小学奥数习题教案-5-1-3-2 数阵图(二).教师版.doc
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1、5-1-3-2.数阵图.题库教师版page 1 of 10 5-1-3-2.5-1-3-2.数阵图数阵图 教学目标教学目标 1.了解数阵图的种类 2.学会一些解决数阵图的解题方法 3.能够解决和数论相关的数阵图问题 知识点拨知识点拨 . 一、数阵图定义及分类: 1.定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图. 2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法: 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方
2、格); 第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关 键点上所填数的范围; 第三步:运用已经得到的信息进行尝试这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方 法的综合运用 例题精讲例题精讲 复合型数阵图 【例【例 1】 由数字由数字 1、2、3 组成的不同的两位数共有组成的不同的两位数共有 9 个,老师将这个,老师将这 9 个数写在一个九宫格上,让同学选数个数写在一个九宫格上,让同学选数, 每个同学可以从中选每个同学可以从中选 5 个数来求和小刚选的个数来求和小刚选的 5 个数的和是个数的和是 120,小明选的,小明选的 5 个
3、数的和是个数的和是 111如如 果两人选的数中只有一个是相同的,那么这个数是果两人选的数中只有一个是相同的,那么这个数是_ 【考点】复合型数阵图【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯,中年级,决赛,3 题 【分析】【分析】这 9 个数的和:11 1213212223313233 10203031233198 ()() 由小刚和小明选的数中只有一个是相同的,可知他们正好把这 9 个数全部都取到了,且有一个数取 了两遍所以他们取的数的总和比这 9 个数的和多出来的部分就是所求的数那么,这个数是 120111 19833 【答案】33 【例【例 2】 如图如图 1,圆圈内分别填有圆圈内分别填有
4、 1,2,7 这这 7 个数个数。如果如果 6 个三角形的顶点处圆个三角形的顶点处圆圈内的数字的和圈内的数字的和是是 64,那么,中间圆圈内填入的数是,那么,中间圆圈内填入的数是。 5-1-3-2.数阵图.题库教师版page 2 of 10 【考点】复合型数阵图【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,复赛,第 5 题,5 分 【解析】2 【答案】2 【例【例 3】 如下图(如下图(1)所示,在每个小圆圈内填上一个数,使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上)所示,在每个小圆圈内填上一个数,使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上 三个数的和三个数的和. 【考点】复合型数阵图【
5、难度】3 星【题型】填空 【解析】【解析】为叙述方便,先在每个圆圈内标上字母,如图(2) , 则有 a+4+9=a+b+c(1) b+8+9=a+b+c(2) c+17+9=a+b+c(3) (1)+(2)+(3) : (a+b+c)+56=3(a+b+c) ,a+b+c=28,则 a=28(4+9)=15,b=28(8+9)=11, c=28-(17+9)=2 解:见图. 【答案】 【例【例 4】 请你将数字请你将数字 1、2、3、4、5、6、7 填在下面图(填在下面图(1)所示的圆圈内,使得每个圆圈上的三个数之和)所示的圆圈内,使得每个圆圈上的三个数之和 与每条直线上的三个数之和相等与每条
6、直线上的三个数之和相等.应怎样填?应怎样填? 【考点】复合型数阵图【难度】3 星【题型】填空 【解析】【解析】为了叙述方便, 将各圆圈内先填上字母, 如图 (2) 所示.设 A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k (A+B+C)+(A+F+G)+(A+D+E)+(B+D+F)+(C+E+G)=5k,3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k, 5-1-3-2.数阵图.题库教师版page 3 of 10 2(A+B+C+D+E+F+G)+A=5k,2(1+2+3+4+5+6+7)+A=5k,56+A=5k.,因为 56+A 为 5 的倍数, 得 A=4,进而推出 k=
7、12,因为在 1、2、3、5、6、7 中,1+5+6=7+3+2=12,不妨设 B=1,F=5,D=6, 则 C=12-(4+1)=7,G=12-(4+5)=3,E=12-(4+6)=2.,解:得到一个基本解为: (见图) 【答案】 【例【例 5】 在左下图的每个圆圈中填上一个数,各数互不相等,每个圆圈有在左下图的每个圆圈中填上一个数,各数互不相等,每个圆圈有 3 个相邻个相邻(即有线段相连的圆圈即有线段相连的圆圈) 的圆圈。将左下图中每个圆圈中的数改为的圆圈。将左下图中每个圆圈中的数改为 3 个相邻圆圈所填数的平均值,便得到右下图。如果左个相邻圆圈所填数的平均值,便得到右下图。如果左 下图中
