小学奥数习题教案-4-2-5 平移、旋转、割补.教师版.doc

1、4-2-5.平移、旋转、割补 题库page 1 of 11 4-2-5.4-2-5.平移平移、旋转旋转、割补割补 例题精讲例题精讲 图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等） ，构成新的图形，构成新的图形 【例【例 1】 右图是一块长方形草地，长方形的长是右图是一块长方形草地，长方形的长是 16，宽是，宽是 10中间有两条道路，一条是长方形，一条是平中间有两条道路，一条是长方形，一条是平 行四边形，它们的宽都是行四边形，它们的宽都是 2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？，求草

2、地部分的面积（阴影部分）有多大？ 【考点】平移、旋转、割补【难度】2 星【题型】解答 【解析】如图所示，将道路平移后的 162102112。 【答案】112 【例【例 2】 如图所示，一个正十二边形的边长是如图所示，一个正十二边形的边长是 1 厘米，空白部分是等边三角形，一共有厘米，空白部分是等边三角形，一共有 12 个请算出阴影个请算出阴影 部分的面积部分的面积 【考点】平移、旋转、割补【难度】3 星【题型】解答 【解析】如图，将阴影部分分割成一个正六边形和 12 个小三角形，再把正六边形分割成 6 个正三角形，由于 正 十 二 边 形 的 每 个 内 角 为18012212150， 所 以

3、 阴 影 小 三 角 形 的 顶 角 等 于 15060230，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是306090 ，所 以通过如右上图所示的平移可以组成 6个边长为 1 厘米的正方形， 所以所求阴影部分面积为 2 166 平方厘米 【答案】6 【例【例 3】 如图所示如图所示， 梯形梯形ABCD中中，AB平行于平行于CD， 又又4BD ，3AC ，5ABCD 试求梯形试求梯形ABCD的的 面积面积 【考点】平移、旋转、割补【难度】3 星【题型】解答 【解析】如右图，将AB沿AC平移至CE,连接BE,在三角形BDE中，有4BD ，3BEAC， 5DEABCD，有 222 BDBE

4、DE，所以三角形BDE为直角三角形 由于 ABDABCBCE SSS ，所以梯形ABCD的面积与三角形BDE的面积相等，为 1 346 2 【答案】6 【例【例 4】 如下图如下图，六边形六边形ABCDEF中中，ABED，AFCD，BCEF，且有且有AB平行于平行于ED，AF平行于平行于 CD，BC平行于平行于EF，对角线，对角线FD垂直于垂直于BD，已知，已知24FD 厘米，厘米，18BD 厘米，请问六边形厘米，请问六边形 4-2-5.平移、旋转、割补 题库page 2 of 11 ABCDEF的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？ 【考点】平移、旋转、割补【难度】5 星【题型】解答

5、【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都 重合到图中的AG了这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长 方形BGFD的面积为24 18432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米 【答案】432 【例【例 5】 如图如图 2 2，六边形，六边形ABCDEF为正六边形，为正六边形，P为对角线为对角线CF上一点，若上一点，若PBC、PEF的面积为的面积为3与与4， 则正六边形则正六边形ABCDEF的面积是的面积是 【考点】平移、旋转、割补【难度】4 星【题型】解答 【关键词】迎春杯、中年级、初赛、7

6、 题 【解析】【解析】这是一道几何问题，考察同学们对常见图形性质的认识正六边形的六条边都相等，每个角都是， 每一组对边都互相平行，正六边形可以看作是由六个正三角形拼成的（如图（1） ） 其中正六边形的 面积是正三角形面积的 6 倍每相邻两个正三角形拼成的是一个平行四边形如图（2） ，连结BF， 三角形ABF的面积是平行四边形ABFO面积的一半六边形ABCDEF的面积是平行四边形ABFO 的 3 倍，故六边形ABCDEF的面积是三角形ABF的面积的 6 倍 如图（3） ，连结BF，CE，三角 形BCP的面积与三角形EFP的面积和是平行四边形BFEC面积的一半而六边形ABCDEF的面积 是平行四边

