是，两个为一周期，则 2010 2009的个位数字是. 【答案】1 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】200720072007（2008 个个 2007）的个位数字是）的个位数字是。 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 1 题 【解析】可以看出 2007 的乘方其尾数是 7、9、3、1 四个数字循环的，2008 个 2007 相乘，其尾数为 1. 【答

30、案】1 【例【例【例【例 1616】今天是星期四，今天是星期四， 1000 10天之后将是星期几？天之后将是星期几？ 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答 【解析】先求较小的 n，使10n除以 7 的余数为 1 10 除以 7 余 3， 2 10除以 7 余 2， 32 1010 10除以 7 余326， 422 101010除以 7 余224， 633 101010除以 7 的余数等于6636除以 7 的余数等于 1所以， 1000 10除以 7 的余数等于 46 166 1010 除以 7 的余数等于4 14 ，故 1000 10天之后，应是星期一 【答案】星期一 【例【例【例

31、【例 1717】 求求 1997 3的最后两位数的最后两位数 【考点】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答 【解析】即考虑 1997 3除以 100 的余数由于100425，由于 3 327除以 25 余 2，所以 9 3除以 25 余 8， 10 3除以 25 余 24， 那么 20 3除以 25 余 1； 又因为 2 3除以 4 余 1， 则 20 3除以 4 余 1； 即 20 31能被 4 和 25 整除，而 4 与 25 互质，所以 20 31能被 100 整除，即 20 3除以 100 余 1，由于1997209917， 所以 1997 3除以 100 的余数即等于 17 3除

32、以 100 的余数，而 6 3729除以 100 余 29， 5 3243除以 100 余 43 ， 176 25 3(3 )3， 所 以 17 3除 以 100 的 余 数 等 于292943除 以 100 的 余 数 ， 而 5-5-3.余数性质（一）.题库教师版page 7 of 7 29294336163除以 100 余 63，所以 1997 3除以 100 余 63，即 1997 3的最后两位数为 63 【答案】63 【例【例【例【例 1818】求求1 2008的所有自然数中，有多少个整数的所有自然数中，有多少个整数 a 使使2a与与 2 a被被 7 除余数相同？除余数相同？ 【考点

33、】余数的乘法定理【难度】3 星【题型】解答 【解析】让我们用列表的方法来寻找2a与 2 a被 7 除余数的规律： a12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2a被 7 除的余数 241241241241241241241 2 a被 7 除的余数 142241014224101422410 从上表可以看出： 2a被 7 除的余数是 2，4，1，2，4，1，2，4，1，每 3 个一循环； 2 a被 7 除的余数是 1，4，2，2，4，1，0，1，4，2，2，4，1，0，每 7 个一循环 所以能同时满足这两个条件的规律，必须是 3 和 7 的公倍数，即为 21 的倍数，也就是使2a与 2 a被 7 除的余数相同的数，在自然数列中，是每 21 一个循环，其中有 6 个余数相同，分别是每个循环中的 第 2，4，5，6，10，15 个数 又因为2008219513，所以，在1 2008的所有自然数中，能使2a与 2 a被 7 除余数相同的数共 有：6955575（个） 【答案】575