小学奥数习题教案-5-4-5 完全平方数及应用(二).教师版.doc
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1、5-4-5.完全平方数及应用(二).题库教师版page 1 of 5 5-4-5.5-4-5.完全平方数及应用(二完全平方数及应用(二) 教学目标教学目标 1.学习完全平方数的性质; 2.整理完全平方数的一些推论及推论过程 3.掌握完全平方数的综合运用。 知识点拨知识点拨 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是 0,1,4,5,6,9。不可能是 2,3,7,8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数 p 整除完全平方数 2 a,则 p 能被a整除。 2.性质 性质1:完全
2、平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9 性质2:完全平方数被3,4,5,8,16除的余数一定是完全平方数 性质3:自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次,所以,如果p是质数,n是自然数,N是完全平方数,且 21 | n pN ,则 2 | n pN 性质4:完全平方数的个位是6它的十位是奇数 性质5:如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数如果一个完全平方数的个 位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个 性质6:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数 3.一
3、些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被 4 整除;任何奇数的平方被 4(或 8)除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定 不是完全平方数。 2.一个完全平方数被 3 除的余数是 0 或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有:00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69, 89,16,36,56,76,96。 4.完全平方数个位数字是奇数(1,5,9)时,其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数(0,4)时,其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为 6 时,其十位数字必为奇
4、数。 7.凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数;末尾只有奇数个“0”的自然数不是 完全平方数;个位数字为 1,4,9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾:平方差公式: 22 ()()abab ab 例题精讲例题精讲 5-4-5.完全平方数及应用(二).题库教师版page 2 of 5 模块一、平方差公式运用 【例【例 1】 将两个自然数的差乘上它们的积,能否得到数将两个自然数的差乘上它们的积,能否得到数 45045? 【考点】平方差公式运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】设这两个数分别是 a 和 b,那么有 ab(a-b)=450
5、45,分析奇偶性可知这是不可能的。因此不可能得到 45045。 【答案】不能得到这样的数 【例【例 2】 一个数减去一个数减去 100 是一个平方数,减去是一个平方数,减去 63 也是一个平方数,问这个数是多少?也是一个平方数,问这个数是多少? 【考点】平方差公式运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】设这个数减去63为 2 A,减去100为 2 B,则 22 100633737 1ABABAB, 可知37AB,且1AB,所以19A ,18B ,这样这个数为 2 18100424 【答案】424 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】能否找到这么一个数,它加上能否找到这么一个数,它加上 24
6、,和减去,和减去 30 所得的两个数都是完全平方数?所得的两个数都是完全平方数? 【考点】平方差公式运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】假设能找到,设这两个完全平方数分别为 2 A、 2 B,那么这两个完全平方数的差为 54ABAB,由于AB和AB的奇偶性质相同,所以ABAB不是 4 的倍数, 就是奇数,不可能是像 54 这样是偶数但不是 4 的倍数所以54不可能等于两个平方数的差,那么 题中所说的数是找不到的 【答案】不存在这样的数 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】能否找到这么一个数,它加上能否找到这么一个数,它加上 24,和减去,和减去 30 所得的两个数都是完全平方数?所得的
7、两个数都是完全平方数? 【考点】平方差公式运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】假 设 能 找 到 , 设 这 两 个 完 全 平 方 数 分 别 为 2 A、 2 B, 那 么 这 两 个 完 全 平 方 数 的 差 为 54ABAB,由于AB和AB的奇偶性质相同,所以ABAB不是4的倍数, 就是奇数,所以54不可能等于两个平方数的差,所以这样的数找不到 【答案】不存在这样的数 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】一个正整数加上一个正整数加上 132 和和 231 后都等于完全平方数,求这个正整数是多少?后都等于完全平方数,求这个正整数是多少? 【考点】平方差公式运用【难度】3 星【题
8、型】解答 【解析】【解析】设该正整数为 a,根据题意得 2 132am, 2 231an两式相减得99nmnm,注意到nm 和nm的奇偶性相同,都是奇数因为9999 133 311 9 ,所以99nm,1nm或 33nm,3nm或11nm,9nm 解得50n ,49m 或18n ,15m 或10n ,1m , 但是10n ,1m 不符合是正整数的条件因此 2 491322269a ,或者 2 1513297所以这 个正整数是 2269 或 97 【答案】2269 或 97 【例【例 3】 两个完全平方数的差为两个完全平方数的差为 77,则这两个完全平方数的和最大是多少?最小是多少?,则这两个完
9、全平方数的和最大是多少?最小是多少? 【考点】平方差公式运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】设这两个完全平方数分别是 2 A和 2 B,且 22 77AB,则两个完全平方数的和可以表示为 2 772B, 所以B越大,平方和越大,B越小,平方和越小,而77ABAB,777 111 77 ,当 77AB,1AB时,B取得最大值38, 此时两个完全平方数的和最大, 为2965; 当11AB, 7AB时,B取得最小值 2,此时两个完全平方数的和最小,为 85 【答案】最小 85,最大 2965 【例【例 4】 三个自然数,它们都是完全平方数,最大的数减去第二大的数的差为三个自然数,它们都是
10、完全平方数,最大的数减去第二大的数的差为 80,第二大的数减去最小的,第二大的数减去最小的 数的差为数的差为 60,求这三个数,求这三个数 【考点】平方差公式运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】设这三个数从大到小分别为 2 A、 2 B、 2 C,那么有80ABAB,140ACAC,因 为1402257 ,AC、AC同奇同偶, 所以有14AC,10AC或70AC,2AC, 分别解得12A ,2C 和36A ,34C , 对于后者没有满足条件的 B, 所以 A 只能等于 12,2C , 5-4-5.完全平方数及应用(二).题库教师版page 3 of 5 继而求得8B ,所以这三个数
11、分别为 2 12 =144、 2 8 =64、 2 2 =4 【答案】三个数分别为144、64、4 【例【例 5】 有两个两位数有两个两位数,它们的差是它们的差是 14,将它们分别平方将它们分别平方,得到的两个平方数的末两位数得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数个位数和十位数) 相同,那么这两个两位数是相同,那么这两个两位数是(请写出所有可能的答案请写出所有可能的答案) 【考点】平方差公式运用【难度】4 星【题型】填空 【关键词】2008 年,清华附中 【解析】【解析】设这两个两位数中较小的那个为n,则另外一个为14n ,由题知, 22 (14)100nnk(k为正整数),即7725nk
12、,由于7,251,所以257n ,由于n与 14n 均为两位数,所以17792n,故7n 可能为 25、50 或者 75,n可能为 18、43 或者 68经 检验,18n 、43、68 均符合题意,所以这两个两位数为 18、32,或者 43、57,或者 68、82 【答案】这两个两位数为 18、32,或者 43、57,或者 68、82 【例【例 6】 A 是一个两位数,它的是一个两位数,它的 6 倍是一个三位数倍是一个三位数 B,如果把,如果把 B 放在放在 A 的左边或者右边得到两个不同的五的左边或者右边得到两个不同的五 位数,并且这两个五位数的差是一个完全平方数位数,并且这两个五位数的差是
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