7、形BFEC的 1.5 倍，故六边形ABCDEF的面积是三角形BCP的面积与三角形EFP的面 积和的 3 倍 所以，由PBC、PEF的面积分别为 3 与 4， 可知正六边形ABCDEF的面积是(34)321 【答案】21 【例【例 6】 正六边正六边形形 A1A2A3A4A5AA1A2A3A4A5A6 6的面积的面积是是 2002009 9 平方厘米平方厘米， B1,B2,B3,B4,B5,BB1,B2,B3,B4,B5,B6 6 分别是正六边形各边的中点分别是正六边形各边的中点； 那么图中阴影六边形的面积是那么图中阴影六边形的面积是平方厘米平方厘米 【考点】平移、旋转、割补【难度】5 星【题型

8、】解答 4-2-5.平移、旋转、割补 题库page 3 of 11 【关键词】迎春杯、六年级、初赛、14 题 【解析】【解析】如图，设 62 B A与 13 B A的交点为O，则图中空白部分由6个与 23 A OA一样大小的三角形组成，只要 求出了 23 A OA的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积. 连接 63 A A、 61 B B、 63 B A 设 116 AB B的面积为“1” ，则 126 B A B面积为“1” ， 126 A A B面积为“2” ，那么 636 A A B面积为 126 A A B的2倍， 为 “4” ， 梯形 1236 A A A A的面积为2

9、24212， 263 A B A的面积为 “6” ， 123 B A A 的面积为2 根据蝴蝶定理， 126326 13 1 6 B A BA A B BOA OSS ，故 2123 3 612 167 A OAB A A SS ， 所以 231236 A A A A 12 127 7 A OA SS 梯形 1 ，即 23 A OA的面积为梯形 1236 A A A A面积的 1 7 ，故为六边形 123456 A A A A A A面积的 1 14 ，那么空白部分的面积为正六边形面积的 13 6 147 ，所以阴影部分面积为 3 200911148 7 (平方厘米). 【答案】1148 【例

10、【例 7】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形已知甲三角形两条直角按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形已知甲三角形两条直角 边分别为边分别为2cm和和4cm，乙三角形两条直角边分别为，乙三角形两条直角边分别为3cm和和6cm，求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积 【考点】平移、旋转、割补【难度】3 星【题型】解答 【解析】如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之 和所以阴影部分面积为： 2 34623 6242211 cm（） （） 【答案】11 【例【例 8】 在一个在一个等腰三角形等腰三

11、角形中中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图见右图)，求图中阴影求图中阴影 部分的面积占整个图形面积的几分之几部分的面积占整个图形面积的几分之几. 【考点】平移、旋转、割补【难度】3 星【题型】解答 【解析】阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答. 割补法 4-2-5.平移、旋转、割补 题库page 4 of 11 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显 然，阴影部分正好是长方形的 1 3 ，所以原题阴影部分占整个图形面积的 1 3 . 拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行

12、四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的 1 3 . 根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以2，商不变.所以原题阴影部分占整个图形 面积的 1 3 . 等分法 将原图等分成9个小三角形(见右上图)，阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的 31 93 . 注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条 件不变，结论仍然成立. 【答案】 1 3 【例【例 9】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点P为中心转动一个正方形当为中心转动一个

13、正方形当 5AB 厘米厘米，13BC 厘米厘米，12CA 厘米时厘米时(如下右图如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积求右图中的两个正方形相重叠部分的面积 (注意，图的尺寸不一定准确注意，图的尺寸不一定准确) ? P 【考点】平移、旋转、割补【难度】3 星【题型】解答 【解析】右图由左图旋转而得，则右图中的 8 个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于 正方形面积减去 4 个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为5131230厘米，所以 重叠部分的面积为： 2 304(5 122)780(平方厘米) 【答案】780 【例【例 10】如图，在直角三角形中有一个正方

14、形，已知如图，在直角三角形中有一个正方形，已知10BD 厘米，厘米，7DC 厘米，求阴影部分的面积厘米，求阴影部分的面积 【考点】平移、旋转、割补【难度】4 星【题型】解答 【解析】绕D点逆时针旋转CED，使E与F重合，则C点落在AB边上的C点处，且C DCD则阴影 部分面积转化为直角三角形BC D的面积，所以阴影部分的面积为107235平方厘米 【答案】35 【例【例 11】四边四边形形 ABCD 中中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知又已知ABD+BDC=900,求四边求四边形形 ABCD 的面积的面积 4-2-5.平移、旋转、割补 题库page 5 of 11 【考