8、已有一个数下图中已有一个数 1,请填出左下图中的其它数,使得右下图中的数都是自然数。,请填出左下图中的其它数,使得右下图中的数都是自然数。 【考点】复合型数阵图【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯,6 年级,决赛,第 10 题,10 分 【解析】答案不唯一。要求四个灰色圆圈中所填的数除以 3 的余数相同,另外四个圆圈中所填的数除以 3 的 余数也相同。注:题中左、右两图是两个不同的图,左图要求各数互不相同(见答案),右图中各数是 根据左图改的,只要求是自然数,可以相同。 【答案】 【例【例 6】 将将 1 至至 8 这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的这八个自然数分别填入图中
9、的正方体的八个顶点处的内,并使每个面上的四个内,并使每个面上的四个内的内的 数字之和都相等。求与填入数字数字之和都相等。求与填入数字 1 的的有线段相连的三个有线段相连的三个内的数的和的最大值。内的数的和的最大值。 【考点】复合型数阵图【难度】4 星【题型】填空 【考点】【难度】星【题型】填空 【关键词】希望杯,六年级,二试,第 13 题,15 分 【解析】因为 1 到 8 的和为 36,而上面四个数的和等于下面四个数的和,所以都为 18。因为每个面的数字和 相等,所以一个面上应当大小数搭配,也就是说,和最小的数字 1 在同一个面上的应该有较大的数。 尝试最大的三个数 8,7,6,则和 1,8
10、,7 在同一个面上的数应该是 18-1-8-7=2,和 1,8,6 在同一 个面上的数应该是 18-1-8-6=3,和 1,7,6 在同一个面上的数应该是在同一个面上的数应该是 18-1-7-6=4,剩下一个 5 填在剩下的中,经检验,符合题意,那么与 1 相连的三个的和是 5-1-3-2.数阵图.题库教师版page 4 of 10 67821 【答案】21 【例【例 7】 将自然数将自然数1到到11分别填在右图的圆圈内,使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等分别填在右图的圆圈内,使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等 ? 18- ? c ? - ? d ? 18- ? b ? - ?
11、 c ? c ? + ? d ? -6 ? b+ ? c ? -6 ? 12- ? d ? 12- ? c ? 12- ? b ? d ? c ? b ? 6 ? 11 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 6 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空 【解析】【解析】设左下角的数为a,每条直线上的三个数的和为S由于这 11 个数的和为121166从左 下角引出的5条直线的总和为5S,其中左下角的数多计算了 4 次,则5664Sa;又由三条横线 及左下角引出的一条斜线上的数的总和可得466Sa从而结合上面的两个式子可得18S , 6a ,即左下角的
12、数为 6,每条线上的数之和为 18再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为b, c,d, 于是可得各个圆圈中的数如图所示 除 6 以外的 10 个数分别为:b,c,d,12b,12c, 12d,18bc,18cd,6bc,6cd由于18121818bcccd,得到 330bcd,即303bdc所以,只要选取适当的b,c,d的值,使得上面的 10 个数各 不相同即可比如,选择9c ,1b ,2d ,则可得到如右上图所示的一种填法本题答案不唯 一,下面再给出两种填法。 ? 3 ? 10 ? 5 ? 2 ? 7 ? 9 ? 4 ? 8 ? 6 ? 11 ? 1 ? 5 ? 4 ? 9 ? 8 ? 3 ?
13、 7 ? 10 ? 2 ? 11 ? 1 ? 6 【答案】 ? 3 ? 10 ? 5 ? 2 ? 7 ? 9 ? 4 ? 8 ? 6 ? 11 ? 1 ? 5 ? 4 ? 9 ? 8 ? 3 ? 7 ? 10 ? 2 ? 11 ? 1 ? 6 【例【例 8】 在下图中在下图中,在每个圆圈中填入一个数在每个圆圈中填入一个数,使每条直线上所有圆圈中数的和都是使每条直线上所有圆圈中数的和都是 234,那么标有那么标有的圆的圆 圈中所填的数是圈中所填的数是_ 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空 【关键词】迎春杯,中年级,决赛,11 题 【分析】【分析】为表述方便,将圆圈中数用字母替代(如右
14、图) 根据题意,有 5-1-3-2.数阵图.题库教师版page 5 of 10 234af 234bc 234ed 234abe 234cdf ,有3234,即234378 【答案】78 【例【例 9】 请将请将 1,2,3,10 这这 10 个自然数填入图中的个自然数填入图中的 10 个小圆圈内个小圆圈内,使得图中的使得图中的 10 条直线上圆圈内条直线上圆圈内 数字之和都相等那么乘积数字之和都相等那么乘积ABC? ? C ? B ? A 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空 【关键词】迎春杯,高年级,决赛,10 题 【解析】【解析】对于本题,可以通过“10 条直线上圆圈内数字之和
15、都相等”(实际上是 11 条)这一等量关系,将每一个 小圆圈中的数表示出来由于每一条直线上的数之和都为ABC,可得图中每一个小圆圈中的数 如下图。 由于中间竖直方向的线段以及从左下角A出发的只有两个数字的那条线段,它们的数字和都是 ABC, 可以得到,332ABCBCAC, 可得2ABC, 代入得2333BCBC, 即6BC,只能是1C ,6B ,28ABC,则86 148ABC 【答案】86 148ABC 【例【例 10】下图中有下图中有 11 条直线条直线请将请将 1 至至 11 这这 11 个数分别填在个数分别填在 11 个圆圈里个圆圈里,使每一条直线上所有数的和相使每一条直线上所有数的
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