15、点】平移、旋转、割补【难度】5 星【题型】解答 【解析】如下图,以 BD 的垂直平分线为对称轴 L,做ABD 关于 L 的对称图形 A BD.连接 A C 因为ABD+BDC=9000而ABD= A DB=900,所以有 A DB+BDC=900 那么 A CD 为直角三角形,由勾股定理知 2 A C 22 ABCD=2500,所以50A C. 而在 A BC 中,有 A B=AD=48,有 482+142=2500,即 A B2+BC2= A C2,即 A BC 为直角三角形 有 A CDA BC SS 1 30 40 2 1 14 48936 2 . 而| ABCD S四边形 A CDA

16、BC SS 936. 评注评注:.本题以ABC+BDC=900突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形 .对于这道题我们还可以将BCD 作 L 的对称图形.如下： 【答案】936 【例【例 12】如图如图,在三角形在三角形 ABD 中中,当当 AB 和和 CD 的长度相等时的长度相等时,请求出请求出“?”所示的角是多少度所示的角是多少度,给出过程给出过程 【考点】平移、旋转、割补【难度】5 星【题型】解答 【解析】因为 AB=CD,于是可以将三角形 ABC 的边 BA 边与 CD 对齐,如下图在下图中有BCA=110,所以 ACD=70于是AC C=ACD+DC C=ACD+ABC=7

17、0+40=110； 即AC C=110=CC D；又因为 C A 只是CA移动的变化,所以 C A =CA；则ABC A 是一 等腰梯形 于是,ADC=180110=70； 又CDC=30,所以ADC=7030=40. 【答案】40 4-2-5.平移、旋转、割补 题库page 6 of 11 【例【例 13】如图所示的四边形的面积等于多少？如图所示的四边形的面积等于多少？ 【考点】平移、旋转、割补【难度】4 星【题型】解答 【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积. 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换： 把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重

18、合，此时三角形OAB将旋转到三角形 OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就 是原来四边形的面积. 因此，原来四边形的面积为12 12144.(也可以用勾股定理) 【答案】144 【例【例 14】如图如图，三角形三角形ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形，P是三角形外的一点是三角形外的一点，其中其中 90BPC， ， 10cmAP ，求求 四边形四边形ABPC的面积的面积 ? P ? D ? C ? B ? A ? P ? P ? D ? C ? B ? A 【考点】平移、旋转、割补【难度】5 星【题型】解答 【解析】因为BAC和BPC都是直

19、角，和为180，所以ABP和ACP的和也为180，可以旋转三角形 APC，使AC和AB重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形AP P，面积为10 10250平 方厘米 【答案】50 【例【例 15】如图所示如图所示，ABC中中，90ABC，3AB ，5BC ，以以AC为一边向为一边向ABC外作正方形外作正方形ACDE， 中心为中心为O，求，求OBC的面积的面积 【考点】平移、旋转、割补【难度】5 星【题型】解答 【关键词】武汉明心奥数 【解析】如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置 由于90ABC，90AOC，所以180OABOCB 而OCFOAB ， 所以180OCFOCB

20、 ，那么B、C、F三点在一条直线上 由于OBOF，90BOFAOC ，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为538，所 以它的面积为 2 1 816 4 根据面积比例模型，OBC的面积为 5 1610 8 【答案】10 4-2-5.平移、旋转、割补 题库page 7 of 11 【例【例 16】如图如图，直角梯形直角梯形ABCD中中，ADBC，ABBC，2AD ，3BC ，将腰将腰CD以以D为中心逆时针为中心逆时针 旋转旋转90至至ED，连接，连接AE、CE，则，则ADE的面积是的面积是 ? E ? D ? C ? B ? A ? H ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】

21、平移、旋转、割补【难度】5 星【题型】解答 【关键词】武汉明心奥数 【解析】如图所示，将ADE以D为中心顺时针旋转90，到FDC的位置延长FD与BC交于H 由于ABCD是直角梯形，AD与FD垂直，则四边形ADHB是长方形，则BHAD 由于ADE与FDC面积相等，而FDC的底边2FDAD，高321CHBCBH，所以 FDC的面积为2 121 ，那么ADE的面积也为 1 【答案】1 【例【例 17】如图，正方形如图，正方形ABCD和和DEFG有一个公共点有一个公共点D，试比较三角形，试比较三角形ADG和三角形和三角形CDE的面积的面积 ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? A

22、 ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】平移、旋转、割补【难度】5 星【题型】解答 【解析】因为ADC和GDE是直角，所以ADG和CDE是互补角，将三角形ADG顺时针旋转90到达 A DE的位置，则A、D、C在同一条直线上，且A DADCD，即D是A C的中点，所以三 角形CDE和三角形A DE面积相等，则三角形CDE和三角形ADG面积相等 【答案】相等 【例【例 18】如图如图，以正方形的边以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形为斜边在正方形内作直角三角形ABE，90AEB，AC、BD交于交于O已已 知知AE、BE的长分别为的长分别为3cm、5cm，求三角形，

23、求三角形OBE的面积的面积 【考点】平移、旋转、割补【难度】5 星【题型】解答 【关键词】资优杯 【解析】如图，连接DE，以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到ABF的位置 那么90EAFEABBAFEABDAE ，而AEB也是90，所以四边形AFBE是直角梯 形，且3AFAE， 所以梯形AFBE的面积为： 1 35312 2 ( 2 cm) 又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理， 22222 3534ABAEBE，所以 2 1 17 2 ABD SAB ( 2 cm) 4-2-5.平移、旋转、割补 题库page 8 of 11 那么17125 BDEABDABEADEABDAFBE SSS

24、SSS ( 2 cm)， 所以 1 2.5 2 OBEBDE SS ( 2 cm) 【答案】2.5 【例【例 19】如图如图， 已知已知4cmABAE，BCDC，90BAEBCD ，10cmAC ， 则则S ABCACECDE SS 2 cm 【考点】平移、旋转、割补【难度】5 星【题型】解答 【关键词】迎春杯、高年级、复赛、10 题 【解析】将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形AEC和A DC，再连接 A C，显然ACAC，ACA C，ACA CAC，所以ACA C是正方形三角形AEC和三 角形A DC关于正方形的中心O中心对称，在中心对称图形ACA C中有如下等

25、量关系： AECA DC SS ； AECA DC SS ； CEDC DE SS 所以 2 11 10 1050cm 22 ABCACECDEAECACECDEACA C SSSSSSS 【答案】50 【例【例 20】如图所示的四边形如图所示的四边形ABCD中中，45AC ，105ABC，15ABCD厘米厘米， 连接对角线连接对角线BD， 30ABD求四边形求四边形ABCD的面积的面积 【考点】平移、旋转、割补【难度】4 星【题型】解答 【关键词】第八届、华杯总决赛 【解析】由45A，30ABD，可得1804530105ADB ，1053075DBC 将DBC剪下来， 翻转， 再贴在BD边上

26、， 即将B点粘在D点上，D点粘在B点上， 如右上图所示 则 C点在E点的位置 由于10575180ADBEDB ， 所以A、D、E三点在同一条直线上 由 于45AEC ，所以90ABE，即ABE是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形 ABCD的面积，所以四边形ABCD的面积为 15 15 112.5 2 平方厘米 【答案】112.5 【例【例 21】如图，在如图，在ABD中，中，ABCD，求，求“？”的度数的度数 ? 40 ? 30 ? ? ? D ? C ? B ? A 【考点】平移、旋转、割补【难度】5 星【题型】解答 【解析】如图，由于ABCD，可以将ABC移动到DCE，由于180(30

27、40 )110ACB ， 18011070ACD ，所以7040110ACE ，又110CED，而ACDE，所以四 4-2-5.平移、旋转、割补 题库page 9 of 11 边形ACED是等腰梯形，有18018011070ADECED ，703040ADC 点评：通过构造全等三角形来转化 【答案】40 【例【例 22】下图三角形下图三角形ABC是等腰三角形是等腰三角形，ABAC，120BAC三角形三角形ADE是正三角形是正三角形，点点D在在BC 边上，边上，:2:3BD DC 当三角形当三角形ABC的面积是的面积是 2 50cm时，三角形时，三角形ADE的面积是多少？的面积是多少？ ? E

28、? D ? C ? B ? A ? G ? P ? R ? Q ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】平移、旋转、割补【难度】5 星【题型】解答 【解析】以点A为中心，由三个三角形ABC可拼成右图：连结QE、RF、GD，则DEQFRG是一个正六边 形连结RD、DQ、RQ，显然RDQ是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半， 所以是三角形ADE的面积的 3 倍 由于 2 3150cm PBCABC SS ，根据“鸟头定理”， 2 23 36cm 3223 DQCPBC SS ， 所以 2 342cm RDQPBCDQC SSS ，则 2 342314cm ADERDQ

29、 SS 【答案】14 【例【例 23】如图，正方形如图，正方形PQRS有三个顶点分别在有三个顶点分别在ABC的三条边上，的三条边上，BQQC求正方形求正方形PQRS的面积的面积 【考点】平移、旋转、割补【难度】5 星【题型】解答 【解析】如下图，我们设ABC的面积为 1，有 16127934 1()1 22132111311143 a ecdb ， 所以 68 2 143 ae， 75 1 143 bcda ， 所以 68 75 a bcd 如下图左，将三角形c和三角形d分别以P、R为中心按箭头方向旋转90，形成由两个直角三角形 连在一起的一个四边形，如下图右，b、c、d被虚线分成两个直角三角

30、形，它们的面积之和为： 2 76292230cmbcd，所以 2 68 3027.2(cm ) 75 a 4-2-5.平移、旋转、割补 题库page 10 of 11 【答案】27.2 【例【例 24】如 下 图如 下 图 ,ABC 是 边 长 为是 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形的 等 边 三 角 形 ,BCD 是 等 腰 三 角 形是 等 腰 三 角 形 BD=CD ， 顶 角， 顶 角 BDC=1200,MDN=600,求求AMN 的周长的周长. 【考点】平移、旋转、割补【难度】4 星【题型】解答 【解析】如下图, 延长 AC 至 P,使 CP=MB,连接 DP. 则有MBD=6

31、00+ 11 63 ADEDQRDEQSRT SSS 正六边形 00 180120 2 PCD；CP=BM；BD=CD, 所以有MBDPCD.于是MDC=PDC； 又因为MDB+NDC=600,所以PDC+NDC=NDP=600； MD=PD,在MDN、PND 中,NDM=NDP,ND=ND,MD=PD, 于是MNDPND.有 MN=PN.因为 NP=NP=NC+CP,而 AM=AB-MB=AB-CP, 所以 AM+AN+MN=(AB-CP)+AN+(NC+CP)=AB+AN+NC=2.即AMN 的周长为 2. 【答案】2 【例【例 25】若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，下图中所示的只

32、是若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，下图中所示的只是 3 3 个五边形那么要完成这一圈个五边形那么要完成这一圈 共需共需 个正五边形个正五边形 【考点】平移、旋转、割补【难度】4 星【题型】解答 【关键词】迎春杯、六年级、初赛、5 题 【解析】【解析】如图，设O为圆心，A、B、C、D为五边形的顶点，连接OA、OB、OC. 4-2-5.平移、旋转、割补 题库page 11 of 11 ? D ? C ? B ? A ? O 从图中可以看出，OAB和OBC是完全相同的，所以OBAOBC ，又五边形内角和为540， 所以正五边形的每个内角都为5405108，即108ABDCBD ， 那么360

33、1082144ABC，则144272OBA， 又OABOBA ，所以18072236AOB 所以要用3603610个正五边形才能围成一圈. 【答案】10 【例【例 26】如图，如图，ABCD 是矩形，是矩形，BC=6cm, AB=10cm,AC 和和 BD 是对角线，图中的阴影部分以是对角线，图中的阴影部分以 C 为轴旋转一为轴旋转一 周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（取取 3.14） 【考点】平移、旋转、割补【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛、决赛、第 11 题 【解析】设三角形 BCO 以 CD 为轴旋转一周所得到的立

34、体的体积是 s，S 等于高为 10 厘米，底面半径是 6 厘米的圆锥的体积减去 2 个高为 5 厘米，底面半径是 3 厘米的圆锥的体积。 即： 22 11 61023590 33 S ，2S180565.2（立方厘米） 体积是 565.2 立方厘米。 【答案】565.2 【例【例 27】一个半径为一个半径为 1 厘米的圆盘沿着一个半径为厘米的圆盘沿着一个半径为 4 厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动， 当小圆盘的中心围绕当小圆盘的中心围绕 大圆盘中心转动大圆盘中心转动 90 度后（如图度后（如图 2） ，小圆盘运动过程中扫出的面积是（，小圆盘运动过程中扫出的面积是（）平方厘米）平方厘米。 （=3.14） 【考点】平移、旋转、割补【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛、决赛、第 4 题、10 分 【解析】18.84 【答案】18.84